融合教育心理學理論的分組教學優(yōu)化算法

收稿日期：2022-05-04；修回日期：2022-06-13" 基金項目：教育部人文社會科學研究青年基金資助項目（21YJC630087）；上海市哲學社會科學規(guī)劃科課題項目（2019BGL014）；上海理工大學科技發(fā)展資助項目（2020KJFZ040）

作者簡介：閆恩奇（1998-），男，吉林通化人，碩士研究生，主要研究方向為智能優(yōu)化算法、系統(tǒng)工程；馬良（1964-），男，上海人，教授，博士，主要研究方向為系統(tǒng)工程、智能優(yōu)化；劉勇（1982-），男（通信作者），江蘇金湖人，副教授，博士，主要研究方向為智能優(yōu)化、服務網(wǎng)絡設計與優(yōu)化、系統(tǒng)工程（liuyong.seu@163.com）.

摘 要：針對分組教學優(yōu)化算法（group teaching optimization algorithm，GTOA）存在求解精度不高、易陷入局部最優(yōu)的不足，提出了一種融入教育心理學理論的分組教學優(yōu)化算法（educational psychology group teaching optimization algorithm，EPGTOA）。在杰出組學生的教學階段融入支架式教學理論，在教學過程中幫助學生構建知識體系，更快地提高該組學生的學習能力，從而加強算法的局部搜索能力；在學生學習階段融入建構主義發(fā)展觀理論，學生逐漸形成自己獨特的認知結構，吸收教師傳授的知識，提高學習能力，從而增強算法的全局搜索能力。為驗證EPGTOA的有效性，選取21個標準測試函數(shù)，將EPGTOA與GTOA和基于信息共享的分組教學優(yōu)化算法、灰狼算法、蜉蝣算法、飛蛾撲火算法、教與學算法算法進行仿真實驗，同時采用Wilcoxon檢驗和平均絕對誤差對改進算法所得的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，結果表明在5%的水平上是顯著的。在算法穩(wěn)定性、求解精度和收斂速度上，EPGTOA都比GTOA有所增強，尤其在求解高維問題上，改進算法有更好的性能。

關鍵詞：分組教學優(yōu)化算法；支架式教學理論；建構主義發(fā)展觀理論；最優(yōu)化

中圖分類號：TP301.6"" 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）12-026-3694-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.05.0184

Group teaching optimization algorithm integrating educational psychology theory

Yan Enqi，Ma Liang，Liu Yong

（Business School，University of Shanghai for Science amp; Technology，Shanghai 200093，China）

Abstract：Aiming at the shortcomings of group teaching optimization algorithm（GTOA），such as low solution accuracy and poor local optimum，this paper proposed GTOA with educational psychology theory（educational psychology group teaching optimization algorithm，EPGTOA）.In the teaching stage of the outstanding group students，the teacher integrated the scaffolded instructional theory to help the students construct the knowledge system in the teaching process，which could improve the learning ability of the outstanding group students more quickly and strengthen the local search ability of the algorithm.It integrated the development of constructivist theory into the students’ learning stage.Students gradually formed their unique cognitive structure，absorbed the knowledge imparted by the teacher to improve their learning ability，and thus enhanced the global search ability of the algorithm.This paper used 21 standard test functions to verify the effectiveness of the EPGTOA，and compared EPGTOA with GTOA algorithm，group teaching optimization algorithm with information share，grey wolf optimization，mayfly optimization algorithm，moth-flame optimization algorithm，and teaching-learning-based optimization.Meanwhile，it used Wilcoxon test and mean absolute error to analyze the data.The results show that EPGTOA is significant at the 5% level.EPGTOA is enhanced over GTOA algorithm in algorithm stability，solution accuracy and convergence speed.The improved algorithm has better performance，especially in solving high-dimensional problems.

