雙策略學習和自適應混沌變異的郊狼優化算法

摘 要：針對郊狼優化算法（coyote optimization algorithm，COA）存在收斂速度慢、求解精度低、易陷入局部最優的不足，提出一種基于雙策略學習機制和自適應混沌變異策略的改進郊狼算法（coyote optimization algorithm based on dual strategy learning and adaptive chaotic mutation，DCSCOA）。首先，引入振蕩遞減因子，以產生具有多樣性的個體來增強全局搜索能力；其次，利用雙策略學習機制，適度地增強組群頭狼的影響，以平衡算法的局部挖掘能力和全局搜索能力，同時提高算法的求解精度和收斂速度；最后，使用自適應混沌變異機制，在算法停滯時產生新個體，以使算法跳出局部最優。通過對20個基本測試函數和11個CEC2017測試函數進行仿真實驗，結果驗證了改進算法具有更高的求解精度、更快的收斂速度和更強的穩定性。

關鍵詞：郊狼優化算法；振蕩遞減因子；雙策略學習機制；自適應混沌變異機制

中圖分類號：TP301 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）07-012-2000-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.12.0677

基金項目：國家自然科學基金資助項目（61772013，61402201）；江蘇省青年基金資助項目（BK20190578）

作者簡介：趙金金（1997-），女，河南偃師人，碩士研究生，主要研究方向為最優化與控制；魯海燕（1970-），女（通信作者），山東淄博人，副教授，博士，主要研究方向為組合最優化、智能算法（luhaiyan@jiangnan.edu.cn）；徐杰（1993-），女，河南周口人，碩士研究生，主要研究方向為最優化與控制；盧夢蝶（1999-），女，湖北安陸人，碩士研究生，主要研究方向為最優化與控制；侯新宇（1998-），男，山東濟南人，碩士研究生，主要研究方向為最優化與控制.

Coyote optimization algorithm based on dual strategy learning and adaptive chaotic mutation

Zhao Jinjin¹，Lu Haiyan^1，2?，Xu Jie¹，Lu Mengdie¹，Hou Xinyu¹

（1.School of Science，Jiangnan University，Wuxi Jiangsu 214122，China；2.Wuxi Engineering Technology Research Center for Biological Computing，Wuxi Jiangsu 214122，China）

Abstract：Aiming at the shortcomings of COA，such as slow convergence speed，low solution accuracy and being easy to fall into local optimum，this paper proposed an improved coyote optimization algorithm based on dual strategy learning mechanism and adaptive chaotic mutation strategy （DCSCOA）.Firstly，it adopted an oscillatory decline factor to generate diverse individuals for enhancing the global search ability.Secondly，it proposed a dual strategy learning mechanism to appropriately increase the influence of the group head wolf，so as to balance the local search ability and global search ability of the algorithm，and to improve the solution accuracy and convergence speed of the algorithm.Finally，it used an adaptive chaotic mutation mechanism to generate new individuals when the algorithm stagnates，so as to make the algorithm jump out of the local optimum.Through simulation experiments on 20 basic test functions and 11 CEC2017 test functions，the results show that the improved algorithm has higher solution accuracy，faster convergence speed and stronger stability.

Key words：coyote optimization algorithm；oscillatory decline factor；dual strategy learning mechanism；adaptive chaotic mutation mechanism

0 引言

隨著社會的進步，出現了越來越難以解決的優化問題，智能優化算法作為一種有效解決優化問題的算法被應用到越來越多的領域中。在過去的幾十年，許多學者提出了大量的智能優化算法，例如粒子群優化算法^［1］、混合蛙跳算法^［2］、人工蜂群優化算法^［3］、蜉蝣優化算法^［4］、哈里斯鷹優化算法^［5］等。元啟發式算法具有易于實施、求解穩定等優點，被廣泛應用到特征選擇^［6］、桁架優化^［7］、物資調度^［8］。

