多策略協(xié)同優(yōu)化的改進(jìn)HHO算法

收稿日期：2022-05-24；修回日期：2022-07-18" 基金項(xiàng)目：教育部規(guī)劃基金青年項(xiàng)目（21YJCZH204）；遼寧省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2020-MS-301）；遼寧省教育廳項(xiàng)目（LJ2019JL017）

作者簡(jiǎn)介：柴巖（1970-），女，遼寧阜新人，教授，碩導(dǎo)，碩士，主要研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論與應(yīng)用；任生（1997-），男（通信作者），遼寧葫蘆島人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論與應(yīng)用（2996799376@qq.com）.

摘 要：

為進(jìn)一步提升哈里斯鷹優(yōu)化算法（HHO）的收斂精度和迭代速度，提出一種多策略協(xié)同優(yōu)化的改進(jìn)HHO算法（MSHHO）。首先采用拉丁超立方抽樣方法初始化種群，加強(qiáng)個(gè)體在解空間區(qū)域的均勻化分布程度；其次引入融合萊維飛行的自適應(yīng)阿基米德螺旋機(jī)制于局部搜索階段，完善算法開采機(jī)制并有效增強(qiáng)個(gè)體鄰域的搜索嚴(yán)密性，提高算法收斂精度；最后鑒于算法在迭代后期易于陷入局部極值情形，采取柯西變異和反向?qū)W習(xí)的混合變異策略交替擾動(dòng)最優(yōu)個(gè)體以助其快速逃離局部極值區(qū)，加快算法迭代速度。通過(guò)對(duì)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的求解對(duì)比分析、Wilcoxon秩和檢驗(yàn)和CEC2014復(fù)雜函數(shù)對(duì)比分析，證實(shí)了改進(jìn)算法優(yōu)異的尋優(yōu)性能和穩(wěn)健的魯棒性。

關(guān)鍵詞：哈里斯鷹優(yōu)化算法；拉丁超立方抽樣；萊維飛行；自適應(yīng)阿基米德螺旋；混合變異

中圖分類號(hào)：TP301.6"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A""" 文章編號(hào)：1001-3695（2022）12-020-3658-09

doi："" 10.19734/j.issn.1001-3695.2022.05.0246

Improved HHO algorithm based on multi-strategy cooperative optimization

Chai Yan， Ren Sheng

（College of Science， Liaoning Technical University， Fuxin Liaoning 123000， China）

Abstract：

In order to improve the convergence accuracy and iteration speed of Harris eagle optimization algorithm （HHO）， this paper proposed a multi-strategy cooperative optimization improved HHO algorithm （MSHHO）. Firstly， this paper used a Latin hypercube sampling to initialize the population to enhance the uniformity of individual distribution in the solution space. Secondly， it introduced the adaptive Archimedes spiral mechanism based on Lévy flight in the local search stage to improve the mining mechanism of the algorithm and effectively enhanced the search rigor of individual neighborhood to improve the convergence accuracy of the algorithm. Finally， considering that the algorithm was prone to fall into the local extremum situation at the later stage of iteration， it adopted the hybrid mutation strategy of Cauchy mutation and reverse learning to alternate the optimal individuals to help them escape from the local extremum region quickly and accelerate the iteration speed of the algorithm. Through the comparative analysis of the solution of benchmark function， Wilcoxon rank sum test and the comparative analysis of CEC2014 complex functions， it confirms the excellent optimization performance and robust robustness of the improved algorithm.

Key words：Harris eagle optimization algorithm; Latin hypercube sampling; Lévy flight; adaptive Archimedes spiral; hybrid mutation

0 引言

智能優(yōu)化算法是基于自然界生物集群行為或自然現(xiàn)象規(guī)律而產(chǎn)生的一種尋優(yōu)手段，因其具有靈活性、簡(jiǎn)便性、高效性等特點(diǎn)被廣泛用于求解旅行商［1］、機(jī)器人路徑規(guī)劃［2］、車間調(diào)度［3］等眾多復(fù)雜的優(yōu)化問題，并且效果顯著。自20世紀(jì)中后期，智能優(yōu)化算法開始為大眾熟知，如模擬鳥群群體覓食行為的粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）［4］、基于螞蟻群體搜索最優(yōu)路徑的蟻群算法（ant colony optimization， ACO）［5］、源于動(dòng)植物演化機(jī)制的遺傳算法（genetic algorithm，GA）［6］等經(jīng)典算法，隨著信息技術(shù)的高速發(fā)展，更多新型的智能優(yōu)化算法為滿足實(shí)際需求被提出，如模擬灰狼等級(jí)和捕食機(jī)制的灰狼優(yōu)化算法（grey wolf optimizer，GWO）［7］、基于座頭鯨捕食獵物行為的鯨魚優(yōu)化算法（whale optimization algorithm，WOA）［8］、模擬蝴蝶覓食和交配行為的蝴蝶優(yōu)化算法（butterfly optimization algorithm，BOA）［9］等。

Heidari 等人［10］通過(guò)研究分析哈里斯鷹群體圍擊獵物的生物行為，于2019年提出了哈里斯鷹優(yōu)化算法（Harris hawks optimization，HHO），作為一種新型智能優(yōu)化算法，該算法主要圍繞哈里斯鷹捕食過(guò)程展開，模擬了哈里斯鷹圍擊獵物的生物行為，具有原理易于理解、算法便于實(shí)現(xiàn)、全局探索能力強(qiáng)等特點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用于光伏電池組件識(shí)別［11］、圖像分割［12］等領(lǐng)域問題。但在求解復(fù)雜的高維優(yōu)化問題時(shí)，HHO算法仍具有其他智能優(yōu)化算法所存在的收斂速度慢、收斂精度低、容易產(chǎn)生早熟現(xiàn)象等問題。為此，一些國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)HHO算法進(jìn)行相關(guān)改進(jìn)。