Key words：group teaching optimization algorithm；scaffolded instructional theory；development of constructivist theory；optimization

0 引言

分組教學優(yōu)化算法（GTOA）［1］是2020年提出的一種新型啟發(fā)式算法，融入了孔子的因材施教理念，教師在教學過程中選擇適合每個學生特點的教學方法進行有針對性的教學，并且還可以通過學生之間的互動獲取知識。受教師教學啟發(fā)，教與學優(yōu)化算法（teaching-learning-based optimization，TLBO）［2］于2011年提出，是一種模擬人類行為規(guī)律的智能優(yōu)化算法。相比于TLBO算法，GTOA針對不同學生的特點進行定制化教學，提高了算法的收斂速度和收斂精度，具有結構簡單、優(yōu)化潛力大的優(yōu)點。

GTOA與其他智能優(yōu)化算法一樣，也存在局部搜索能力弱、穩(wěn)定性差等不足。為此，國內外學者提出多種改進措施以提高算法性能。Zhu等人［3］提出了一種MOGTOA用于求解多目標問題，引入外部文檔改進教師選擇階段，從而增加種群多樣性、增強算法的全局搜索能力。Jiang等人［4］考慮每個學生具有不同的學科特長，對于不同的學科，學生之間可以進行相互輔導，而非選擇綜合學習能力最強的學生去指導其他同學學習，從而增加種群多樣性、提高算法搜索能力，并用于求解無人機路徑規(guī)劃問題。但這兩種改進算法仍存在易陷入局部最優(yōu)的不足。Khosravi等人［5］提出了一種基于局部搜索和混沌映射的二元組分組教學優(yōu)化算法，在教師教學階段引入兩種新的二元算子，在學階段引入二元學生對立學習算子和在教師選擇階段引入平均二進制選擇策略，提高了算法的局部搜索能力和收斂精度。但改進算法存在全局搜索能力較弱的不足。Gupta等人［6］在教師選擇階段引入自適應因子對教師進行分配，通過減小損失函數(shù)，提高改進CNN模型的學習精度；Anitha等人［7］將引入堆疊自動編碼器的GTOA作為二分類模型用于老年人跌倒事件視覺實時監(jiān)測系統(tǒng)。研究發(fā)現(xiàn)，目前對GTOA性能改進的研究較少，有較大的研究價值。眾多學者在之前的研究中沒有考慮心理活動對人類行為的影響。為了進一步提高算法的性能，本文從教育心理學角度出發(fā)，提出了一種融合教育心理學理論的分組教學優(yōu)化算法（educational psychology group teaching optimization algorithm，EPGTOA），該算法在改進過程中考慮實際教學中教師的心理活動對教學行為的影響，在杰出組學生的教師教學階段融入支架式教學理論，學生更快地吸收教師所傳授的知識，提高算法局部搜索能力；在學生學習階段融入建構主義發(fā)展觀理論，學生逐漸形成自己獨特的認知結構，提高學生在學階段的學習能力，從而提高算法全局搜索能力。

1 分組教學優(yōu)化算法

GTOA是一種基于人類學習行為的優(yōu)化算法，具體策略是對學習過程的模擬。算法共分為學生分組階段、教師選擇階段、教師教學階段和學生學習階段四個階段。在算法中，班級中的學生數(shù)量記為N；每名學生對每門課程的學習能力代表著一個解分量，記為Xi={Xi1，Xi2，…，XiD}；所有學生的各科學習能力構成候選解集，總課程數(shù)等于變量維數(shù)，記為D；學生總的學習能力對應著算法中個體的適應度函數(shù)值，記為f（Xi）。對于最小化問題，求得的適應度函數(shù)值越小，表明該學生的學習能力越強。

1.1 學生分組階段

不失一般性，假設全班知識水平服從正態(tài)分布［1］，可以定義為

f（x）=12πδe-（x-μ）22δ2（1）

其中：x是要求正態(tài)分布函數(shù)的值；μ是班級學習能力的平均值；δ是標準差。標準差δ反映了學生之間學習能力的差異，δ值越大，學生之間的學習能力差異越大。一個好的教師不僅要考慮如何提高平均值μ，還要考慮如何降低標準差δ。

為了更好地體現(xiàn)小組教學的特點，且對每組同等重視，將所有學生按照學習能力排名平均分為兩組。其中一組學生學習能力強，稱為杰出組；另一組相對學習能力差一些，稱為潛力組。學生分組是一個動態(tài)的過程，即在每一次迭代后都會進行重新分組。

