數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

程延春

(河北省雄安新區(qū)雄縣第二高級中學(xué) 河北 保定 071800)

0 引言

如果向一個高中生提問，你知道哪些高中數(shù)學(xué)思想？十有八九會回答“數(shù)形結(jié)合”。數(shù)形結(jié)合思想的重要性以及常見性可見一斑。不僅僅是因?yàn)閿?shù)形結(jié)合的方法，能夠讓學(xué)生快速的解開數(shù)學(xué)的題目，還是因?yàn)椋@種方式可以幫助學(xué)生更加直觀的理解一些知識的理論。對于學(xué)生來說，無論是在解題的過程中，還是在學(xué)習(xí)新知識的過程中，數(shù)形結(jié)合都是一種降低理解難度的有效方式，因此不僅是教師會引導(dǎo)學(xué)生使用這種方式，學(xué)生群體本身也十分青睞這種方法。

1 數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢

數(shù)形結(jié)合的核心原理是建立了“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，讓數(shù)字不再局限于概念，讓圖形不再抽象。思考一下數(shù)學(xué)行程的過程，在一開始我們對圖形的問題產(chǎn)生了探究的想法，而在進(jìn)行探究的過程中，我們發(fā)現(xiàn)一些問題，只有具有具體的數(shù)量關(guān)系，才能夠充分的解決。而這些數(shù)量關(guān)系。我們要通過什么來表示呢？我們又要通過什么樣的方式來找到這些數(shù)量關(guān)系呢？于是我們對數(shù)字進(jìn)行了研究。當(dāng)數(shù)字中的“數(shù)”與“形”一一對應(yīng)時，不僅圖形中的具體量有了定義，我們的數(shù)字也有了更加具體的表現(xiàn)形式。而這有什么好處呢？答案是，讓思考的邏輯更加的直觀，同時也變得更加的清晰。比如在高一階段，我們在教學(xué)集合的時候，利用韋恩圖來幫助學(xué)生理解集合、元素以及它們之間的關(guān)系。對于高一的學(xué)生來說，集合方面的知識雖然是陌生的，卻也并不是完全高難度的內(nèi)容。但是學(xué)生在初步學(xué)習(xí)的階段，依然感覺到了吃力。這并不是學(xué)生的理解沒有透徹，更多的是學(xué)生的思維方面有欠缺。當(dāng)我們向?qū)W生介紹集合的概念的時候，學(xué)生不能夠?qū)⒍x中的抽象概念轉(zhuǎn)化成具體的含義，就會出現(xiàn)知識點(diǎn)混淆或者模糊的情況，在進(jìn)行相關(guān)題目的訓(xùn)練時，無法達(dá)到理想的訓(xùn)練效果。但是這些都會在我們進(jìn)行圖形教學(xué)之后有所改善，即，圖像法的應(yīng)用。因?yàn)樵趫D像法當(dāng)中，我們可以將集合這個概念具象化，即“一個圓圈”。而在圓圈當(dāng)中，所有的“內(nèi)容”，都可以稱作集合中的元素。教師在教學(xué)的過程中可以將圖形方面的內(nèi)容結(jié)合多媒體工具，這樣就能進(jìn)一步加強(qiáng)教學(xué)的直觀性，讓學(xué)生結(jié)合眼睛的觀察去理解定義中所提到的那些抽象概念。尤其是在教學(xué)集合內(nèi)容的后半端，交集與補(bǔ)集等內(nèi)容。

不僅這些概念會讓學(xué)生更加難以分辨，并且在做題時也會給學(xué)生帶來一定的困擾。最重要的是邏輯思維上的難度。所以在這個階段，我們引進(jìn)了韋恩圖的概念。通過韋恩圖，我們可以非常清楚的把握集合之間的關(guān)系，并且可以利用韋恩圖幫助學(xué)生來理解一些比較困難的思考題，對于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，也有著非常顯著的輔助效果。

2 應(yīng)用方式

數(shù)形結(jié)合的適用條件非常廣泛，無論是在學(xué)生練習(xí)新的知識時，還是在復(fù)習(xí)題目時，只要是可以通過圖形表達(dá)出含義的題目，就能夠使用數(shù)形結(jié)合的方式，快速的解答出所有的問題。而在學(xué)習(xí)新知識的時候，數(shù)形結(jié)合又可以快速的幫助學(xué)生理解概念和定義，幫助學(xué)生梳理知識的應(yīng)用邏輯以及知識本身所具有的邏輯。