郊狼優化算法^［9］（coyote optimization algorithm，COA）是由Juliano于2018年提出的一種全局優化算法，具有全局搜索能力較強的優點。但是，郊狼算法自身存在求解精度低、收斂速度慢和易陷入局部最優等不足。為了提高郊狼算法的性能，一些學者針對郊狼算法進行了改進，提高了算法的全局搜索和局部挖掘能力。文獻［10］提出了增強郊狼算法，通過增加搜索范圍提高算法的性能，并將算法應用到輻射狀配電網發電機最優配置問題中。文獻［11］采取最優解取代文化趨勢的方法對郊狼算法進行改進，并將算法應用到配電網徑向拓撲優化的問題中。文獻［12］提出Lévy郊狼優化算法，并將其應用到隨機風電最優化的問題中。文獻［13］使用Lévy飛行和適應度值平衡策略，提高了算法的局部勘探能力和種群的多樣性。文獻［14］將郊狼算法與灰狼算法相融合，提高了算法的搜索效率。文獻［15］引入全局郊狼引導操作和隨機擾動操作，提高了種群的多樣性并強化了全局搜索能力。文獻［16］通過引入信息共享和組外貪心等策略，提高了算法的收斂速度和優化效果。文獻［17］構建alpha狼，增強開采能力，提高收斂速度，并且改進了文化趨勢，提高了算法的全局搜索能力。文獻［18］使用多種策略改進郊狼算法，提升了算法的性能。文獻［19］引入變異交叉策略，使用全局最優個體指導搜索的策略，平衡算法的全局探索與局部開發能力。本文針對COA存在的問題，提出雙策略學習和自適應混沌變異的郊狼優化算法。

1 郊狼優化算法

郊狼優化算法^［11］是受到郊狼群體行為的啟發，通過模仿郊狼成長、出生與死亡、遷徙提出的一種智能優化算法。

郊狼優化算法的流程如下面步驟所示。

a）初始化郊狼種群。將郊狼種群分成NP個組群，每個組群有Nc個郊狼，第p個組群的第c個郊狼在第t次迭代時的社會條件如下：

形成第p個組群的第c個郊狼的第j維的初始化值的計算公式及如下：

其中：ubj、lbj為第j維向量的上下邊界；D是搜索空間的維度；rj是［0，1］均勻分布的隨機數，郊狼在當前代的適應能力通過式（3）計算。

b）郊狼成長。每一只郊狼的成長由該郊狼所屬組群中其他狼、組群的文化趨勢和該郊狼原本的成長狀態決定。郊狼成長的公式表達如下：

其中：alpha^p，t表示第p個組群具有最好適應能力郊狼的社會條件；soc^p，tcr1、soc^p，tcr2表示從第p個組群隨機選取的兩個郊狼的社條件；cult^p，tj是第p個組群的文化趨勢；O^p，tj是第p個組群郊狼的第j個社會條件排名后的序列。計算更新過的適應能力，使用貪婪策略保留，公式表達如下：

c）郊狼出生與死亡。一個組群中的郊狼進行交配，隨機從郊狼種群中選取兩個郊狼，按照交配規則得到新個體。產生新個體的計算過程公式表達如下

其中：pup^p，t表示第p個組群生成的子代。

d）郊狼被驅逐出組群和加入新組群。在一定的概率下，郊狼被驅逐出原本所屬的組群，加入到新的組群中。

Pe=0.005·N²c（13）

其中：pe是發生郊狼被驅逐出組群的概率。

2 雙策略學習和自適應混沌變異的郊狼優化算法

2.1 加入振蕩因子的文化趨勢

文獻［15］對文化趨勢加入組內一個隨機郊狼進行擾動，增加了全局搜索能力，其表達式為

Ncult=w×cult+（1-w）×soccr

其中：Ncult是相互作用的文化趨勢；cr是組內隨機選擇的一個郊狼。為了進一步增加種群多樣性，使用振蕩因子w1和種群內一個隨機郊狼coyoterand對文化趨勢進行擾動。改進后的文化趨勢表達式為