1.2 教師選擇階段

GTOA采用如下的教師選擇策略：

Tt=xtfirstf（xtfirst）≤f（xtfirst+xtsecond+xtthird3）

xtfirst+xtsecond+xtthird3f（xtfirst）gt;f（xtfirst+xtsecond+xtthird3） （2）

其中：xtfirst、xtsecond、xtthird分別代表學習能力排名第1～3的同學。為了提高算法的收斂速度，杰出組和潛力組共用一個教師進行指導。

1.3 教師教學階段

該階段教師為兩組同學制定不同的教學計劃，學生均向教師學習。其中，杰出組按照式（3）～（5）進行學習；潛力組按照式（6）進行學習。

xt+1teacher，i=xti+a×（Tt-F×（b×Mt+c×xti））（3）

Mt=1N∑Ni=1xti（4）

b+c=1（5）

xt+1teacher，i=xti+2d×（Tt-xti）（6）

其中：t是當前迭代次數(shù)；N是該組學生數(shù)；xti是學生i在時間t的知識水平；Tt是教師在時間t的知識水平；Mt是該組在時間t的平均知識水平；F是教學因子，取值可以是1或2［8］；xt+1teacher，i是學生i在時間t經(jīng)過教師教學階段學習后的知識水平；a、b、c和d是在［0，1］的隨機數(shù)。

此外，學生可能不會在教師教學階段獲得知識，對于此類學生，采取如下更新策略（以最小化問題為例）：

xt+1teacher，i=xt+1teacher，if（xt+1teacher，i）lt;f（xti）

xtif（xt+1teacher，i）≥f（xti）（7）

1.4 學生學習階段

該階段學生可以向其他同學學習，也可以進行自學習，具體學習策略如下：

xt+1student，i=xt+1teacher，i+e×xt+1teacher，i-xt+1teacher，j+

g×xt+1teacher，i-xtifxt+1teacher，ilt;fxt+1teacher，jxt+1teacher，i-e×xt+1teacher，i-xt+1teacher，j+

g×xt+1teacher，i-xti fxt+1teacher，i≥fxt+1teacher，j （8）

其中：e和g是［0，1］的兩個隨機數(shù)；xt+1student，i是學生i在時間t經(jīng)過學生學習階段學習后的知識水平；xt+1teacher，j是學生j在時間t經(jīng)過教師教學階段學習后的知識水平，學生j∈{1，2，…，i-1，i+1，…，N}是隨機選擇的。

此外，學生可能不會在學生學習階段獲得知識，對于此類學生，采取如下更新策略（以最小化問題為例）：

xt+1i=xt+1teacher，if（xt+1teacher，i）lt;f（xt+1student，i）

xt+1student，if（xt+1teacher，i）≥f（xt+1student，i）（9）

其中：xt+1i是學生i在一個學習周期后t+1時間的知識水平。

2 融合教育心理學理論的分組教學優(yōu)化算法

標準GTOA存在局部搜索能力弱、穩(wěn)定性差等不足，為此，許多學者對標準算法進行改進來提高算法的性能，并用其求解了許多優(yōu)化問題。但在求解高維復雜優(yōu)化問題時容易陷入局部最優(yōu)，算法的收斂速度和精度都不夠理想。為此，本文從教育心理學角度出發(fā)，在改進過程中考慮教師在實際教學中的心理行為和教學方式，從而提高算法的求解性能。針對GTOA局部搜索能力較弱的不足，融入支架式教學理論改進杰出組教師教學階段，教師幫助該組學生構建知識體系，進而提高學習效率，更快地吸收教師傳授的知識；在學生學習階段融入建構主義發(fā)展觀理論，學生逐步形成自己獨特的認知結構，提高學習能力，從而提高算法的全局搜索能力。

2.1 融入支架式教學理論改進杰出組教師教學階段

杰出組學生具有較強的學習能力，教師在教學過程中采用因材施教的教學理念，對于該組學生，教師不僅要傳授知識，還要引導學生構建知識體系，進而更好地掌握知識。前蘇聯(lián)著名心理學家維果斯基提出的最鄰近發(fā)展區(qū)理論中的支架式教學［9］思想講述的正是這一教學方法。