2.1 教學(xué)時應(yīng)用

在教學(xué)時應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，能夠幫助學(xué)生快速的理解新知識的概念，比如在教學(xué)函數(shù)的時候，我們通常會將函數(shù)的圖像與定義式一起進(jìn)行教學(xué)，這就是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。我們在教學(xué)函數(shù)的過程中，會引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注函數(shù)的圖像。對于還是模塊的學(xué)習(xí)而言，圖像是研究函數(shù)的一大利器。所以在學(xué)習(xí)一項(xiàng)新的函數(shù)時，我們通常會要求學(xué)生先利用五點(diǎn)描線法，將圖像畫出來。而在圖像上找尋其他的特點(diǎn)，總結(jié)出函數(shù)的其他條件與特性。而教師之所以會選擇利用函數(shù)的圖像去研究，就是因?yàn)閳D像更加直觀的表現(xiàn)了函數(shù)的性質(zhì)。如果根據(jù)代數(shù)的定義去分析，即便是定義域和值域，這樣簡單的問題都要用大量的運(yùn)算去解決。而如果繪制了圖像，我們不僅可以簡化許多步驟，還能夠通過圖像的特點(diǎn)，快速的找到其他信息。比如在教學(xué)三角函數(shù)的時候，我們先繪制了三角函數(shù)的圖像，然后才發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)的對稱性。而根據(jù)三角函數(shù)不同的對稱性，我們又可以總結(jié)出其他的性質(zhì)。而這些不僅對于學(xué)生快速的理解函數(shù)知識有所幫助，還會培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力，當(dāng)學(xué)生在解決實(shí)際問題的時候，可以借助函數(shù)的模型，再利用函數(shù)模型的圖像模型去解決更加具體的問題。這一項(xiàng)能力看似微不足道，卻是學(xué)生完成數(shù)學(xué)知識遷移到現(xiàn)實(shí)生活解決問題必需的能力。

2.2 練習(xí)時使用

教師可以引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)習(xí)題的時候用數(shù)形結(jié)合方法。不僅可以大大縮短學(xué)生的練習(xí)時間，還能夠大幅度的提高學(xué)生做題的準(zhǔn)確率。并且這種方式還會更加符合我們現(xiàn)階段教學(xué)改革下學(xué)生培養(yǎng)的目標(biāo)，即能力與思維的培養(yǎng)。教師可以準(zhǔn)備大量的數(shù)形結(jié)合的習(xí)題，讓學(xué)生進(jìn)行分類的訓(xùn)練。并且在訓(xùn)練之前規(guī)定好學(xué)生的做題時間，一方面利用時間的緊迫感讓學(xué)生更快的完成相應(yīng)的題目，另一方面，通過時間的縮短，促使學(xué)生不得不選擇更加快捷高效的解題方式。比如在學(xué)習(xí)函數(shù)的時候，我們會遇到非常經(jīng)典的題目，就是比大小。在比大小的題目中，會給出不同類型的函數(shù)，并且不會給出完整的函數(shù)表達(dá)式。如果學(xué)生選擇使用代數(shù)的方法，將每一個函數(shù)的表達(dá)式求出，并將題目給的數(shù)字代入的表達(dá)式求出每一個選項(xiàng)的大小，通過比較選項(xiàng)的大小來選出“最佳答案”。這種情況不僅答題會非常慢，解題的難度也是非常大，因?yàn)轭}目所給的信息并不足以學(xué)生求出表達(dá)式，即便可以，也是需要好幾步的運(yùn)算，才能夠完成相應(yīng)的比較。但是如果使用數(shù)形結(jié)合的辦法的話就會簡化求解的過程，并且在思考的邏輯上也會非常的簡單。教師可以在練習(xí)開始之前，通過一道題目的示范，如選取一道題，引導(dǎo)學(xué)生觀察教師的操作，教師將圖像畫于黑板上的一個數(shù)軸中，通過比較圖像上的信息選出最佳答案。這是為了讓學(xué)生有一個思考的方向，在學(xué)生“有樣學(xué)樣”練習(xí)下，量變也可以成質(zhì)變，也會初步培養(yǎng)起學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想的。

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用并非具有單一性，我們將代數(shù)轉(zhuǎn)化成圖像的內(nèi)容進(jìn)行思考，同樣也可以將圖像的內(nèi)容轉(zhuǎn)化成代數(shù)的信息進(jìn)行運(yùn)算。比如在教學(xué)函數(shù)實(shí)際問題的內(nèi)容時，我們經(jīng)常會將函數(shù)圖像上的某一點(diǎn)，賦予它實(shí)際含義的信息，并將它作為實(shí)際的數(shù)據(jù)，帶入到函數(shù)的表達(dá)式中，得到的數(shù)字會進(jìn)一步完善函數(shù)的圖像信息。雖然在平時的時候我們并沒有過多的關(guān)注這些問題，但是實(shí)際上就是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。在解決實(shí)際問題的時候，我們會多次的完成數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，具體的分析是我們會更加頻繁的使用代數(shù)信息與圖像信息的轉(zhuǎn)化。比如，統(tǒng)計(jì)模塊的知識，通過圖像的信息找到代數(shù)式中缺失的某一個數(shù)據(jù)，利用數(shù)據(jù)補(bǔ)全代數(shù)式得到新的信息，而新的信息又是完善圖像的必要條件，最后通過圖像的完善解決代數(shù)的模型等。

