動態(tài)優(yōu)化問題的瞬態(tài)自適應(yīng)麻雀搜索算法求解

收稿日期：2022-05-05；修回日期：2022-06-23" 基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（21466008）；廣西自然科學(xué)基金資助項目（2019GXNSFAA185017）；廣西民族大學(xué)科研項目（2021MDKJ004）；廣西民族大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計劃資助項目（gxun-chxs2021064）

作者簡介：劉睿（1996-），男，山西長治人，碩士研究生，主要研究方向為系統(tǒng)優(yōu)化與控制；莫愿斌（1969-），男（侗族）（通信作者），廣西柳州人，教授，碩導(dǎo)，博士，主要研究方向為系統(tǒng)優(yōu)化與控制（moyuanbin2020@gxun.edu.cn）.

摘 要：

動態(tài)優(yōu)化普遍存在于工業(yè)過程控制領(lǐng)域，是實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)與產(chǎn)值最大化的重要手段，應(yīng)用并發(fā)展更加高效的動態(tài)優(yōu)化方法逐漸成為了當(dāng)前研究的熱點。鑒于此，提出一種基于瞬態(tài)自適應(yīng)麻雀搜索算法（TASSA）的動態(tài)優(yōu)化問題求解方案。首先，分析了原始麻雀搜索算法的缺陷，為了提升全局勘探能力，引入瞬態(tài)搜索策略指導(dǎo)加入者的尋優(yōu)過程；其次，采用隨迭代而變化的慣性權(quán)重調(diào)節(jié)具體的搜索方式，增強了算法的動態(tài)適應(yīng)能力，并通過九組基準(zhǔn)函數(shù)的數(shù)值測試確認了改進策略的有效性；最后，采用時域等分的方式，在控制變量參數(shù)化（CVP）的框架下利用TASSA對三組典型的動態(tài)優(yōu)化問題進行求解，對比不同文獻中的方法，所提算法取得了更精確的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：動態(tài)優(yōu)化；過程控制；控制變量參數(shù)化；麻雀搜索算法

中圖分類號：TP301.6"" 文獻標(biāo)志碼：A""" 文章編號：1001-3695（2022）12-019-3651-07

doi："" 10.19734/j.issn.1001-3695.2022.05.0223

Transient adaptive sparrow search algorithm for dynamic optimization problem

Liu Ruia， Mo Yuanbinb，c

（a.College of Electronic Information， b. School of Artificial Intelligence， c. Guangxi Key Laboratory of Hybrid Computation amp; IC Design Analysis， Guangxi Minzu University， Nanning 530006， China）

Abstract：

Dynamic optimization widely exists in the field of industrial process control， which is an important means to realize the system’s steady-state and maximize the output value. The application and development of more efficient dynamic optimization methods have gradually become a hot spot of current research. This paper proposed a dynamic optimization solution based on the transient adaptive sparrow search algorithm（TASSA）. Firstly， it analyzed the defects of the original sparrow search algorithm. To improve the global exploration ability， it introduced a transient search strategy to guide the optimization process of the entrants. Secondly， it used the inertia weight that changed with iterations to adjust the specific search method， which enhanced the dynamic adaptability of the algorithm. This paper confirmed the effectiveness of the improved strategy through the numerical test of nine groups of benchmark functions. Finally， it used TASSA to solve three groups of typical dynamic optimization problems in the framework of control variable parameterization（CVP） by time-domain equal division. Compared with different algorithm proposed by references， TASSA achieves more accurate results.

Key words：dynamic optimization; process control; control variable parameterization; sparrow search algorithm

0 引言

對于工業(yè)領(lǐng)域?qū)嶋H的生產(chǎn)制造環(huán)節(jié)，長時間的動態(tài)波動是其所具有的一個顯著屬性［1］。為了適應(yīng)系統(tǒng)的動態(tài)變化以及提升工藝制備的水平，相比于建立針對生產(chǎn)鏈的物理模型，開展動態(tài)系統(tǒng)的模擬仿真能在短時間內(nèi)復(fù)現(xiàn)裝置的生產(chǎn)過程，更具備實際的應(yīng)用優(yōu)勢。作為模擬仿真的核心內(nèi)容，動態(tài)優(yōu)化方法對過程系統(tǒng)的設(shè)計與決策施加著至關(guān)重要的影響［2］。