最鄰近發(fā)展區(qū)理論認為學生的發(fā)展有兩個水平：a）學生目前所處的水平，即能夠依靠自己獨立完成和解決問題的水平；b）學生所具有的潛在水平，即經(jīng)過學生的不懈努力，理論上可以達到的水平。這兩種水平之間的差異就是最鄰近發(fā)展區(qū)。在支架式教學理論中，教師進行教學前將最鄰近發(fā)展區(qū)的學習任務加以分解，形成知識框架，以便于將學生的理解逐步引向深入。在此過程中，教師起到引導作用，幫助學生構建他們自己的知識框架，并讓學生通過自己不斷地探索逐漸向下一個水平努力。考慮到杰出組學生自主學習能力相對較強，教師在教學過程中會幫助學生構建知識體系，學生系統(tǒng)地向教師學習，從而更快地提高學習能力。受此啟發(fā)，考慮到教師采用定制化的教學方法，并且杰出組學生具有較強的學習能力，所以學生在此階段接受教師講授的知識速度更快，個體搜索更精細，因此算法的局部搜索能力更強。如圖1（a）所示，個體減小搜索步長以增強局部勘探能力，進而尋得最優(yōu)解；而原算法的教師教學階段搜索步長較大，局部勘探能力弱，無法尋得最優(yōu)解，如圖1（b）所示。因此對杰出組學生的教師教學階段進行改進，具體更新方程如式（10）所示。

xt+1t，i=xti+aF×（Tt-xti-b×Mto）（10）

其中：t是當前迭代次數(shù)；xti是學生i在時間t的知識水平；Tt是教師t在時間的知識水平；Mto是該組在時間t的平均知識水平；xt+1t，i是學生i在時間t經(jīng)過教師教學階段學習后的知識水平；F是教學因子，取值是1或2；a、b是［0，1］的隨機數(shù)。

2.2 融入建構主義發(fā)展觀理論改進的學生學習階段

在學生學習階段，學生需要對教師所教授的知識進行歸納總結，進而更好地吸收知識，但這個過程是比較漫長的，學生需要不斷地學習才能取得效果。瑞士著名心理學家皮亞杰提出的建構主義發(fā)展觀［10］講述的正是這一過程。人在認識周圍世界的過程中會形成自己獨特的認知結構，即圖式，皮亞杰認為圖式是從較早的圖式系列中產(chǎn)生出來的，而較早的圖式系列又可以在最初的反射中追溯它的淵源。因此，圖式不是一成不變的，是有發(fā)生和發(fā)展的過程。學生學階段的過程就是圖式建構的過程，這是一個漫長的、不斷學習的過程。學生在學階段的學習能力提升過程與此效應所描述的相似，學生在該階段不僅可以向教師學習，而且可以通過學生之間的相互學習來提高學習能力。在實際分組教學活動中，教師在教學前期主要起引導協(xié)助作用，以小組內同學之間交流學習為主；隨著學習的深入，教師會對所要傳授的知識進行總結復習，有利于學生對知識的吸收，進而提高學習能力。所以考慮在算法改進過程中引入權重因子，更好地表述學生在學習階段形成認知結構的過程和刻畫學生在學階段向教師和同學學習的比例。

學生學習教師講授的知識需要較長的時間，在每個階段會取得一點進步，直到學期末才能完全吸收教師所傳授的知識。受此啟發(fā)，引入權重因子ω3刻畫在一個學習周期中學生吸收教師所傳授知識的過程。在算法迭代初期，ω3接近于0，學生吸收較少教師傳授的知識；隨著迭代次數(shù)的增加，ω3接近于1，學生逐漸掌握教師傳授的知識。同時，引入權重因子ω4刻畫學生之間的相互學習，在分組教學過程中，教師在前期主要提出知識框架和問題讓學生進行討論學習，因此學生在學階段學習能力的提升主要通過學生之間的相互學習。在算法迭代初期，ω4接近于1；隨著迭代次數(shù)的增加，ω4接近于0，學生主要向教師學習，即在分組教學后期，教師對知識進行系統(tǒng)性概括形成知識體系，有利于學生對知識的吸收，學生學習能力的提升也主要來源于教師的總結。具體更新方程如式（13）所示。