其中：受文獻［5］的啟發，本文將w1設置為

w1的變化趨勢如圖1所示，其振蕩幅度隨著迭代的進行逐漸變小。在迭代前期振蕩幅度大，有利于在迭代過程中提高全局搜索能力。在迭代后期振蕩幅度小，加快局部搜索的同時也保留了種群多樣性。

2.2 雙策略學習機制

迭代尋優過程中，使用多個策略進行位置更新，可以增加種群的多樣性，提高局部挖掘能力，有利于平衡算法的全局搜索能力和局部挖掘能力。文獻［20］使用多種策略融合改善粒子群算法容易陷入局部最優的不足。文獻［21］使用多策略候選解生成方法較好地平衡了算法的全局搜索和局部搜索能力。本文使用兩種位置更新策略，有利于增加種群多樣性，平衡全局搜索與局部勘探能力，提高算法性能。COA中，郊狼個體成長過程中社會條件受到的影響因素有：郊狼個體本身成長狀態、組群的文化趨勢、組群頭狼和組內兩個被隨機選擇的郊狼。由于多個影響因素存在，COA郊狼成長策略（式（4））具有較好的多樣性。本文仍將其作為郊狼個體位置更新的可選策略（第一策略）有利于保留算法的全局搜索能力。但是，如式（5）所示，組群頭狼對郊狼個體的影響受到組內隨機郊狼的作用，這會導致組群頭狼對郊狼領導作用被減弱，以致削弱算法局部挖掘能力，使得算法收斂速度慢，求解精度低。

本文算法針對以上問題，在COA郊狼成長策略中加入組群頭狼引導因子

形成郊狼成長階段的第二可選策略

其中：w2隨著迭代次數的增加而變大。在迭代前期w2值較小，有利于保留種群的多樣性；在迭代后期w2值較大，可以加快算法的收斂速度。

本文算法DCSCOA郊狼位置更新過程如式（19）所示。

其中：p為常數閾值；r為均勻分布在［0，1］的隨機數。若r≥p，采用加入組群頭狼引導因子的策略；若rlt;P，則采取COA算法郊狼成長策略。

2.3 自適應混沌變異

1）個體變異 COA迭代后期郊狼個體之間相似度過高，郊狼種群多樣性差，導致求解陷入局部最優。在自然界中，郊狼不僅會在自己種群中交配，也存在與其他生物，比如狗等進行雜交的現象，這樣可以在一定程度上改善種群基因的多樣性。受這一現象的啟發，本文提出自適應混沌變異策略：設定次數閾值q，當適應度值沒有變化的迭代次數超過次數閾值，刪去郊狼種群中最差的m個個體，然后將使用混沌映射產生的新的m個后代加入到郊狼種群中。經過多次實驗，結果表明m=10時，算法的性能較好。

混沌映射具有遍歷均勻、隨機性強等特點，常被用來增加種群多樣性。常見的混沌映射有logistic混沌映射、tent混沌映射、Chebyshev混沌映射等。文獻［22］利用tent混沌映射對種群進行初初始化，使用logistic混沌算子對游走過程進行優化。文獻［23］在初始化階段使用混沌映射來增強種群的多樣性。由于tent映射遍歷性較好，本文選擇混沌映射產生變異。

tent混沌映射產生新個體的具體方式如下：

（a）將當前代全局最優個體的位置的每一維映射到0到1；

（b）將每一維的值帶入tent混沌映射的公式中，分別得到N-1個值；

（c）將得到的N－1個向量，經過映射，映射到原本的向量空間。

2）種群變異 在COA中，每個郊狼組群中郊狼個體是恒定不變的，導致郊狼學習對象多樣性差，使得算法容易陷入局部最優。本文算法在種群停滯時，重新分配郊狼組群，有效提高郊狼學習對象的多樣性。