早期，間接方法［3］曾被應(yīng)用于動態(tài)優(yōu)化問題的求解，然而該方法的數(shù)學(xué)過程推演過于復(fù)雜，想要獲得解析解通常不是一件易事［4］。區(qū)別于間接方法，直接方法的核心思想是對系統(tǒng)變量進行離散化處理，然后再采用現(xiàn)有的優(yōu)化方法進行求解。其中，以控制變量參數(shù)化（control variable parameterization，CVP）為代表，對復(fù)雜非線性系統(tǒng)具有較高的求解效率，是當(dāng)前主流的離散轉(zhuǎn)換策略。在該方法基礎(chǔ)上，群智能算法被成功地應(yīng)用于動態(tài)優(yōu)化問題的求解，通過設(shè)計獲得性能更加優(yōu)越的算法，則是在動態(tài)優(yōu)化中達到更高精度與效率的關(guān)鍵。Zhou等人［5］通過對種群分布特征進行優(yōu)化，提出一種自適應(yīng)粒子群算法并提高了求解動態(tài)優(yōu)化問題的效率；Zhang等人［6］采用改進的旗魚優(yōu)化器應(yīng)用于強非線性動態(tài)優(yōu)化算例，證明了該算法的求解可行性和有效性；Xu等人［7］在海鷗優(yōu)化算法基礎(chǔ)上引入了認知部分和選擇機制，使算法擁有更好的求解能力。

麻雀搜索算法（sparrow search algorithm，SSA）［8］于2020年提出，因其結(jié)構(gòu)簡潔以及具有較好的優(yōu)化能力受到研究人員的廣泛青睞［9～12］。然而，該算法也存在著因搜索范圍不足而導(dǎo)致收斂速度變緩的缺陷，因此在性能上仍有進一步提升的空間。目前，針對該算法的改進研究已取得一定進展，Liu等人［13］基于相似度函數(shù)構(gòu)建了麻雀種群的搜索規(guī)則，使算法具有更強的全局優(yōu)化能力；Yuan等人［14］使用反向?qū)W習(xí)及兩種變異算子改進了SSA的搜索機制，使算法的準(zhǔn)確性和魯棒性得到改善；高晨峰等人［15］將黃金正余弦策略引入SSA的尋優(yōu)，提升了算法的求解質(zhì)量。以上的改進算法均在應(yīng)用研究中取得了比原算法更好的優(yōu)化效果。

綜上，本文在SSA的基礎(chǔ)上引入了瞬態(tài)搜索策略，替換了原有的尋優(yōu)模式，同時采用慣性權(quán)重自適應(yīng)地調(diào)節(jié)算法的搜索方式，以實現(xiàn)對不同迭代階段的平衡效果，提出了瞬態(tài)自適應(yīng)的麻雀搜索算法（transient adaptive sparrow search algorithm，TASSA），并構(gòu)建了CVP框架下的動態(tài)優(yōu)化流程，研究了TASSA對實際算例的優(yōu)化表現(xiàn)。經(jīng)數(shù)值測試及仿真研究的結(jié)果驗證了改進策略對性能提升的積極意義，并通過所提算法有效地提升了典型動態(tài)優(yōu)化問題的精度與效率，取得了滿意的結(jié)果。

1 問題描述

1.1 動態(tài)優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型

一般地，動態(tài)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型表示如下：

min J=Φ［x（tf）］+∫tft0L［x（t），u（t），t］dt

s.t. dxdt=f［x（t），u（t），t］x（t0）=x0ulb≤u（t）≤uubt∈［t0，tf］ （1）

目標(biāo)函數(shù)J的含義為系統(tǒng)的性能指標(biāo)，由終止時刻tf處的終值項Φ［x（tf）］以及存在于時域［t0，tf］上的積分項∫tft0L［x（t），u（t），t］dt所組成；x（t）=［x1（t），x2（t），…，xn（t）］T為n維狀態(tài)變量；u（t）=［u1（t），u2（t），…，um（t）］T為m維控制變量，uub和ulb分別為其上界與下界。式（1）可以被簡要地描述為：在初始狀態(tài)x（t0）=x0的條件下，尋找控制策略使目標(biāo)函數(shù)J達到最優(yōu)。