Jia等人［13］利用動(dòng)態(tài)控制逃逸因子策略來(lái)協(xié)調(diào)HHO算法尋優(yōu)的平衡性，并融入差分變異策略提升了算法的全局搜索能力; Wunnava等人［14］以均值化逃逸因子的方式平衡了算法搜索過(guò)程，并通過(guò)對(duì)比種群平均適應(yīng)度和個(gè)體適應(yīng)度來(lái)確定全局搜索公式；Guo等人［15］提出了佳點(diǎn)集初始化種群的方法來(lái)均勻化種群分布，并通過(guò)非線性自適應(yīng)權(quán)重調(diào)節(jié)能量逃逸因子來(lái)提升算法性能；趙世杰等人［16］設(shè)計(jì)了一種周期性能量因子遞減策略，并依據(jù)牛頓迭代思想提出牛頓局部增強(qiáng)策略；Hussain等人［17］引入正余弦算法于HHO算法搜索階段并在局部開采過(guò)程添加增量因子，同時(shí)修改了能量逃逸參數(shù)來(lái)調(diào)控HHO算法搜索過(guò)程；郭雨鑫等人［18］使用精英反向?qū)W習(xí)初始化種群，并將黃金正余弦算法融入HHO算法的圍擊策略中來(lái)提高其局部開采的嚴(yán)密性；陳功等人［19］利用tent映射初始化種群，并融合互利共生思想增強(qiáng)了種群信息交流，最后提出透鏡反向?qū)W習(xí)策略擾動(dòng)個(gè)體位置加快了算法的收斂速度。

上述改進(jìn)文獻(xiàn)雖一定程度提升了HHO算法的收斂精度和迭代速度，但仍難以避免陷入局部極值、早熟收斂等問題，為此本文提出了多策略協(xié)同優(yōu)化的改進(jìn)HHO算法。首先利用拉丁超立方抽樣方法均勻化初始種群，夯實(shí)算法后續(xù)的尋優(yōu)基礎(chǔ)；其次基于哈里斯鷹圍擊獵物過(guò)程嚴(yán)密性不足的情形，提出融合萊維飛行的自適應(yīng)阿基米德螺旋機(jī)制來(lái)強(qiáng)化算法的局部開采階段，保證其擁有更加優(yōu)異的求解能力；最后為最大程度規(guī)避局部極值對(duì)算法收斂的消極影響，引入柯西反向?qū)W習(xí)混合變異策略來(lái)擾動(dòng)全局最優(yōu)個(gè)體，幫助算法順利跳出局部極值區(qū)。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)佐證了MSHHO算法的極佳的尋優(yōu)性能。

1 哈里斯鷹優(yōu)化算法（HHO）

HHO算法以哈里斯鷹為待優(yōu)化問題可行解，迭代初期的哈里斯鷹棲息在某處伺機(jī)觀察，通過(guò)以下兩種策略對(duì)獵物進(jìn)行搜索，具體策略如下：

X（t+1）=Xrand（t）－r1|Xrand（t）－2r2X（t）|""" q≥0.5

（Xbest（t）－Xm（t））－r3（lb+r4（ub－lb）） qlt;0.5（1）

其中：X（t+1）和X（t）為哈里斯鷹第t+1次和第t次迭代位置；Xrand（t）和Xbest（t）分別為隨機(jī)個(gè)體和獵物位置；r1、r2、r3、r4、q分別為［0，1］的隨機(jī)數(shù)；Xm（t）為種群的平均位置，公式為

Xm（t）=1N∑Na=1Xa（t）（2）

在迭代搜索過(guò)程中，HHO算法以能量因子E實(shí)現(xiàn)全局搜索和局部開發(fā)的轉(zhuǎn)換，其公式表達(dá)如下：

E=2E01－tT（3）

其中：t和T分別為當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)；E0為［－1，1］的隨機(jī)數(shù)，表示初始能量值。當(dāng)|E|≥1時(shí)，算法進(jìn)行全局搜索，反之進(jìn)行局部開發(fā)。

在確定獵物位置后，哈里斯鷹以四種可能的圍擊策略對(duì)獵物展開圍擊。參數(shù)α∈［0，1］表示獵物是否成功逃逸，并結(jié)合能量因子E的相對(duì)大小對(duì)圍擊策略進(jìn)行選擇。

a）當(dāng)|E|≥0.5且α≥0.5，哈里斯鷹以軟圍擊策略捕食獵物，此時(shí)獵物雖擁有足夠能量但因缺乏成功逃跑機(jī)會(huì)而被捕殺，個(gè)體位置更新公式為

X（t+1）=Xbest（t）－X（t）－E|PXbest（t）－X（t）|（4）

其中：PXr（t）－X（t）為獵物與當(dāng)前哈里斯鷹的距離；P=2（1－r5）為獵物逃跑能力；r5為［0，1］隨機(jī)數(shù)。

b）當(dāng)|E|lt;0.5且α≥0.5，哈里斯鷹采取硬圍擊策略捕食獵物，此時(shí)獵物因能量匱乏而被獵殺，個(gè)體位置更新公式為

X（t+1）=Xbest（t）－E|PXbest（t）－X（t）|（5）

c）當(dāng)|E|≥0.5且αlt;0.5，哈里斯鷹采取漸進(jìn)式俯沖快速的軟圍擊策略捕食獵物，此時(shí)獵物擁有足夠能量且逃跑成功概率較大，因此哈里斯鷹將采取更加嚴(yán)密的策略進(jìn)行捕殺，公式為

X（t+1）=Y1" f（Y1）lt;f（X（t））Y2" f（Y2）lt;f（X（t）） （6）

Y1=Xbest（t）－E|PXbest（t）－X（t）|（7）

Y2=Y1+Q×LF（d）（8）

其中：f為目標(biāo)函數(shù)；Q為d維隨機(jī)向量；LF為L(zhǎng)évy飛行函數(shù)。

d）當(dāng)|E|lt;0.5且αlt;0.5，哈里斯鷹采取漸進(jìn)式俯沖快速的硬圍擊策略捕食獵物，此時(shí)獵物逃逸成功機(jī)會(huì)較大但能量匱乏，哈里斯鷹以縮短和獵物平均距離捕殺獵物，具體公式為

