基于鉆柱橫向振動模型的動力學分析

楊 瓊，褚衍東，徐 璐

（1.蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070；2.蘭州交通大學 數理學院，蘭州 730070）

石油勘探是關系國民生計的重大工程.由于井眼的限制，勘探人員對鉆柱進入地下復雜的運動狀態并不是十分了解.因此，借助科學手段來研究鉆柱進入地下的運動狀態是十分必要的.在鉆進過程中，當鉆頭運動時，它與土地接觸時將造成鉆具和鉆頭的過早磨損并產生主要的振動.而鉆柱的振動情況可以清晰地反映設備的運動狀態及地底情況［1］.基于這一原因，國內外學者開始了對底部鉆柱動力學特性的研究.借助ANSYS等軟件探討了鉆鋌長度、鉆井液密度、鉆柱長度和壁厚、鉆壓以及防磨套間距等參數對鉆柱橫向振動的影響.例如，韓春杰［2］研究了水平井鉆柱的橫向振動問題.Tian［3］等分析了不同工況下鉆柱橫向振動中固有頻率的變化趨勢.Marcin［1］等研究了一類新型實驗鉆機底部鉆具組合（BHA）的前后旋及共存問題.田家林［4］等基于動力學理論及數值求解方法，研究了整個井下鉆柱的縱向和橫向耦合振動問題.Zhang［5］等將加權殘差法與有限元法結合來研究預彎曲擺式鉆具組合的橫向振動.在考慮鉆頭的摩擦及鉆頭的切削作用下，賈曉麗［6］等從數值上分析了無量綱化控制參數對鉆柱粘滑振動特性的影響.Wang［7］等基于動力學知識設計了一種用于控制空氣鉆井中井斜的超前擺底部鉆具組合.Zhang［8］等以一類旋轉鉆井的軸向和扭轉耦合系統為研究對象，分析了不同失穩狀態下系統的收斂性和魯棒性.

隨著混沌理論的興起使得人們認識到，復雜的鉆柱行為實際上可以用低維模型來描述，對這種模型的詳細研究除了可以提高我們對鉆柱動力學的理解之外，還可能為防止不必要的鉆柱磨損現象提供一些線索，從而更好地控制鉆柱的運動行為.據我們所知，鉆井過程中由鉆鋌偏心引起的旋轉會導致劇烈的橫向振動，這一過程可以歸結為不平衡轉子的旋轉運動.隨著轉子動力學［9-10］的發展，研究者們開始從轉子動力學的角度來分析旋轉鉆鋌的運動特性.Jansen首次將轉子動力學理論應用于鉆柱系統，所得結果較好地反映了鉆柱的動力學特性［11］.Qiu［12］研究了粘滑運動中，參數變化對鉆柱系統出現分岔和混沌的影響.王明杰［13］考慮了鉆柱軸向-橫向-扭轉振動耦合系統的動力學特性.朱安茂［14］以鉆柱內部鉆井液和環空內鉆井液的水平鉆柱橫向振動模型為研究對象，討論了內外鉆井液流速、鉆井液密度等因素對鉆柱橫向振動特性的影響.Wiercigroch［15］等討論了含有時滯和粘性阻尼的兩自由度鉆柱振動耦合模型的動力學特性.王寶金［16］等建立了水平井鉆柱渦動的動力學方程，分析了鉆柱自重、井壁摩阻、鉆井液流速等因素對水平井鉆柱渦動規律的影響.Wiercigroch［18］等研究了井下低維鉆柱系統復雜的動力學特性.Irawan［19］等借助有限元方法研究了鉆柱的橫向振動問題.雖然上述文獻詳細的列舉了不同工況下，系統參數對鉆柱系統復雜動力學特性的影響，但借助數值延拓和分岔技術對鉆柱系統穩定性的研究依然鮮見.本文以鉆柱的橫向振動模型為研究對象，借助Lyapunov直接法，推導出使得系統保持穩定的參數條件.通過數值實驗，分析了系統出現渦動現象及橫向振動的參數范圍.找到了符合實際的最優參數.為減弱鉆具磨損，提高鉆柱的工作效率提供了一定的參考.

1 力學模型

地下鉆井組合通常由鉆鋌、穩定器和鉆頭組成.圖1為偏轉鉆鋌在（X1，X2）平面上的截面圖，其中X1，X2為鉆鋌相對于井孔中心的幾何正交位移，m；s0為穩定器間隙，m；φ為穩定器摩擦角，rad；M為鉆鋌的質量，kg；kf為等效流體阻尼系數，kg/m；Ω是轉速，m/s；e0是鉆鋌的質量偏心率；k為鉆鋌截面的等效抗彎剛度，kg/m2；p表示鉆鋌幾何中心與穩定器中心之間的距離，m.