1.2 基于CVP方法的轉(zhuǎn)換策略

CVP方法的應(yīng)用為群智能算法求解動態(tài)優(yōu)化問題奠定了先決條件。具體而言，它首先將時域［t0，tf］離散分割為有限的NE個子區(qū)間［tk－1，tk］（k=1，2，…，NE），即

t0≤t1≤…≤tN－1≤tNE=tf（2）

進一步地，采用由有限參數(shù)構(gòu)成的基函數(shù)組合等效逼近每一子區(qū)間上的分量，則時域［t0，tf］上的控制變量u（t）可被表示為各分量的累積和：

u（t）=∑NEk=1σkj（t）（3）

其中：σkj（t）為各分量uj（t）在區(qū)間［tk－1，tk］上的基函數(shù)組合。經(jīng)過CVP方法轉(zhuǎn)換后的優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型為

minJ=φ［σ（t）］

s.t. ulb≤∑NEk=1σk（t）≤uub（4）

其中：σ（t）=［σ1（t），σ2（t），…，σNE（t）］T為參數(shù)變量。此時，一個動態(tài)優(yōu)化問題即可被轉(zhuǎn)換為靜態(tài)的參數(shù)優(yōu)化問題形式。

2 優(yōu)化算法

2.1 麻雀搜索算法SSA

SSA依靠在解空間分布的麻雀個體Xi=（Xi1，Xi2，…，XiD）搜索最佳覓食位置來達到優(yōu)化的目的，并規(guī)定優(yōu)先到達覓食區(qū)域的個體為“發(fā)現(xiàn)者”，對應(yīng)著較好的適應(yīng)度值，引領(lǐng)種群中剩余的“加入者”向更好的覓食位置移動；同時，部分個體具有預(yù)警意識，驅(qū)使種群進行隨機游走以規(guī)避被捕食的風(fēng)險。

a）生成初始麻雀種群。

Xi=lbi+rand（1，D）×（ubi－lbi）（5）

其中：Xi表示麻雀i的位置信息；ubi與lbi分別為個體的上界與下界；rand為（0，1）均勻分布的隨機值。

b）發(fā)現(xiàn)者搜索階段。

Xt+1i=Xti·exp－iα·itermax" R2lt;ST

Xti+Q·L R2≥ST （6）

其中：t為當(dāng)前迭代次數(shù)；itermax為最大迭代次數(shù)，隨機數(shù)α∈（0，1］；Q為服從正態(tài)分布的隨機數(shù)；L為1×D維矩陣，且內(nèi)部元素均為1。預(yù)警值R2∈［0，1］是一個隨機量，設(shè)置安全值ST∈［0.5，1］為一個定值，每次迭代通過比較兩者的值來決定發(fā)現(xiàn)者具體的位置更新方式。

c）加入者跟進階段。

Xt+1i=Q·expXtworst－Xtii2" igt;n2

Xtp+|Xti－Xtp|·A+L else（7）

其中：Xp表示發(fā)現(xiàn)者找到的最佳覓食位置；A為內(nèi)部元素均為1或-1的1×D維矩陣，且A+=AT（AAT）－1；Q、L同式（5）。加入者與發(fā)現(xiàn)者的區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)只依賴于適應(yīng)度的比較，若下一次迭代中某加入者獲得了更好的覓食位置，那么它將轉(zhuǎn)換為發(fā)現(xiàn)者并指引其他個體的尋優(yōu)，兩者的數(shù)量保持動態(tài)平衡。

d）預(yù)警偵查階段。

Xt+1i=Xtbest+β·|Xti－Xtbest|"" figt;fbest

Xti+K·|Xti－Xtworst|（fi－fw）+εfi=fbest（8）

其中：fi表示個體的適應(yīng)度值；β、K均為步長控制參數(shù)；ε為一個極小的常數(shù)用于避免分母為零。每次迭代的預(yù)警個體由麻雀種群隨機選擇，該比例通常達到10%～20%，用于進一步擾動個體當(dāng)前的位置。