X（t+1）=Y1" f（Y1）lt;f（X（t））Y2" f（Y2）lt;f（X（t）） （9）

Y1=Xbest（t）－E|PXbest（t）－Xm（t）|（10）

Y2=Y1+Q×LF（d）（11）

2 改進(jìn)哈里斯鷹優(yōu)化算法（MSHHO）

2.1 拉丁超立方抽樣

對(duì)于采用并行迭代方式尋優(yōu)的智能優(yōu)化算法，多樣性更為優(yōu)異的初始種群奠定了算法求解基礎(chǔ)。標(biāo)準(zhǔn)HHO算法以rand函數(shù)隨機(jī)初始化種群個(gè)體，該方式生成的種群隨機(jī)性較高，但無(wú)法確保其均勻覆蓋于解空間區(qū)域，從而降低了算法后續(xù)的迭代效率。拉丁超立方抽樣［20］是一種分層抽樣手段，其主要特征為抽取樣本的均勻化程度高，相比于隨機(jī)抽樣方法更為有效，因此被廣泛應(yīng)用于智能算法的初始化種群?jiǎn)栴}［21］。假設(shè)從D維向量空間抽取N個(gè)樣本，拉丁超立方抽樣步驟如下：

a）確定向量空間D和抽取樣本數(shù)N，并設(shè)一超立方體變量維度為D，變量xj∈［lb，ub］，j=1，2，…，D。

b）將變量xj的定義域［lb，ub］劃分為N個(gè)均等區(qū)間，即

lb=xj1lt;xj2lt;…lt;xjilt;…lt;xjN=ub

所以原超立方體被劃分為ND個(gè)小超立方體。

c）產(chǎn)生N×D的矩陣A，該矩陣的每列皆為N個(gè)均等區(qū)間的全排列組合。

d）矩陣A每行對(duì)應(yīng)一個(gè)選定的小超立方體，在每個(gè)選定的小超立方體內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)樣本，即可抽取到N個(gè)樣本。

圖1為標(biāo)準(zhǔn)HHO算法隨機(jī)初始化的種群分布，圖2為拉丁超立方抽樣初始化的種群分布，其中種群規(guī)模N=50。對(duì)比分析可知，圖1中存在個(gè)體聚集情形較嚴(yán)重，且左上角位置的空白區(qū)域較大，初始種群的均勻化程度偏低，而在圖2中個(gè)體均勻地存在于整個(gè)解空間，種群的區(qū)域覆蓋性偏高，并且不存在個(gè)體重疊現(xiàn)象，因此拉丁超立方抽樣方法生成的種群質(zhì)量更高，多樣性更加優(yōu)異。

2.2 融合萊維飛行的自適應(yīng)阿基米德螺旋機(jī)制

在標(biāo)準(zhǔn)HHO算法中，哈里斯鷹以四種圍擊策略對(duì)獵物鄰域進(jìn)行開采，此過(guò)程雖相對(duì)完善模擬了種群狩獵行為，但仍存在如下問題：a）軟圍擊和硬圍擊策略中均未建立于父代個(gè)體之上，削弱了父代個(gè)體與子代個(gè)體間的信息交流，并且僅以全局最優(yōu)個(gè)體為指導(dǎo)進(jìn)行位置更新的方式也將增大迭代后期種群多樣性缺失的可能性；b）快速俯沖軟圍擊和硬圍擊策略利用萊維飛行來(lái)擾動(dòng)個(gè)體更新過(guò)程雖強(qiáng)化了算法尋優(yōu)的隨機(jī)性，但萊維飛行手段只在個(gè)體陷入開采停滯時(shí)發(fā)揮作用，難以滿足算法總體的局部搜索過(guò)程；c）標(biāo)準(zhǔn)算法的四種圍擊策略皆未能充分利用全局最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行迭代尋優(yōu)，忽視了不同時(shí)期全局最優(yōu)個(gè)體對(duì)種群個(gè)體更新的不同影響作用。

為解決上述問題，本文引入融合萊維飛行的阿基米德螺旋機(jī)制來(lái)提高標(biāo)準(zhǔn)算法的局部開采效益，并以自適應(yīng)權(quán)重動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)全局最優(yōu)個(gè)體在不同階段所占比重。

2.2.1 融合萊維飛行的阿基米德螺旋公式

阿基米德螺線［22］是一點(diǎn)勻速脫離某一固定點(diǎn)并以恒定角速度繞該固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)所生成的運(yùn)動(dòng)軌跡，其極坐標(biāo)形式為

r=a+bθ（12）

其中：a為初始點(diǎn)至極坐標(biāo)中心距離；b為螺線間距離；θ為極角。將萊維飛行策略與阿基米德螺線進(jìn)行融合來(lái)開采個(gè)體鄰域范圍內(nèi)的解，如式（13）（14）所示。

X（t+1）=Xbest（t）+|Xbest（t）－XLevy（t）|l cos（2πl(wèi)）（13）

XLevy（t）=μ|α|1/β（Xr（t）－Xbest（t））（14）

其中：Xbest（t）為當(dāng)前種群最優(yōu)個(gè)體；XLevy（t）表示式（14）生成的萊維飛行解；l為［－1，1］的隨機(jī)數(shù)；Xbest（t）和|Xbest（t）-XLevy（t）|l分別對(duì)應(yīng)阿基米德螺線的a和b；cos（2πl(wèi)）則對(duì)應(yīng)阿基米德螺線的極角θ；

Xr（t）為種群內(nèi)部的隨機(jī)個(gè)體；μ和ν分別服從正態(tài)分布μ～N（0，σ2μ）和ν～N（0，σ2ν），且σ2μ和σ2v取值為

σμ=Γ（1+β）sin（πβ/2）Γ［（1+β）/2］β2（β－1）/21/β， συ=1（15）

其中：Γ為伽瑪函數(shù)；β的一般取值為（0，2］，本文取β=1。

該機(jī)制借助阿基米德螺線的旋轉(zhuǎn)特征，以一定角度和轉(zhuǎn)動(dòng)間距搜索個(gè)體鄰域范圍，可避免算法遺漏部分解空間區(qū)域，最大限度地確保開采周密性；作為一種隨機(jī)游走方式，萊維飛行采用小步長(zhǎng)搜索和大步長(zhǎng)跳躍相結(jié)合的方式遍歷解空間，可有效擴(kuò)大哈里斯鷹種群的搜索范圍，并更好地規(guī)避局部極值對(duì)算法尋優(yōu)的消極影響。本文將萊維飛行策略融入阿基米德螺旋機(jī)制來(lái)搜索局部解，既可保證算法開采過(guò)程的嚴(yán)密性與準(zhǔn)確性，增強(qiáng)局部搜索能力，又能在迭代后期提高算法的種群多樣性以避免早熟現(xiàn)象產(chǎn)生，優(yōu)化了算法尋優(yōu)精度和收斂速度。

2.2.2 自適應(yīng)權(quán)重因子

本文提出一種自適應(yīng)權(quán)重因子來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)全局最優(yōu)個(gè)體在不同時(shí)期的螺旋機(jī)制中的影響程度，并以此來(lái)強(qiáng)化該機(jī)制在迭代過(guò)程的開采效益，自適應(yīng)權(quán)重因子如式（16）所示。

w=1－（e（2.（1－t/T））－e（－2.（1－t/T）））（e（2.（1－t/T））+e（－2.（1－t/T）））（16）

其中：w為自適應(yīng)權(quán)重因子；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)。取T=500，自適應(yīng)權(quán)重因子w隨迭代次數(shù)變化的曲線趨勢(shì)如圖2所示。