ω3=itermaxiter（11）

ω4=1-itermaxiter（12）

xt+1s，i=

xt+1t，i+d×（ω4xt+1t，j+ω3Tt-xt+1t，i）f（xt+1t，j）lt;f（xt+1t，i）

xt+1t，i+e×（ω4xt+1t，i+ω3Tt-xt+1t，j）f（xt+1t，j）≥f（xt+1t，i）（13）

其中：xt+1s，i是學生i在時間t經(jīng)過教師教學階段學習后的知識水平；xt+1t，j是學生j在時間t經(jīng)過教師教學階段學習后的知識水平，學生j∈{1，2，…，i-1，i+1，…N}是隨機選擇的；d和e是［0，1］的隨機數(shù)。

2.3 算法流程

融合教育心理學的EPGTOA算法步驟如下：

a）輸入種群規(guī)模N，問題維度D，搜索區(qū)域lb～ub，最大迭代次數(shù)maxiter。

b）隨機生成全體學生{X1，X2，…，XN}。

c）計算每個學生的適應度值并進行排序。

d）選出適應度值排名前三的個體，并按照式（2）得到新的適應度值和位置作為教師。

e）將排序后的學生均分為兩組，學習能力強的一組稱為杰出組，另一組稱為潛力組，兩組同學共用一名教師。

f）教師教學階段，對于杰出組，學生按照式（10）進行學習，潛力組學生按照式（6）進行學習。

g）學生學習階段，兩組學生按照式（13）進行學習。

h）經(jīng)過一輪學習后的學生組成一個新的種群。

i）重復步驟c）～h），直到滿足停機條件為止。

2.4 算法復雜度

GTOA的時間復雜度如下：假設群體規(guī)模為N，搜索空間維度為D，則GTOA初始化群體的時間復雜度為O（ND），對學生進行分組、教師教學、學生學習操作的時間復雜度為O（N），計算個體適應度值的時間復雜度為O（ND），GTOA總的時間復雜度為O（ND）。

同理，EPGTOA融入支架式教學理論的時間復雜度為O（N），融入建構主義發(fā)展觀理論的時間復雜度為O（N），因此，EPGTOA總的時間復雜度為O（ND）。因為EPGTOA和GTOA的時間復雜度處于同一水平，所以上述改進策略并未對基本GTOA產(chǎn)生負面影響。

3 數(shù)值實驗和結果分析

為驗證EPGTOA的有效性，選取灰狼算法（grey wolf optimization，GWO）［11］、蜉蝣算法（mayfly optimization algorithm，MA）［12］、飛蛾撲火算法（moth-flame optimization algorithm，MFO）［13］、教與學算法（TLBO）、分組教學優(yōu)化算法（GTOA）、基于信息共享的分組教學優(yōu)化算法（group teaching optimization algorithm with information share，ISGTOA）［14］與本文改進算法在相同的實驗環(huán)境下進行對比。表1給出了21個測試函數(shù)的表達式及理論最優(yōu)值，測試函數(shù)的維度分別為100維和1 000維，最大適應度評價次數(shù)分別為15 000次和20 000次。

3.1 算法流程

仿真計算使用環(huán)境為：CPU為i5-1135G7，內存為16 GB，操作系統(tǒng)為Windows 10，編程軟件為MATLAB 2018a。參考文獻［11～13］的參數(shù)設置，其中GWO中的控制參數(shù)a的初始值為2，終止值為0；MA的吸引系數(shù)a1=1，a2=1.5，能見度系數(shù)β=2，舞蹈系數(shù)d=5；MFO的對數(shù)螺旋形狀常數(shù)b=1。將七種算法在表1中的21個測試函數(shù)獨立運行30次，分別記錄在100維和1 000維的平均值、標準差，如表2、3所示。