2.2 瞬態(tài)自適應(yīng)麻雀搜索算法TASSA

2.2.1 瞬態(tài)搜索策略

發(fā)現(xiàn)者作為種群中適應(yīng)度值最優(yōu)的一部分個體，負責(zé)搜索并引領(lǐng)加入者向最佳覓食位置移動，因此其位置更新過程直接影響著SSA的尋優(yōu)性能，而發(fā)現(xiàn)者搜索范圍的廣度將進一步?jīng)Q定算法是否能找到更好的位置。由式（6）可知，當(dāng)R2≥ST時，發(fā)現(xiàn)者將按正態(tài)分布在當(dāng)前區(qū)域隨機移動；當(dāng)R2lt;ST時，其位置更新受到式（9）的影響。

f（x）=exp（－xα·itermax）（9）

當(dāng)α=1時，在［0，1］上繪制數(shù)量為1 000的個體迭代更新過程如圖1所示。

從圖1 可以看出，發(fā)現(xiàn)者的搜索范圍從［0，1］逐漸縮減至［0，0.4］，造成算法出現(xiàn)搜索盲點，同時存在大量個體聚集的現(xiàn)象，也在一定程度上降低了搜索過程的種群多樣性，增加了陷入局部極值的風(fēng)險，極大地影響著算法的尋優(yōu)性能。

混合是算法設(shè)計的一種有效模式［16］，通過結(jié)合不同算法的優(yōu)勢往往能構(gòu)造出性能更優(yōu)的混合型算法。由此，本文引入瞬態(tài)搜索策略用于改善SSA搜索范圍不足的缺陷。瞬態(tài)搜索優(yōu)化（transient search optimization，TSO）是一種基于開關(guān)電路瞬態(tài)行為的物理啟發(fā)式群智能搜索機制，由Qais等人［17］于2020年提出，具有靈活、簡易、魯棒性高的特點，其數(shù)學(xué)模型為

Xt+1i=Xtbest+（Xti－C1Xti）e－T

Xtbest+e－T［cos（2πT）+sin（2πT）］|Xti－C1Xtbest|

r1lt;0.5else （10）

其中：r1為［0，1］的隨機數(shù)；T、C1為隨機系數(shù)，具體的計算方式為

T=2zr2－z（11）

C1=kzr3+1（12）

z=2－2（titermax）（13）

其中：r2、r3均為［0，1］的隨機數(shù)，常數(shù)k∈Euclid ExtraeBp；z表示從2～0的衰減系數(shù)。瞬態(tài)搜索策略通過隨機系數(shù)T∈［－2，2］實現(xiàn)對勘探和開發(fā)過程的制衡，當(dāng)Tlt;0時，瞬態(tài)搜索將保持較大的振幅在解空間內(nèi)搜索最佳的解決方案進行全局勘探；當(dāng)Tgt;0時，瞬態(tài)搜索逐漸達到穩(wěn)態(tài)，進行局部開發(fā)。可以看出，瞬態(tài)搜索策略的流程十分簡潔，本文即采用式（10）作為改進算法的發(fā)現(xiàn)者迭代更新公式，使算法具有動態(tài)調(diào)節(jié)搜索范圍的能力。

2.2.2 自適應(yīng)慣性權(quán)重

慣性權(quán)重是群智能算法中一類重要的控制參數(shù)，其思想起源于粒子群算法，最初通過設(shè)置定常的權(quán)重系數(shù)來提高算法的收斂能力。然而，一成不變的權(quán)重系數(shù)并不適用于算法的整個迭代過程，因此在后續(xù)的研究中發(fā)展出了對權(quán)值的調(diào)整策略，即使其能夠按照一定規(guī)律而改變的時變慣性權(quán)重，主要包含線性與非線性兩種調(diào)整策略，其中又以非線性關(guān)系大量存在于實際的優(yōu)化問題中，因而非線性策略的應(yīng)用更加廣泛［18］。本文采用一種基于凹函數(shù)的非線性遞減慣性權(quán)重應(yīng)用于SSA，具體表示如下：