由圖2可知，曲線總體呈遞增態(tài)勢(shì)且遞增速度逐步加快，迭代前期權(quán)重因子w偏小，反應(yīng)了全局最優(yōu)個(gè)體在該時(shí)期對(duì)螺旋機(jī)制尋優(yōu)的影響較小，種群個(gè)體可充分搜索鄰近區(qū)域；當(dāng)算法處于迭代中后期時(shí)權(quán)重因子w偏大，全局最優(yōu)個(gè)體增強(qiáng)了對(duì)個(gè)體位置更新的影響，并迫使種群個(gè)體向全局最優(yōu)位置處靠攏，加快算法求解效率。聯(lián)合式（13）（16），融合萊維飛行的自適應(yīng)阿基米德螺旋機(jī)制如式（17）所示。

X（t+1）=wXbest（t）+|Xbest（t）－XLevy（t）|l cos（2πl(wèi)）（17）

2.3 柯西反向?qū)W習(xí)混合變異策略

標(biāo)準(zhǔn)HHO算法中，最優(yōu)位置的產(chǎn)生依賴于哈里斯鷹群體的圍擊獵物行為，當(dāng)種群個(gè)體因迭代次數(shù)遞增而趨于聚集時(shí)，最優(yōu)個(gè)體將缺乏快速逃逸局部極值區(qū)的能力，從而使算法易出現(xiàn)早熟現(xiàn)象。因此本文引入融合柯西變異和反向?qū)W習(xí)的混合變異策略對(duì)當(dāng)前最優(yōu)解進(jìn)行擾動(dòng)處理，以確保算法在局部尋優(yōu)時(shí)具有更大的種群多樣性，順利逃離局部極值的同時(shí)加快種群逼近最優(yōu)位置的速度。

柯西變異源于柯西分布，由柯西分布機(jī)理可知，柯西分布函數(shù)曲線兩端較長(zhǎng)，表明其可使個(gè)體更易逃離局部極值，而且較小的峰值將指導(dǎo)個(gè)體花費(fèi)更少時(shí)間搜尋最優(yōu)位置。因此將柯西變異算子引入HHO算法中，充分利用其擾動(dòng)能力強(qiáng)的特點(diǎn)調(diào)控當(dāng)前最優(yōu)解，表達(dá)式如下：

X*best（t+1）=Cauchy（0，1）⊕Xbest（t）（18）

反向?qū)W習(xí)是2005年提出的一種新手段，其核心思想是根據(jù)當(dāng)前解捕獲相應(yīng)解空間內(nèi)的反向解，通過(guò)對(duì)比兩者優(yōu)劣保留較優(yōu)解的方式引導(dǎo)個(gè)體尋優(yōu)，將反向?qū)W習(xí)策略引入標(biāo)準(zhǔn)算法中，表達(dá)式如下：

Xbest′（t）=k1（ub+lb）－Xbest（t）（19）

X*best（t+1）=k2（Xbest（t）-Xbest′（t））（20）

其中：X′best（t）為第t次迭代時(shí)最優(yōu)個(gè)體反向解；k1、k2分別為［0，1］的隨機(jī)數(shù)。

綜合上述策略，柯西反向?qū)W習(xí)混合變異策略的公式如下：

X*best（t+1）=Cauchy（0，1）Xbest（t）" Pgt;0.5

k2（Xbest（t）-Xbest′（t）） P≤0.5（21）

其中：Xbest′（t）來(lái)自式（19）；P為服從正態(tài)分布的隨機(jī)概率。當(dāng)Pgt;0.5時(shí)，算法以柯西算子變異最優(yōu)解，其強(qiáng)大的擾動(dòng)能力可大幅提升最優(yōu)解周圍的種群多樣性，在面對(duì)陷入局部極值的最優(yōu)個(gè)體時(shí)，可助其快速逃逸以保證算法穩(wěn)健尋優(yōu)；當(dāng)P≤0.5時(shí)，算法以反向?qū)W習(xí)策略擾動(dòng)當(dāng)前最優(yōu)解，經(jīng)反向?qū)W習(xí)生成的反向解可擴(kuò)大種群的開采范圍，增加個(gè)體接近目標(biāo)位置概率，且隨機(jī)值k1的動(dòng)態(tài)變化一定程度提高了算法尋優(yōu)速度。采用擾動(dòng)最優(yōu)個(gè)體的混合變異策略雖增強(qiáng)了算法脫離局部極值區(qū)的能力，但并不能確保變異后的位置一定優(yōu)于原位置，因此本文在混合變異策略結(jié)束后采用貪婪算法比較兩者適應(yīng)度值，以保存優(yōu)勢(shì)個(gè)體，公式如下：

Xb=Xb" f（Xb）≤f（X*b）

X*b f（Xb）gt;f（X*b）（22）

2.4 改進(jìn)算法實(shí)現(xiàn)流程

MSHHO算法偽代碼如下：

輸入：種群規(guī)模N，問題維度D，最大迭代次數(shù)T。

輸出：獵物位置Xbest及其適應(yīng)度f(wàn)（Xb）。

利用拉丁超立方抽樣方法初始化種群X

while（tlt;T）

計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度以確定當(dāng)代最優(yōu)個(gè)體

利用式（21）產(chǎn)生混合變異解，并以式（22）選擇優(yōu)勢(shì)個(gè)體

更新能量因子E與自適應(yīng)權(quán)重w

for i=1∶N

if |E|≥1//探索階段

以式（1）更新哈里斯鷹位置

else if |E|lt;1//開采階段

以式（4）（5）（6）（9）圍擊獵物

采用融合萊維飛行的自適應(yīng)阿基米德螺旋機(jī)制強(qiáng)化圍擊策略，并根據(jù)強(qiáng)化前后的適應(yīng)度值擇優(yōu)保留個(gè)體位置

end if

end for

t=t+1

end while

2.5 時(shí)間復(fù)雜度分析

時(shí)間復(fù)雜度是衡量算法性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)，其決定了代碼自身的運(yùn)行效率，特別是在處理高維復(fù)雜的優(yōu)化問題時(shí)，直接影響算法最終的尋優(yōu)速度和求解精度。下面將對(duì)標(biāo)準(zhǔn)HHO和MSHHO算法的時(shí)間復(fù)雜度進(jìn)行對(duì)比分析。