3 應(yīng)用原則

數(shù)形結(jié)合這種思想，不僅是給學(xué)生提供了一定的便捷，可以讓知識變得更加直觀，同時也是給學(xué)生提供了新的思路。數(shù)形結(jié)合在應(yīng)用時，需要注意以下幾點(diǎn)應(yīng)用原則：

3.1 等價性

代數(shù)信息以及幾何信息在進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化的時候，一定要注意等價性。等價性的意義在于保證信息的本質(zhì)是同一項(xiàng)內(nèi)容。比如在構(gòu)造圖形的時候，我們會將代數(shù)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成實(shí)際的線段，在此過程中，我們要保證數(shù)據(jù)和線段的長度是相等的，才能夠保證我們所構(gòu)造出來的圖形是符合數(shù)據(jù)要求的，才能夠借助構(gòu)造出來的圖形進(jìn)行其他信息的推算。再比如，教學(xué)函數(shù)的時候，就是找到坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)，這樣同時找到這個點(diǎn)所代表的數(shù)量關(guān)系，通過數(shù)量關(guān)系與坐標(biāo)系點(diǎn)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，解出相應(yīng)的信息，才是滿足等價原則，才能夠解答出正確的答案。從某種層面講，等價性是保障數(shù)形結(jié)合方法得以正確使用的基本要求，只有滿足等價，才能實(shí)現(xiàn)圖形與數(shù)字關(guān)系的轉(zhuǎn)變，從而應(yīng)用這一思想和方法來解決數(shù)學(xué)問題，在教學(xué)過程中，老師要引導(dǎo)學(xué)生們明確數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)涵，確保使用過程中遵循等價原則。

3.2 雙向性

正如我們上文中所提到的，數(shù)形結(jié)合思想在應(yīng)用時，不僅可以體現(xiàn)出“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)變，也可以體現(xiàn)“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)變。在實(shí)際應(yīng)用的過程中，教師應(yīng)該注重表現(xiàn)樹形結(jié)合的巧妙運(yùn)用，充分向?qū)W生展示數(shù)形結(jié)合思想的靈活性以及雙向性，這樣才能夠在學(xué)生的應(yīng)用意識中留有雙向性的印象，才能夠讓學(xué)生在日后的學(xué)習(xí)以及解題過程中，更加靈活的運(yùn)用相應(yīng)的思維，而不是一味關(guān)注“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化，將數(shù)形結(jié)合思想完全局限于一方的轉(zhuǎn)化。在教學(xué)過程中，老師可以靈活采用多種案例，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的靈活轉(zhuǎn)換，這樣可以使學(xué)生們明確數(shù)形結(jié)合的雙向性原則，同時可以對數(shù)形結(jié)合思想及方法形成更加全面的認(rèn)知，并在解題過程中靈活應(yīng)用這一方法，這對于引導(dǎo)學(xué)生們樹立全面完善的思考體系而言具有重要意義。

3.3 簡潔性

借助數(shù)形結(jié)合的方式，我們要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與相應(yīng)的能力，但是同樣我們也要關(guān)注相應(yīng)的應(yīng)用目的。比如數(shù)形結(jié)合思想在應(yīng)用的階段，教師就應(yīng)該向?qū)W生介紹并推廣使用目的，引導(dǎo)他們更加快速且高效地完成學(xué)習(xí)任務(wù)。因此，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用還應(yīng)該遵循簡潔性原則。如果在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想之后，并沒有減輕我們思考上的壓力，甚至還給我們的邏輯思維帶來混亂的負(fù)面影響，那么就沒有應(yīng)用的必要。具體來看，數(shù)形結(jié)合思想及方法的應(yīng)用目的在于轉(zhuǎn)變解題思路并提高解答效率，因此老師在教學(xué)過程中需要使學(xué)生們明確數(shù)形結(jié)合思想的簡潔性原則，這是判斷是否使用這一方法的關(guān)鍵，同時也是充分發(fā)揮其應(yīng)用作用的重要目的。在教學(xué)過程中，老師可以采取對比教學(xué)方法，將使用了數(shù)形結(jié)合思想的解題方法與常規(guī)解題方法對比，使學(xué)生們更直觀地感受到前者的簡潔性優(yōu)勢。

4 總結(jié)語

數(shù)形結(jié)合的方式，在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是比較常見的，教師可以在日常的教學(xué)中滲透這種思想，幫助學(xué)生培養(yǎng)相應(yīng)的思維方式，以及思考能力。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中以及練習(xí)的過程中多多使用這種思考的方式，能夠有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及學(xué)習(xí)能力。