ω=ωmin（ωmaxωmin）1/（1+ct/itermax）（14）

其中：ωmin和ωmax為權(quán)重調(diào)整參數(shù)，分別設(shè)置為0.9和0.4；c作為調(diào)整參數(shù)，本文設(shè)置為10。該慣性權(quán)重隨迭代次數(shù)的變化情況如圖2所示。

改進算法使加入者更好地契合迭代過程，將ω引入式（7）中，使算法在發(fā)現(xiàn)者迭代階段擁有良好的全局與局部平衡能力，同時這也有助于加入者較快地轉(zhuǎn)變?yōu)榘l(fā)現(xiàn)者，從而加速算法收斂于最優(yōu)解的速度。TASSA的加入者跟進階段迭代公式如下：

Xt+1i=Q·expXtworst－Xtii2""" igt;n/2ωXtp+|Xti－Xtp|·A+L else（15）

考慮到算法計算效率的因素，本文僅在式（15）處引入ω，經(jīng)過測試表明，該改進策略有效地提升了算法的尋優(yōu)性能，具體的說明過程將在2.3節(jié)中進行詳細驗證。

2.2.3 TASSA實現(xiàn)流程

算法1 TASSA的運行框架

輸入： 種群大小N；最大迭代次數(shù)max_iter；發(fā)現(xiàn)者比例PD；預(yù)警偵查比例SD；慣性權(quán)重系數(shù)ωmin和ωmax；權(quán)重調(diào)整參數(shù)c。

輸出： 最優(yōu)麻雀位置Xbest及其適應(yīng)度值fg。

/*隨機種群初始化*/

for i=1 to N do

根據(jù)式（5）在搜索空間生成初始麻雀種群；

end for

計算各麻雀適應(yīng)度值并記錄當(dāng)前最優(yōu)與最差個體；

while （t lt; max_iter）

/*發(fā)現(xiàn)者搜索階段*/

for i=1 to PD*N do

根據(jù)式（10）更新發(fā)現(xiàn)者的位置；

end for

/*加入者跟隨階段*/

for i = PD*N+1 to N do

根據(jù)式（15）更新加入者的位置；

end for

/*預(yù)警偵查階段*/

for i=1 to SD*N do

根據(jù)式（8）更新預(yù)警偵查個體的位置；

end for

評估新位置的適應(yīng)度值，若更優(yōu)則替換；

t=t+1；

end while

2.3 數(shù)值測試

2.3.1 基準(zhǔn)函數(shù)選取

基準(zhǔn)函數(shù)的仿真反饋信息是評估改進算法有效與否的重要衡量基礎(chǔ)。針對TASSA性能的驗證，基于九組經(jīng)典的基準(zhǔn)函數(shù)設(shè)計了算法的尋優(yōu)對比測試。基準(zhǔn)測試函數(shù)的相關(guān)信息如表1和圖3所示，包含單峰測試函數(shù)（f1～f5）和多峰測試函數(shù)（f6～f10）。

2.3.2 TASSA與其他群智能算法對比分析

對比組算法除上文提到的SSA、TSO外，還加入了兩種新型的群智能算法作為對比，分別為海洋捕食者算法（marine predators algorithm， MPA）［11］和哈里斯鷹優(yōu)化算法（Harris hawks optimization， HHO）［12］。為了進一步揭示所提算法自適應(yīng)性的意義，特在對比組中加入了不含2.2.2節(jié)改進的瞬態(tài)麻雀搜索算法（TSSA），各算法的參數(shù)設(shè)置如表2所示。

基于仿真測試的客觀性，所有算法統(tǒng)一設(shè)置種群的數(shù)量為30，最大迭代次數(shù)為200，在每個函數(shù)上獨立運行20次，記錄結(jié)果的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差。測試環(huán)境為Intel CoreTM i7-6700H CPU @ 2.60 GHz，在Windows 10操作系統(tǒng)下，所有程序均采用MATLAB R2018b實現(xiàn)，各算法的尋優(yōu)結(jié)果如表3和圖4所示。