3.2 實驗結果分析

從表2和3可以看出，在相同的測試環(huán)境下，無論是100維還是1 000維，改進后的EPGTOA均能取得較好的求解結果，有著良好的收斂性能。對于八個測試函數(shù)（f8～f10、f12、f14、f16～f18）在1 000維問題上都求得了理論最優(yōu)解，并且標準差為0，說明了算法具有較好的穩(wěn)定性。而對于函數(shù)f12、f16、f17在100維問題上沒有求得理論最優(yōu)解，說明融入支架式教學和建構主義發(fā)展觀理論對求解高維問題有良好的作用；對于函數(shù)f8和f18，EPGTOA能夠跳出局部最優(yōu)，而GTOA和另外五種算法均陷入局部最優(yōu)，未求得最優(yōu)解；對于八個測試函數(shù)（f1～f3、f7、f13、f15、f19、f20），EPGTOA的平均值均優(yōu)于其他六種算法，且標準差均為0，進一步說明了算法具有良好的穩(wěn)定性；對于五個測試函數(shù)（f4～f6、f11、f21），EPGTOA陷入局部最優(yōu)，未求得最優(yōu)解，但收斂效果均優(yōu)于其他六種算法。此外，在學生學生學習階段融入建構主義發(fā)展觀理論，使得EPGTOA能夠快速跳出局部最優(yōu)，增強全局開發(fā)能力，如圖2函數(shù)f8、f18所示。在杰出組學生的教師教學階段融入支架式教學理論，增強算法的局搜勘探能力，使得算法快速收斂，并且找到全局最優(yōu)解，如圖2函數(shù)f9、f10所示。綜上所述，EPGTOA從收斂精度和穩(wěn)定性均展現(xiàn)出比GTOA更好的性能，驗證了在算法改進中融入心理學理論改進策略的有效性。

與GTOA和ISGTOA相比，對于函數(shù)f8和f18在100維和1 000維問題上融入建構主義發(fā)展觀理論的EPGTOA都能夠跳出局部最優(yōu)，而GTOA和ISGTOA均陷入局部最優(yōu)，進而無法尋得理論最優(yōu)解。在1 000維問題上，對于函數(shù)f5，ISGTOA無法跳出局部最優(yōu)，而GTOA和EPGTOA能夠跳出局部最優(yōu)，但EPGTOA取得更優(yōu)的結果，搜索精度更高。對于函數(shù)f9、f10、f12、f14、f16、f17，EPGTOA都能夠求得理論最優(yōu)解，而GTOA和ISGTOA都未穩(wěn)定收斂到最優(yōu)值。進而說明在杰出組學生的教師教學階段融入支架式教學理論，能夠提高算法的局部勘探能力和算法的尋優(yōu)精度，并且標準差均為0，說明算法具有較強的穩(wěn)定性。除函數(shù)f9外，ISGTOA的尋優(yōu)精度均沒有GTOA高，而對于21個測試函數(shù)，在100維和1 000維問題上，EPGTOA的尋優(yōu)精度、收斂速度和算法穩(wěn)定性都優(yōu)于GTOA和ISGTOA，進一步說明在GTOA改進中融入教育心理學理論能夠顯著提高算法的搜索性能。

通過數(shù)值實驗結果驗證了融入教育心理學理論改進的EPGTOA在收斂精度上的提升。表4給出了EPGTOA與GTOA、ISGTOA等六種對比算法對21個測試函數(shù)在相同實驗環(huán)境下獨立運行30次的平均函數(shù)評價次數(shù)，問題維度為1 000，收斂精度設為1×E-32，最大函數(shù)評價次數(shù)20 000次。符號“–”表示函數(shù)在20 000次函數(shù)評價次數(shù)內未達到收斂精度。從表4可以看出，與其他六種算法相比，EPGTOA的函數(shù)評價次數(shù)較小。GWO、MA、MFO在除函數(shù)f9外，均未能在20 000次函數(shù)評價次數(shù)內達到收斂精度要求。與GTOA和ISGTOA相比，對于21個測試函數(shù)，EPGTOA都能較快地達到尋優(yōu)精度。對于函數(shù)f11、f18，除GTOA和EPGTOA外，其余算法都未在20 000次函數(shù)評價次數(shù)內達到收斂精度要求。但與GTOA相比，EPGTOA的平均函數(shù)評價次數(shù)都比GTOA小，說明在杰出組學生的教師教學階段融入支架式教學理論增強了算法的局部勘探能力，從而提高了算法的收斂速度。對于函數(shù)f8，只有EPGTOA能夠快速地達到收斂精度，其余算法均未跳出局部最優(yōu)，進而說明了在學生學習階段融入建構主義發(fā)展觀理論有效提升了算法的全局搜索能。