圖1 偏轉鉆鋌在平面上的截面圖Fig.1 The cross section of a deflected drill collar in theplane

為了準確描述帶有恒定角速度鉆柱系統的運動，Jansen作出假設（彈性鉆鋌處于第一彎曲模態；井孔是完全垂直的；穩定器是無質量的），并建立以下模型方程［11］：

依據圖1的幾何結構，可以得到：

借助（2）式及一階Taylor展開，方程（1）可寫為：

引入無量綱變量：

其中鉆鋌間隙c0=（Dh-Dc）/2（Dh和Dc分別為孔的直徑和鉆鋌的直徑），m；鉆鋌固有頻率Hz；α為接觸參數.得到如下系統：

為了便于研究鉆柱系統的動力學特性，對系統（5）作坐標變換［17］，并設阻尼系數φ=0，摩擦系數ξ=0，得到如下自治系統：

2 穩定性分析

系統（6）描述了鉆柱的橫向振動，其平衡點對應于系統（5）的同步渦動情況.令系統（6）的平衡點為pe=（x0，y0，z0，w0），其中

且|x0|＞ζ，對平衡點pe作一個小擾動，即

將（7）式代入（6）式可得：

將（8）式在（0，0，0，0）處作Taylor級數展開得：

其中，

系統（6）可寫為：

構造如下Lyapunov函數：

其中，

將Lyapunov函數寫為如下矩陣形式：

令Pi（i=1，2，3，4）為V（x，y，z，w）所確定特征矩陣的主子式，即

依據Sylvester引理［20］可知，當時，V（x，y，z，w）=-B（x，y，x，w）+…是正定的，對Lyapunov函數求導可得：

將（9）式代入（14）式得到：

3 數值模擬

3.1 外激勵頻率變化對系統同步渦動的影響

渦動是鉆柱系統橫向振動誘導的最劇烈的運動形式，而同步渦動的出現會降低鉆井效率，加速鉆鋌的磨損，這對鉆柱系統來說是十分不利的.因此，我們可以借助不同參數條件下的穩態解曲線（圖2），得到系統出現同步渦動的參數范圍，避免系統出現同步渦動現象，提高鉆柱井下勘探的效率.圖2中實線表示具有物理意義的穩態解，虛線表示具有非物理意義的穩態解.觀察圖2（a）可知，當穩定器間隙ζ小于鉆鋌的偏心率ε時，隨著外激勵頻率η增大，系統（6）的平衡點數目（最多不超過2個，包含了物理解和非物理解）發生顯著的變化.當η＜1時，系統（6）中符合物理意義的平衡點只出現1個，即在鉆柱運動過程中會出現1次同步渦動現象.當η→1時，沒有平衡點，即沒有同步渦動出現.當η＞1時，系統的平衡點的數目又增加為2個，但只有1個具有物理意義的，即系統的同步渦動又恢復為1次.也就是說，在ζ＜ε的情況下，隨著外激勵頻率的增大，系統的同步渦動最多出現1次.觀察圖2（b）可知，在穩定器間隙ζ大于鉆鋌的偏心率ε情況下，當η＜1時，系統的同步渦動次數會逐漸增加.當η→1時，同步渦動次數增加到2次.當η＞1時，系統會出現不符合物理意義的2個平衡點，即系統不會出現同步渦動.

圖2 穩態解曲線Fig.2 Stationary solution curve

3.2 外激勵頻率及質量偏心率變化對系統動力學特性的影響

下面研究穩定器間隙ζ大于鉆鋌偏心率時，外激勵頻率η變化對系統動力學特性的影響.固定參數α=1.0，ζ=0.2，ε=0.1，借助變步長的四階龍格庫塔法，可得不同外激勵頻率對應的相圖、時間響應圖、Poincaré截面圖.觀察圖3～圖5可知，當0＜η＜1時，系統（6）的運動始終處于周期運動狀態，對應系統（5）會出現準周期運動.因此，在鉆進過程中，為了減弱穩定器的磨損，提高鉆柱系統的工作效率，外激勵頻率η取值盡量不超過1.

圖3 η＝0.001對應的相圖、時間響應圖、Poincaré截面Fig.3 Corresponding phase diagram，time response diagram，Poincarésection ofη＝0.001

圖5 η＝0.05對應的相圖、時間響應圖、Poincaré截面Fig.5 Corresponding phase diagram，time response diagram，Poincarésection ofη＝0.05

圖4 η＝0.040 8對應的相圖、時間響應圖、Poincaré截面Fig.4 Corresponding phase diagram，time response diagram，Poincarésection ofη＝0.040 8

圖6～圖7研究了在穩定器間隙ζ大于鉆鋌偏心率ε的情況下，當外激勵頻率η超過1時，鉆鋌偏心率變化對系統動力學特性的影響.圖6為偏心率ε取不同值對應的分岔圖.觀察圖6（a）可知，當參數η在［1，2］內逐漸增大時，系統（6）進入混沌運動狀態.當參數η超過某一臨界頻率時，系統不再出現混沌運動，即外激勵頻率越低越容易出現混沌運動.對比圖6（a）與圖6（b）可知，當參數ε增大時，低頻區域出現混沌的寬度減小，而當外激勵頻率超過臨界值時，系統會出現周期運動.圖7為外激勵頻率η=1.01時，對應的相圖及時間響應圖.觀察圖7可知，當外激勵頻率η=1.01時，系統出現混沌運動.因此，為了避免鉆柱系統出現混沌運動，我們可以適當的增大外激勵頻率，減弱鉆鋌的磨損.

圖6 ε取不同值對應的分岔圖Fig.6 The bifurcation diagram corresponding to differentεvalues

圖7 η＝1.01對應的相圖、時間響應圖Fig.7 Corresponding phase diagram，time response diagram ofη＝1.01

4 結論

本文研究了參數變化對含簡諧外激勵鉆柱橫向振動模型的影響，主要結果如下：

1）外激勵頻率、質量偏心率、穩定器間隙，對系統同步渦動現象的出現和次數有很大的影響.當穩定器間隙小于鉆鋌的偏心率時，只要外激勵頻率不等于1，系統總會出現同步渦動現象；當穩定器間隙大于鉆鋌的偏心率時，只有在外激勵頻率小于1的情況下，系統才會出現同步渦動現象.

2）在穩定器間隙大于鉆鋌的偏心率的情況下，當外激勵頻率小于1時，鉆柱系統始終處于周期運動狀態.當外激勵頻率大于1時，系統出現混沌運動，且當鉆鋌偏心率增大時，鉆柱系統在低頻區混沌運動區域的面積減小.