本文針對每個基準(zhǔn)函數(shù)另外設(shè)置了100維的對比以體現(xiàn)高維度對算法尋優(yōu)性能的影響。對于f1～f4，TASSA在不同維數(shù)下均能穩(wěn)定地達到較高的精度，其次是TSSA，相比較其他算法具有顯著的提升；對于f5，TASSA的尋優(yōu)精度及穩(wěn)定性好于其他算法；對于f6，TSO表現(xiàn)出了極強的優(yōu)化性能，而TASSA則繼承了在這一函數(shù)上的尋優(yōu)能力，同樣能夠以較小的標(biāo)準(zhǔn)差收斂于全局最優(yōu)的附近，HHO的結(jié)果接近于兩者并領(lǐng)先于其他算法，TSSA的結(jié)果僅優(yōu)于SSA與MPA，由此可見自適應(yīng)能力對兩種改進算法的影響是顯著的；對于f7，除MPA和TSO外，其余四種算法都能穩(wěn)定地收斂于一個較優(yōu)的結(jié)果，通過迭代收斂曲線可以看出TASSA具有最快的收斂速度；對于f8、f9，TASSA同樣具有最好的精度以及穩(wěn)定性，其次是TSSA，優(yōu)于其他算法。綜上，雖然TSSA較SSA提升了一定的優(yōu)化能力，但這種優(yōu)勢在具有自適應(yīng)平衡搜索方式的TASSA上更加顯著。此外，采用Wilcoxon秩和檢驗［19］進一步對比TASSA與其他算法在統(tǒng)計學(xué)上的差異，當(dāng)p值小于5%時，表示TASSA與該算法存在顯著差異，反之則表示兩者之間差異并不明顯，N/A也表示兩者性能相當(dāng)，無法對比。根據(jù)表4 列出的TASSA與其他算法在不同基準(zhǔn)函數(shù)上的p值結(jié)果可知，絕大部分測試（41/45）的p值均小于5%，表明TASSA的所得結(jié)果與其他算法存在顯著的差異，進一步揭示了所提算法的優(yōu)越性。

2.3.3 TASSA與不同策略改進的SSA對比分析

目前，基于不同策略改進的SSA已在較多文獻中提出，本文選取文獻［20～22］中多策略融合的改進麻雀搜索算法（ISSA1）、融合柯西變異和反向?qū)W習(xí)的改進麻雀算法（ISSA2）、混合正弦余弦算法和Lévy飛行的麻雀算法（ISSA3）與TASSA在100維的九個基準(zhǔn)函數(shù)上進行尋優(yōu)對比測試，算法的控制參數(shù)和通用條件與2.3.2節(jié)保持一致，測試結(jié)果如表5所示。

在初始化階段，ISSA1和ISSA2分別采用精英策略和混沌映射對初始種群進行處理，而ISSA3和TASSA則保留了隨機種群。在迭代階段，ISSA1和ISSA3都使用了混合算法的改進思想，ISSA1引入雞群優(yōu)化算法（chicken swarm optimization，CSO）［23］提高加入者的多樣性；ISSA3利用正弦余弦算法（sine cosine algorithm，SCA）［24］作為發(fā)現(xiàn)者的迭代更新式，同時利用Lévy隨機步長提升了加入者的搜索范圍；ISSA2則引入一種非線性動態(tài)權(quán)重對發(fā)現(xiàn)者的搜索模式進行調(diào)節(jié)。此外，在一次迭代結(jié)束后，ISSA1與ISSA2增加了對當(dāng)前最優(yōu)麻雀的變異階段，這樣的做法雖然能夠使個體的位置得到進一步擾動更新，有利于收斂到更好的結(jié)果，但也不可避免地使算法變得更加復(fù)雜。為此，記錄每種算法在測試中的運行時間加以直觀對比，結(jié)果如表6所示。

通過表5可知，在所有的測試中TASSA均取得了最高的收斂精度，分別在ISSA1（7/9）、ISSA2（8/9）、ISSA3（7/9）的基準(zhǔn)函數(shù)上取得了顯著的對比差異。由表6可知，TASSA在九個基準(zhǔn)函數(shù)上的平均運行時間略少于原始算法，這是由于本文采用了TSO作為發(fā)現(xiàn)者新的迭代更新式，減少了一定的計算時間；此外，由于加入了額外的變異階段，ISSA1與ISSA2的運行時間明顯長于SSA，而ISSA3的運行時間則沒有顯著增加。因此，與以上算法相比，本文算法的改進策略更加簡潔有效，進一步說明了TASSA的優(yōu)越性。