3.3 Wilcoxon檢驗

為了判斷EPGTOA的每次結果是否有顯著優(yōu)勢［15，16］，采用Wilcoxon［17］統(tǒng)計檢驗，在5%的顯著水平下對21個標準測試函數(shù)進行計算，求得EPGTOA與GTOA等六種算法在D=1 000的Wilcoxon秩和檢驗中計算的p值，結果如表5所示。其中符號“+”“–”和“=”分別表示EPGTOA的性能優(yōu)于、劣于和相當于對比算法。由表5可見，EPGTOA的p值基本小于0.05，這表明算法的優(yōu)越性在統(tǒng)計上是顯著的，即EPGTOA比其他算法有更高的收斂精度。NaN表示EPGTOA與對比算法中最佳值都為0。

為了進一步驗證改進算法的性能，Emad［18］提出對優(yōu)化算法進行排序，通過計算所有算法的絕對誤差（mean absolute error，MAE）來進行定量分析。其計算公式如下：

MAE=∑Nfi=1|mi-oi|Nf（14）

其中：mi為算法在函數(shù)i上產(chǎn)生最優(yōu)結果的平均值；oi為函數(shù)i的理論最優(yōu)值；Nf為測試函數(shù)個數(shù)。

對七種算法在21個標準測試函數(shù)上的結果按式（14）進行計算可得：GWO，2.31E+00；MA，6.51E+02；MFO，2.60E+10；TLBO，4.50E-02；GTOA，4.20E-11；ISGTOA，4.44E-02；EPGTOA，3.80E-66。由計算結果可見，算法排名為EPGTOAGTOATLBOISGTOAGWOMAMFO，結果進一步表明了EPGTOA的有效性。

改進的EPGTOA性能明顯優(yōu)于GTOA，這得益于將心理學理論引入到算法中。在杰出組學生的教師教學階段融入支架式教學理論，如式（10）所示，增強算法局部搜索的能力；在學生學習階段融入建構主義發(fā)展觀理論，如式（13）所示，增強算法的全局勘探能力，從而使得改進算法的整體優(yōu)化效果得到了提高。

4 結束語

本文針對分組教學優(yōu)化算法求解精度不高、局部搜索能力弱的問題提出了融合教育心理學理論的分組教學優(yōu)化算法（EPGTOA）。首次結合教育心理學理論對分組教學優(yōu)化算法進行改進。在杰出組學生的教師教學階段融入支架式教學理論，該組學生具有較強的學習能力，因此教師將所要教授的知識加以分解，培養(yǎng)該組學生形成知識體系，進行定制化教學，使得杰出組學生的學習能力快速提高，從而加強局部搜索能力；在學生學習階段融入建構主義發(fā)展觀理論，學生逐漸形成自己獨特的認知圖式，提高學習能力，從而提高算法的全局勘探能力。為驗證算法的性能，選取21個經(jīng)典的標準測試函數(shù)進行數(shù)值實驗。實驗結果表明，與GTOA、ISGTOA、TLBO、GWO、MA、MFO算法相比，本文EPGTOA不僅收斂速度快、尋優(yōu)精度高，而且算法的穩(wěn)定性也很強，尤其在求解高維測試函數(shù)上，改進算法擁有更好的性能。同時，對改進算法所得到的數(shù)據(jù)與GTOA等六種算法進行統(tǒng)計分析和Wilcoxon檢驗，結果驗證了算法的可靠性，并且表明改進算法具有更好的全局搜索能力和求解穩(wěn)定性。由此可見，在算法設計中考慮人的心理行為有著重要意義。后續(xù)將該算法用于求解智能電網(wǎng)系統(tǒng)等優(yōu)化問題。

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