標(biāo)準(zhǔn)的HHO算法中，假設(shè)哈里斯鷹種群規(guī)模為N，搜索維度為D，最大迭代次數(shù)為T，適應(yīng)度函數(shù)為f（x）。在種群初始化階段，設(shè)初始化參數(shù)時(shí)間為a0，產(chǎn)生每一維值時(shí)間為a1，此階段時(shí)間復(fù)雜度為

T1=O（a0+NDa1）=O（D）

在獵物位置更新和能量轉(zhuǎn)換階段，設(shè)個(gè)體每一維變量邊界檢查及處理時(shí)間為a2，個(gè)體適應(yīng)度值的運(yùn)算時(shí)間為f（D），種群個(gè)體對(duì)比歷史最優(yōu)解時(shí)間為a3，個(gè)體執(zhí)行式（3）實(shí)現(xiàn)能量轉(zhuǎn)換時(shí)間為a4。則該階段時(shí)間復(fù)雜度為

T2=O（T（N（Da2+f（D）+a3）+a4））=O（D+f（D））

在個(gè)體搜尋獵物階段，設(shè)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)q時(shí)間為a5，依據(jù)式（1）生成新個(gè)體每一維值的時(shí)間為a6，則該階段時(shí)間復(fù)雜度為

T3=O（T（a5+NDa6））=O（D）

在個(gè)體開采獵物階段，設(shè)產(chǎn)生獵物跳躍能力P的時(shí)間為a7，選擇圍擊策略時(shí)間為a8，采用式（4）～（6）（9）生成新個(gè)體每一維值的時(shí)間為a9，更新個(gè)體與原個(gè)體位置優(yōu)劣的對(duì)比時(shí)間為a10，則該階段時(shí)間復(fù)雜度為

T4=O（TN（a7+a8+a10+Da9））=O（D）

綜上分析，標(biāo)準(zhǔn)HHO算法的時(shí)間復(fù)雜度為

THHO=T1+T2+T3+T4=3O（D）+O（D+f（D））=O（D+f（D））

在MSHHO算法中，種群規(guī)模、搜索維度、最大迭代次數(shù)、適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)定同標(biāo)準(zhǔn)HHO算法，因MSHHO算法未對(duì)全局探索階段的更新公式進(jìn)行改進(jìn)，此階段時(shí)間復(fù)雜度為T′3=T3；而MSHHO算法雖在種群初始化階段引入了拉丁超立方抽樣，但僅是對(duì)原隨機(jī)初始化種群方式進(jìn)行替換，其時(shí)間復(fù)雜度并未改變，T′1=T1。

在獵物位置更新和能量轉(zhuǎn)換階段，設(shè)采用式（21）進(jìn)行柯西反向?qū)W習(xí)混合變異策略擾動(dòng)最優(yōu)解時(shí)間為t1，執(zhí)行貪婪原則時(shí)間為t2，以式（16）產(chǎn)生自適應(yīng)權(quán)重因子時(shí)間為t3，其余環(huán)節(jié)復(fù)雜度同HHO算法，所以該階段時(shí)間復(fù)雜度為

T′2=O（T（N（Da2+f（D）+a3）+t1+t2+t3））=O（D+f（D））

在個(gè)體開采獵物階段，設(shè)融合萊維飛行的自適應(yīng)阿基米德螺旋機(jī)制強(qiáng)化圍擊策略的時(shí)間為t4，通過(guò)適應(yīng)度值判斷強(qiáng)化前后的優(yōu)勢(shì)個(gè)體時(shí)間為t5，其余環(huán)節(jié)時(shí)間復(fù)雜度同HHO算法，則此階段時(shí)間復(fù)雜度為

T′4=O（T（N（a7+a8+a10+t5+Da9+Dt4）））=O（D）

綜上分析，MSHHO算法的時(shí)間復(fù)雜度為

TMSHHO=T′1+T′2+T′3+T′4=O（D+f（D））

因此，MSHHO算法的時(shí)間復(fù)雜度相比于HHO算法并未增加，兩者相同，并未增加計(jì)算負(fù)擔(dān)。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與參數(shù)設(shè)置

為檢驗(yàn)MSHHO算法良好的尋優(yōu)性能，本文共設(shè)計(jì)五組實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)1對(duì)不同改進(jìn)策略的有效性進(jìn)行分析；實(shí)驗(yàn)2將本文算法與其他文獻(xiàn)改進(jìn)HHO算法進(jìn)行對(duì)比分析；實(shí)驗(yàn)3通過(guò)五種智能算法來(lái)證明本文算法在不同維度函數(shù)下優(yōu)異的求解精度和低維下的迭代趨勢(shì)；實(shí)驗(yàn)4以Wilcoxon秩和檢驗(yàn)來(lái)證明MSHHO算法的顯著差異性；實(shí)驗(yàn)5利用CEC2014復(fù)雜函數(shù)來(lái)進(jìn)一步檢驗(yàn)MSHHO算法的有效性和穩(wěn)定性。

本文實(shí)驗(yàn)均在MATLAB R2018b上進(jìn)行，設(shè)置種群規(guī)模N=30，搜索維度D=30/50/100/300，最大迭代次數(shù)T=500，同時(shí)在16個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上分別獨(dú)立運(yùn)行30次來(lái)檢驗(yàn)本文算法的改進(jìn)性能，詳見表1。其中包括六個(gè)單峰（unimodal）函數(shù)、五個(gè)多峰（multimodal）函數(shù)以及五個(gè)固定維度（fix-dimension）函數(shù)；函數(shù)類型包括可分（separable）和不可分（non-separable）。

3.2 改進(jìn)策略有效性分析

為驗(yàn)證不同改進(jìn)策略的有效性，將采用拉丁超立方抽樣方法初始化種群的HHO算法（HHO-1）、融合萊維飛行的自適應(yīng)阿基米德螺旋機(jī)制的HHO算法（HHO-2）和引入柯西反向?qū)W習(xí)混合變異策略的HHO算法（HHO-3）分別與HHO算法在D=30條件下進(jìn)行對(duì)比，并以平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、最優(yōu)值和最差值作為性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，尋優(yōu)結(jié)果如表2所示。