3）停滯判斷機制 判斷迭代停止的次數的閾值為

多次實驗表明，最大次數閾值Smax=60，最小次數閾值Smin=5，效果較好。次數閾值q隨著迭代次數的增加而減少。在迭代前期，q值較大，混沌變異產生的新個體加入種群的概率較小，可以避免混沌變異產生的新個體加入種群后導致解的質量下降的問題。在迭代后期，q值較小，將會增加混沌變異產生的新個體加入種群的概率，從而提高種群的多樣性，提高算法跳出局部最優的能力。

2.4 雙策略學習和自適應混沌變異的郊狼優化算法流程

雙策略學習和自適應混沌變異的郊狼優化算法（coyote optimization algorithm based on dual strategy learning and adaptive chaotic mutation，DCSCOA）采用加入振蕩因子的文化趨勢、雙策略學習機制和自適應混沌變異三種策略對算法進行改進，算法的流程如圖2所示。

2.5 DCSCOA時間復雜度分析

在COA中，郊狼群體中共有Nc個組群，每個組群中有Np個郊狼，計算每個郊狼適應能力的時間是維度n的函數f（n），種群初始化階段：設初始化每個郊狼社會條件的時間為t1，計算每只郊狼的適應能力所耗時間為f（n），則初始化階段所耗時間為O（N（t1n+f（n）））=O（n+f（n）） 。在郊狼成長階段，設一只郊狼成長過程的時間為t2，則郊狼成長階段的復雜度為O（N（t2n+f（n）））=O（n+f（n））；在郊狼出生與死亡階段，設隨機選擇兩個父輩郊狼的時間為t3，生成子代郊狼并替換死亡郊狼的時間為t4，則這一階段的時間復雜度為 O（Nc（t3+t4n+f（n）））=O（n+f（n））；在郊狼被驅逐出組群和加入新組群階段，設遷移過程所需要的時間為t5，則這一階段的時間復雜度為O（t5）=O（1） 。因此在COA中，產生每一代最優個體的時間復雜度為

O（n+f（n））+O（n+f（n））+O（n+f（n））+O（1）=O（f（n）+n）

在DCSCOA中，初始化階段與COA的初始化階段沒有區別，時間復雜度為O（n+f（n）） ；在郊狼成長階段，設使用雙策略更新機制完成郊狼成長過程所需時間為t6，則郊狼成長階段的復雜度為O（N（t6n+f（n）））=O（n+f（n））；在郊狼出生與死亡階段，與COA的過程一致，則這一階段的時間復雜度為O（n+f（n））；在郊狼被驅逐出組群和加入新組群階段，與COA的過程一致，則這一階段的時間復雜度為O（1）；對于自適應混沌變異機制，設產生變異個體的時間為t7，變異個體替換郊狼群體中個體所需要的時間為t8，則這一階段的時間復雜度為O（m（t8+t7）n）。因此在DCSCOA中，產生每一代最優個體的時間復雜度為

O（n+f（n））+O（n+f（n））+O（n+f（n））+O（1）+O（m（t8+t7）n）=O（n+f（n））

與COA的時間復雜度相同。

3 實驗分析

為驗證本文DCSCOA的有效性，進行兩組實驗分析：a）三種改進策略的有效性分析；b）DCSCOA與其他群體智能算法性能對比。

3.1 測試函數

為了測試算法的性能，選擇20個經典測試函數進行平移變換f（x）=f（x-o）（o是測試函數定義域上隨機產生的隨機向量），形成本文的基本測試函數集。其中：F1～F10為單峰函數，F11～F15為多峰函數，F16～F20為固定維數的多峰函數。為了進一步驗證算法的性能，選擇了CEC2017中11個測試函數進行算法性能的測試。所有測試函數的編號、函數名、定義域、最優解如表1所示。

3.2 實驗設置

本文所有算法的種群數和測試函數的維數分別設置為100和30，函數最大評價次數為10 000×D，獨立運行次數為51。實驗環境為：處理器AMD Ryzen7 4800U@1.8 GHz，RAM 8 GB；Windows 10 64位操作系統，MATLAB R2020a。