3 動態(tài)優(yōu)化實例與分析

3.1 基于TASSA的動態(tài)優(yōu)化流程

本節(jié)對三個典型的化工動態(tài)優(yōu)化問題進行仿真求解。通過CVP方法，時域［t0，tf］被離散為NE個子區(qū)間，本文采用分段常量的基函數(shù)形式對每一子區(qū)間上的分量進行等效逼近，將整個時域上的控制變量u（t）表示為各參數(shù)變量σ（t）的累加和形式。此時，待優(yōu)化問題即從動態(tài)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為群智能算法可以直接求解的靜態(tài)參數(shù)優(yōu)化問題；同時，選擇Runge-Kutta方法用于每一子區(qū)間上的微分方程的計算求解，配合該方法能夠獲得問題的狀態(tài)變量x（t），并經(jīng)過TASSA的迭代尋優(yōu)最終計算出目標(biāo)函數(shù)值。基于TASSA的動態(tài)優(yōu)化流程如圖5所示。

本文中對實例1離散為50段，實例2、3離散為100，算法的種群數(shù)量設(shè)置為200，最大迭代次數(shù)為1 000，基于數(shù)據(jù)的客觀性，對每個優(yōu)化實例分別獨立測試20次，取平均值作為最終的結(jié)果。

3.2 仿真實例

實例1 具有解析解的基準(zhǔn)動態(tài)優(yōu)化問題

該實例包含x1與x2兩個狀態(tài)變量，是動態(tài)優(yōu)化的基準(zhǔn)測試問題，其數(shù)學(xué)模型如下：

min J=x2（tf）

s.t. dx1（t）dt=u（t）

dx2dt=x21（t）+u2（t）

tf=1

－1≤u（t）≤0.1， x1（0）=1， x2（0）=0（16）

其中：u（t）為控制變量；tf為終止時間。根據(jù)最優(yōu)控制理論推導(dǎo)得到該問題的解析解為［25］

Jmin=e2－1e2+1≈0.7615941（17）

實例2 帶約束的間歇反應(yīng)器連續(xù)反應(yīng)問題

在間歇反應(yīng)器中，溫度的控制對產(chǎn)物的生成起著關(guān)鍵的作用。對所發(fā)生的A→B→C型反應(yīng)，該實例的優(yōu)化目的是通過控制溫度以使反應(yīng)終止時目標(biāo)產(chǎn)物B的濃度達到最大。該過程的數(shù)學(xué)模型為

max J=CB（tf）

s.t. dCAdt=－k1C2A

dCBdt=k1C2A－k2CB

tf=1

k1=4×103×e－2500/T

k2=6.2×105×e－5000/T

298≤T≤398， CA（0）=1， CB（0）=0（18）

其中：CA為反應(yīng)物濃度；CB為目標(biāo)產(chǎn)物濃度；T代表反應(yīng)溫度；tf為終止時間。

實例3 管式反應(yīng)器催化劑混合問題

在定長的管式反應(yīng)器中，通過添加催化劑A與B生成目標(biāo)產(chǎn)物C的AB→C型反應(yīng)，該實例的優(yōu)化目的是調(diào)節(jié)反應(yīng)中催化劑混合比例，以使目標(biāo)產(chǎn)物C的濃度達到最優(yōu)。該過程的數(shù)學(xué)模型為

max J=1－xA（zf）－xB（zf）

s.t. dxAdz=－u（z）［10×xB（z）－xA（z）］

dxBdz=u（z）［10×xB（z）－xA（z）］－［1－u（z）］×xB（z）

zf=120≤u（z）≤1， xA（0）=1， xB（0）=0（19）

其中：xA、xB為催化劑A和B的濃度；zf為管式反應(yīng)器的長度；u（z）為催化劑A的混合分數(shù)。

3.3 仿真結(jié)果與分析

對實例1，文獻［26］利用蟻群優(yōu)化算法得到了最優(yōu)解0.761 60，文獻［27］使用迭代遺傳算法求解得到了0.761 595，本文采用TASSA獲得了0.761 594 1，與解析解一致。圖6（a）給出了應(yīng)用TASSA求解實例1所產(chǎn)生的最優(yōu)狀態(tài)軌跡。