由表2可知，三種改進(jìn)策略均提升了HHO算法的尋優(yōu)性能，并且融合三種策略優(yōu)勢(shì)的MSHHO算法則進(jìn)一步強(qiáng)化了標(biāo)準(zhǔn)算法。對(duì)于單峰函數(shù)f1～f4，HHO-2的各項(xiàng)指標(biāo)值皆收斂至理論最優(yōu)值，表明融合萊維飛行的自適應(yīng)阿基米德螺旋機(jī)制可有效增強(qiáng)算法的局部搜索能力，而HHO-1和HHO-3的改進(jìn)優(yōu)勢(shì)雖無(wú)HHO-2顯著，但尋優(yōu)精度仍領(lǐng)先于標(biāo)準(zhǔn)HHO幾個(gè)或幾十個(gè)甚至上百個(gè)數(shù)量級(jí)。在求解函數(shù)f5和f6時(shí)，三種策略的單獨(dú)改進(jìn)結(jié)果均有不同程度的降低，但仍保持一定優(yōu)勢(shì)，而MSHHO算法不僅在平均收斂精度和穩(wěn)定性方面優(yōu)于其他對(duì)比算法，而且在最優(yōu)值處要高于HHO算法3、4個(gè)數(shù)量級(jí)，改進(jìn)優(yōu)勢(shì)顯著。對(duì)于多峰函數(shù)f7～f9，所有算法的各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)相同且無(wú)任何差別，均可達(dá)到或接近于理論最優(yōu)值，而在求解函數(shù)f10和f11時(shí)，三種策略的改進(jìn)效果各有不同，特別是HHO-1和HHO-2的優(yōu)勢(shì)顯著，反應(yīng)了拉丁超立方初始化種群和螺旋機(jī)制強(qiáng)化算法開采過(guò)程可有效規(guī)避尋優(yōu)過(guò)程的局部極值問題，并更好地提升算法性能。雖然MSHHO算法在函數(shù)f11上的最優(yōu)值劣于HHO-2，但其各項(xiàng)指標(biāo)要遠(yuǎn)勝于HHO，且在函數(shù)f11上MSHHO算法的最差值優(yōu)于HHO算法的平均收斂精度。而在固定維度函數(shù)f12～f16上，不同策略改進(jìn)的HHO算法并未完全占據(jù)優(yōu)勢(shì)，個(gè)別指標(biāo)值弱于HHO算法，如HHO在函數(shù)f14上的標(biāo)準(zhǔn)差強(qiáng)于HHO-1。然而MSHHO很好地克服了各個(gè)策略的劣勢(shì)，并在各項(xiàng)指標(biāo)上均優(yōu)于HHO。

3.3 與其他改進(jìn)HHO對(duì)比分析

為證明本文算法相比于其他文獻(xiàn)改進(jìn)HHO算法更優(yōu)的改進(jìn)競(jìng)爭(zhēng)力，將MSHHO算法與IHHO［16］、SCHHO［17］、EGHHO［18］在搜索維度D=50條件下進(jìn)行對(duì)比分析，并以平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和最優(yōu)值作為性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)比結(jié)果如表3所示。

由表3可知，MSHHO算法的求解性能優(yōu)于IHHO、SCHHO、EGHHO，具有強(qiáng)勁的改進(jìn)競(jìng)爭(zhēng)力。對(duì)于單峰函數(shù)，MSHHO算法在f1～f4上的各項(xiàng)指標(biāo)值皆為0，表明其優(yōu)異的求解精度和穩(wěn)定性，尋優(yōu)性能遠(yuǎn)遠(yuǎn)領(lǐng)先于對(duì)比算法，而在求解函數(shù)f5和f6時(shí)，MSHHO算法的領(lǐng)先優(yōu)勢(shì)相對(duì)偏小，但仍在函數(shù)f5上高于SCHHO算法3個(gè)數(shù)量級(jí)，并在函數(shù)f6上高于IHHO算法2個(gè)數(shù)量級(jí)。對(duì)于多峰函數(shù)f10和f11，MSHHO算法的平均值項(xiàng)和標(biāo)準(zhǔn)差項(xiàng)均優(yōu)于對(duì)比算法，表明本文算法可有效克服局部極值在尋優(yōu)過(guò)程中的不利影響并以良好穩(wěn)定的態(tài)勢(shì)搜索可行解。盡管IHHO算法在函數(shù)f11上的最優(yōu)值略高于MSHHO算法，但MSHHO算法的最優(yōu)值仍大幅優(yōu)于其他對(duì)比算法，反應(yīng)了該算法可使全局搜索和局部開發(fā)更加充分進(jìn)行，并在一定程度上提升了標(biāo)準(zhǔn)算法的收斂精度。對(duì)于固定維度函數(shù)，MSHHO算法在個(gè)別函數(shù)的個(gè)別指標(biāo)項(xiàng)上存在一定劣勢(shì)，特別是IHHO在函數(shù)f16上的標(biāo)準(zhǔn)差優(yōu)于本文算法，但MSHHO算法的平均收斂精度和最優(yōu)值為理論最優(yōu)值，整體求解性能依舊占據(jù)領(lǐng)先地位。

3.4 不同維度下算法對(duì)比分析

為檢驗(yàn)本文算法在不同維度下的求解優(yōu)勢(shì)，將MSHHO與PSO［4］、WOA［7］、GWO［8］、BOA［9］、HHO［10］在16個(gè)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行對(duì)比分析，其中函數(shù)f1～f11的搜索維度為D=50/100/300，函數(shù)f12～f16為表1中的維度，求解結(jié)果如表4和5所示。

由表4和5可知，在不同維度下的單、多峰函數(shù)上，MSHHO算法的求解性能優(yōu)于PSO、GWO、WOA、BOA、HHO，并且在固定維度函數(shù)上優(yōu)勢(shì)顯著。

在50維條件下，MSHHO對(duì)函數(shù)f1～f4、f7、f9求解的各項(xiàng)指標(biāo)值均為0，反映了本文算法優(yōu)異的收斂精度和良好的穩(wěn)定性，且在部分單峰和多峰情形下都可收斂至理論最優(yōu)值。對(duì)于單峰函數(shù)f5和f6，MSHHO算法的各項(xiàng)指標(biāo)雖未能達(dá)到最理想結(jié)果，但仍強(qiáng)于對(duì)比算法，并在平均收斂精度方面分別高于PSO算法8～9個(gè)數(shù)量級(jí)。在求解多峰函數(shù)f10和f11時(shí)，MSHHO的平均收斂精度明顯優(yōu)于PSO、GWO、WOA和BOA，且至少高于對(duì)比算法5個(gè)數(shù)量級(jí)，而相對(duì)于HHO，雖僅取得1個(gè)數(shù)量級(jí)的領(lǐng)先優(yōu)勢(shì)，但HHO在函數(shù)f10上的最優(yōu)值項(xiàng)劣于MSHHO近4個(gè)數(shù)量級(jí)，反映了MSHHO算法在優(yōu)勢(shì)情形下可有效規(guī)避局部極值的消極影響，并順利捕獲更優(yōu)的收斂精度。在100維和300維的高維條件下，所有算法的各項(xiàng)指標(biāo)值均發(fā)生不同程度的變化，而MSHHO算法受維度升高的影響最小，精度優(yōu)勢(shì)依舊顯著，特別是在求解函數(shù)f1～f4、f7、f9時(shí)各項(xiàng)指標(biāo)皆為理論最小值，沒有出現(xiàn)精度倒退的情形，對(duì)其他單峰和多峰函數(shù)尋優(yōu)時(shí)的平均收斂精度仍優(yōu)于對(duì)比算法，表明MSHHO擁有更強(qiáng)的全局搜索能力和局部開采能力。

對(duì)于固定維度函數(shù)，MSHHO算法的總體優(yōu)勢(shì)相對(duì)偏小，個(gè)別指標(biāo)項(xiàng)未能領(lǐng)先于對(duì)比算法，如PSO在函數(shù)f12上的標(biāo)準(zhǔn)差優(yōu)于MSHHO，但MSHHO的平均收斂精度和最優(yōu)值皆在函數(shù)f12上達(dá)到最優(yōu)，并在其他函數(shù)上領(lǐng)先于對(duì)比算法。

為更加直觀地描述算法的迭代尋優(yōu)過(guò)程，在搜索維度D=50條件下，圖3給出了六種算法在11個(gè)單、多峰函數(shù)和5個(gè)固定維函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30次的平均收斂曲線。通過(guò)圖3可觀察到MSHHO算法的迭代趨勢(shì)明顯優(yōu)于對(duì)比算法，并能夠以較快的收斂速度實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)任務(wù)，特別是圖3（a）～（d）在迭代次數(shù)達(dá)到最大迭代次數(shù)的1/2上下時(shí)則已捕獲全局最優(yōu)值，完全領(lǐng)先于對(duì)比算法。同時(shí)在面對(duì)局部極值區(qū)時(shí)MSHHO算法亦可有效擺脫其束縛來(lái)獲得更優(yōu)的求解精度，如在圖3（j）（k）中迭代初期便以更快速度進(jìn)行搜索尋優(yōu)且迭代完成時(shí)的收斂精度勝于對(duì)比算法，證實(shí)了本文算法良好的求解性能。

3.5 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

為探究本文算法的改進(jìn)優(yōu)越性，在顯著水平p=5%條件下，選取11個(gè)搜索維度D=50的單、多峰函數(shù)和5個(gè)固定維度函數(shù)，采用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證MSHHO算法是否與智能優(yōu)化算法（PSO、GWO、WOA、BOA、HHO）以及其他文獻(xiàn)改進(jìn)HHO算法（IHHO、SCHHO、EGHHO）存在顯著差異，結(jié)果如表6所示。N/A表示兩者性能相近且無(wú)法比較；+、=、-分別表示MSHHO性能優(yōu)于、相近于、劣于對(duì)比算法。在16個(gè)測(cè)試函數(shù)中，絕大部分的p值均小于5%，反映了MSHHO算法總體上與對(duì)比算法具有顯著差異，并且求解性能優(yōu)于對(duì)比算法。

3.6 CEC2014復(fù)雜函數(shù)分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證MSHHO算法尋優(yōu)的有效性和魯棒性，本文選取CEC2014復(fù)雜函數(shù)中的部分單峰函數(shù)（UN）、多峰函數(shù)（MN）、混合類型函數(shù)（HF）、復(fù)合類型函數(shù)（CF），如表7所示。實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置為：種群數(shù)量N=30，搜索維度D=30，最大迭代次數(shù)T=500。將本文算法與PSO、GWO、WOA、BOA、HHO、IHHO、SCHHO、EGHHO進(jìn)行對(duì)比分析，并以平均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，獨(dú)立運(yùn)行30次的測(cè)試結(jié)果如表8所示。

對(duì)于單峰函數(shù)CEC01，MSHHO的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差皆優(yōu)于對(duì)比算法，表明其具有更佳的求解精度和穩(wěn)定性；在求解多峰函數(shù)時(shí)，MSHHO的平均值更接近理論最佳值，雖然在函數(shù)CEC06上PSO的標(biāo)準(zhǔn)差領(lǐng)先于其他算法，但MSHHO的標(biāo)準(zhǔn)差仍優(yōu)于其余對(duì)比算法，穩(wěn)定性優(yōu)異；對(duì)于混合類型函數(shù)，MSHHO在函數(shù)CEC20和CEC21上表現(xiàn)出顯著優(yōu)越性，而在求解函數(shù)CEC18時(shí)，IHHO擁有更優(yōu)的平均收斂精度，但MSHHO的穩(wěn)定性更佳。對(duì)于復(fù)合類型函數(shù)問題，MSHHO的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差明顯優(yōu)于對(duì)比算法，反映了其更加適用于處理此類問題。因此MSHHO算法在CEC2014函數(shù)上表現(xiàn)突出，驗(yàn)證了本文算法尋優(yōu)的有效性和魯棒性。

4 結(jié)束語(yǔ)

為有效提升標(biāo)準(zhǔn)HHO算法的求解性能，本文提出多策略協(xié)同優(yōu)化的改進(jìn)HHO算法。采用拉丁超立方抽樣方法初始化哈里斯鷹種群以使個(gè)體分布更加均勻，奠定了算法尋優(yōu)基礎(chǔ)；提出融合萊維飛行的自適應(yīng)阿基米德螺旋機(jī)制來(lái)完善圍擊策略，強(qiáng)化了算法局部搜索的嚴(yán)密性；引入柯西反向?qū)W習(xí)混合變異策略擾動(dòng)最優(yōu)個(gè)體來(lái)避免其陷入局部極值，加快了算法的尋優(yōu)速度。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，MSHHO算法的不同改進(jìn)策略有效性顯著，且對(duì)比文獻(xiàn)改進(jìn)的HHO更具競(jìng)爭(zhēng)力，同時(shí)本文算法提高了標(biāo)準(zhǔn)HHO面對(duì)不同維度函數(shù)問題時(shí)穩(wěn)定的求解性能以及更優(yōu)的顯著差異性，而CEC2014復(fù)雜函數(shù)則進(jìn)一步佐證了MSHHO算法的求解有效性和魯棒性。后續(xù)工作主要為將改進(jìn)HHO算法應(yīng)用于多領(lǐng)域的實(shí)際優(yōu)化問題。