對實例2，文獻［28］利用混合海鷗優(yōu)化算法得到了最優(yōu)解0.610 772 4，文獻［29］使用基于知識改進的文化算法獲得了0.610 787，文獻［30］使用改進的知識進化算法得到了0.610 789，為目前公開文獻中的最優(yōu)解。本文采用TASSA獲得的最優(yōu)值為0.610 791 73，比目前已知的最優(yōu)解更好一些。圖6（b）給出了應(yīng)用TASSA求解實例2所產(chǎn)生的最優(yōu)狀態(tài)軌跡。

對實例3，文獻［28］利用混合海鷗優(yōu)化算法得到了最優(yōu)解0.477 542，文獻［29］使用基于知識改進的文化算法獲得了0.477 70，文獻［30］使用改進的知識進化算法得0.477 68。本文采用TASSA獲得的最優(yōu)值為0.477 701 57，達到了目前已知最優(yōu)解的水平。圖6（c）給出了應(yīng)用TASSA求解實例3所產(chǎn)生的最優(yōu)狀態(tài)軌跡。

表7列出了三組仿真研究的TASSA求解結(jié)果與文獻中方法的對比。由表7可知，對于實例1，TASSA的計算結(jié)果符合解析解（精確至小數(shù)點后7位）；對于實例2和3，TASSA的計算結(jié)果比參考文獻中的最優(yōu)值還要好一些，可見本文算法對于典型動態(tài)優(yōu)化問題的有效性。其中，“*”表示文獻中最優(yōu)解。

在此基礎(chǔ)上，定義相對誤差不超過文獻最優(yōu)解0.05%的為合格精度［5］ 以進一步揭示TASSA在原算法基礎(chǔ)上對三個算例的提升程度，比較兩種算法獲得該精度的迭代次數(shù)和計算時間。對實例1，合格精度為解析解的100.05%，對實例2和3，合格精度為文獻最優(yōu)解的99.95%。表8給出了兩種算法求解三個實例的具體數(shù)據(jù)。

通過表8可知，對于實例1和2，TASSA相比于SSA 獲得合格精度的迭代次數(shù)分別減少了77.01%和37.73%，對應(yīng)的計算時間分別縮短了131.87 s和80.50 s；對于實例3，SSA在1 000次迭代后未能達到該算例的合格精度，經(jīng)過20次仿真最終獲得了0.477 441 52的平均值，而TASSA平均僅用112次迭代即可滿足合格精度。由此可見，TASSA求解動態(tài)優(yōu)化問題的求解性能較原始算法SSA得到了極大的提升。此外，通過分析圖7給出的最優(yōu)控制軌跡可知，SSA在優(yōu)化的過程中其控制軌跡存在明顯的振蕩現(xiàn)象，而TASSA的優(yōu)化過程則有效地減少了此類波動情況，相比較其控制軌跡更加地平滑流暢，即求解的穩(wěn)定性得到了顯著的增強，進一步說明了本文算法解決一般性動態(tài)優(yōu)化問題的有效性和優(yōu)越性。

4 結(jié)束語

本文提出一種瞬態(tài)自適應(yīng)的麻雀搜索算法（TASSA）應(yīng)用于一般性動態(tài)優(yōu)化問題的求解。首先通過混合算法的設(shè)計方式，采用瞬態(tài)搜索策略指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)者迭代過程，改善了原算法搜索范圍不足的缺陷；其次在加入者迭代過程引入動態(tài)變化的非線性慣性權(quán)重，使改進算法具有自適應(yīng)平衡其搜索方式的能力；通過數(shù)值對比測試初步驗證了所提算法的性能。最后，通過建立針對動態(tài)優(yōu)化問題的求解框架，應(yīng)用TASSA對三個典型實例進行優(yōu)化，對比不同文獻的方法取得了最優(yōu)的結(jié)果，并通過與原算法的優(yōu)化結(jié)果對比，進一步揭示了TASSA求解動態(tài)優(yōu)化問題的有效性和優(yōu)越性。

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