參考文獻(xiàn)：

［1］何慶，吳意樂，徐同偉. 改進(jìn)遺傳模擬退火算法TSP優(yōu)化中的應(yīng)用 ［J］. 控制與決策，2018，33（2）： 219-225. （He Qing，Wu Yile，Xu Tongwei. Application of improved genetic simulated annealing algorithm in TSP optimization ［J］. Control and Decision，2018，33（2）： 219-225.）

［2］胡章芳，馮淳一，羅元. 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的移動(dòng)機(jī)器人路徑規(guī)劃 ［J］. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2021，38（10）： 3089-3092. （Hu Zhangfang，F(xiàn)eng Chunyi，Luo Yuan. Improved particle swarm optimization algorithm for robot path planning ［J］. Application Research of Computers，2021，38（10）： 3089-3092.）

［3］雷德明，王甜. 基于改進(jìn)蛙跳算法的分布式兩階段混合流水車間調(diào)度 ［J］. 控制與決策，2021，36（1）： 241-248. （Lei Deming，Wang Tian. An improved shuffled frog leaping algorithm for the distributed two-stage hybrid flow shop scheduling ［J］. Control and Decision，2021，36（1）： 241-248.）

［4］Kennedy J，Eberhart R. Particle swarm optimization ［C］// Proc of IEEE International Conference on Neural Networks. Piscataway，NJ： IEEE Press，2002： 1942-1948.

［5］Dorigo M，Maniezzo V，Colorni A. Ant system： optimization by a colony of cooperating agents［J］. IEEE Trans on System and Mana-gement： Cybernetics-Part B，1996，26（1）： 29-41.

［6］Leung Y W，Wang Yuping. An orthogonal genetic algorithm with quantization for global numerical optimization ［J］. IEEE Trans on Evolutionary Computation，2002，5（1）： 41-53.

［7］Mirjalili S，Mirjalili S M，Lewis A. Grey wolf optimizer［J］. Advan-ces in Engineering Software，2014，69（3）： 46-61.

［8］Mirjalili S，Lewis A. The whale optimization algorithm［J］. Advan-ces in Engineering Software，2016，95（5）： 51-67.

［9］Arora S，Singh S. Butterfly optimization algorithm： a novel approach for global optimization ［J］. Soft Computing，2019，23（3）： 715-734.

［10］Heidari A A，Mirjalili S，F(xiàn)aris H，et al. Harris hawks optimization： algorithm and applications ［J］. Future Generation Computer Systems，2019，97： 849-872.

［11］Chen Huiling，Jiao Shan，Wang Mingjing，et al. Parameters identification of photovoltaic cells and modules using diversification-enriched Harris hawks optimization with chaotic drifts ［J］. Energy Conversion and Management，2019，195（24）： 927-942.

［12］Jia Heming，Peng Xiaoou，Kang Lifei，et al. Pulse coupled neural network based on Harris hawks optimization algorithm for image segmentation ［J］. Multimedia Tools and Applications，2020，79： 28369-28392.

［13］Jia Heming，Lang Chunbo，Oliva D，et al. Dynamic Harris hawks optimization with mutation mechanism for satellite image segmentation ［J］. Remote Sensing，2019，11（12）： 1-35.

［14］Wunnava A，Kumar N M，Rutuparna P，et al. A differential evolutio-nary adaptive Harris hawks optimization for two dimensional practical Masi entropy-based multilevel image thresholding ［J/OL］. Journal of King Saud University-Computer and Information Sciences.（2020）. https：//doi. org/10. 1016/j. jksuci. 2020. 05. 001.

［15］Guo Hairu，Meng Xyueyao，Liu Yongli，et al. Improved HHO algorithm based on good point set and nonlinear convergence formula ［J］. Journal of China Universities of Posts and Telecommunications，2021，28（2）： 48-67.

［16］趙世杰，高雷阜，于冬梅，等. 融合能量周期性遞減與牛頓局部的改進(jìn)HHO算法 ［J］. 控制與決策，2021，36（3）： 629-636. （Zhao Shijie，Gao Leifu，Yu Dongmei，et al. Improved Harris hawks optimization coupling energy cycle decline mechanism and Newton local enhancement strategy ［J］. Control and Decision，2021，36（3）： 629-636.）

［17］Hussain K，Neggaz N，Zhu W，et al. An efficient hybrid sine-cosine Harris hawks optimization for low and high-dimensional feature selection ［J］. Expert Systems with Applications，2021： 114778.

［18］郭雨鑫，劉升，高文欣，等. 精英反向?qū)W習(xí)與黃金正弦優(yōu)化的HHO算法 ［J］. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2022，58（10）： 153-161. （Guo Yuxin，Liu Sheng，Gao Wenxin，et al. Elite opposition based learning golden-sine Harris hawks optimization ［J］. Computer Engineering and Applications，2022，58（10）： 153-161.）

［19］陳功，曾國(guó)輝，黃勃，等. 融合互利共生和透鏡成像學(xué)習(xí)的HHO算法 ［J］. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2022，58（10）： 76-86. （Chen Gong，Zeng Guohui，Huang Bo，et al. Harris hawk optimization algorithm combing mutualism and lens imaging learning ［J］. Computer Engineering and Applications，2022，58（10）： 76-86.）

［20］鄭金華，羅彪. 一種基于拉丁超立方體抽樣的多目標(biāo)進(jìn)化算法 ［J］. 模式識(shí)別與人工智能，2009，22（2）： 223-233. （Zheng Jinhua，Luo Biao. A multi-objective evolutionary algorithm based on Latin hypercube sampling ［J］. Pattern Recognition and Artificial Intelligence，2009，22（2）： 223-233.）

［21］柳強(qiáng)，焦國(guó)帥. 基于改進(jìn)NSGA-Ⅱ的航空發(fā)動(dòng)機(jī)管路多目標(biāo)布局優(yōu)化 ［J］. 計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2018，24（5）： 1217-1227. （Liu Qiang，Jiao Guoshuai. Multi objective layout optimization of aeroengine pipeline based on improved NSGA-Ⅱ ［J］. Computer Integrated Manufacturing System，2018，24（5）： 1217-1227.）

［22］Tarkhaneh O，Moser I. An improved differential evolution algorithm using Archimedean spiral and neighborhood search based mutation approach for cluster analysis ［J］. Future Generation Computer Systems，2019，101： 921-939.