3.3 常數閾值的選取

在DCSCOA的雙策略學習機制中，p的不同取值將影響算法全局搜索能力和局部挖掘能力的平衡。p越大能使郊狼個體受組群最優個體的影響越大，能夠提高算法收斂速度，但p過大，種群的多樣性變差，容易陷入局部最優。

為了在算法中設置合適的閾值p，進行p值敏感性實驗。設置不同的閾值p，對于函數F21～F31，計算DCSCOA在51次獨立運行下求解結果的平均值，實驗結果如表2所示，其中最優者用粗體表示。從表中可以看出，當p=0.3時，DCSCOA對于測試函數F24～F26、F29和F31取得了最優均值結果。對于F21和F22，p=0.3時DCSCOA的尋優結果與最優結果非常接近；對于F23和F27，p=0.3時DCSCOA的尋優結果均為次優。綜合以上分析可得在DCSCOA中取p=0.3為最佳。

3.4 三種策略的有效性分析

為了驗證DCSCOA中三種策略各自的有效性以及策略融合的有效性，將融合三種策略的DCSCOA與僅采用加入振蕩因子的文化趨勢的郊狼優化算法COA-tend、僅采用雙策略學習機制的郊狼優化算法 COA-leader、僅采用自適應混沌變異機制的郊狼優化算法COA-tent、采用加入振蕩因子的文化及自適應混沌變異機制的郊狼優化算法COA-tend-tent以及基本的郊狼優化算法進行比較。實驗結果如表3所示。

由表3中算法COA、COA-tend、COA-tent和COA-leader的實驗結果可知，對于大多數基本測試函數，COA-tend取得的平均值、標準差相對于COA的平均值、標準差更小，這和文化趨勢引入振蕩因子策略緊密相關，表明該策略通過提高種群個體的多樣性，有效地提高了算法的全局搜索能力，提升了算法的求解精度和穩定性。對于基本測試函數F1～F10和F12～F15，COA-tent的求解精度和穩定都比COA要好，對于函數F22、F24、F25、F27～F29和F31，COA-tent的精確度和穩定性都比COA有大幅提升，這表明在算法陷入停滯時，加入自適應混沌變異策略可以有效地提高種群多樣性，從而幫助算法跳出局部最優。對于基本測試函數F3、F9、F10、F19、F22、F24、F25、F27、F28、F29和F31，COA-leader精確度相較于COA都有所提高，顯示出增加組群頭狼的影響可以加快收斂，提高算法求解精度。

由表3中算法COA、COA-tend、COA-tent-tend和DCSCOA的實驗結果可知，對于函數F1～F13和F21～F31，隨著逐漸疊加策略，算法的求解精度和穩定性均得到進一步提升。對于固定維多峰函數F16～F18和F20，COA-tent、COA-tent-tend和DCSCOA均達到了理論最優均值，但是COA-tent-tend和DCSCOA的穩定性更好。對于函數F1～F3、F6、F7、F10～F13和F21～F30，在COA-tent算法上加入振蕩因子的COA-tent-tend算法的精確度和穩定性相較于COA-tent又有明顯提升，說明加入振蕩因子的文化趨勢通過提高種群多樣性，達到提高算法性能的目標。對于函數F1～F7、F9～F13、F21～F25、F27～F29和F31，DCSCOA的均值和標準差相較于COA-tent-tend均更好，顯示出COA-tent-tend進一步融合雙策略學習機制增加組群郊狼的影響，從而加快收斂速度，提高算法求解精度，進一步提高算法性能。

綜上所述，三種改進策略均有利于算法性能的提升，同時多重策略融合可進一步改善算法性能，且三種策略的融合可使算法整體性能達到最佳。

3.5 與其他算法實驗對比

為驗證DCSCOA的性能，本文選擇了經典的啟發式算法WOA^［24］、GWO^［25］，最新提出的啟發式算法AOA^［26］，改進的鯨魚算法ELWOA^［27］、改進的郊狼算法HCOAG、CGCOA與DCSCOA進行對比。HCOAG的 CEC2017的實驗結果來自于文獻［14］，COA和CGCOA的 CEC2017的實驗結果來自于文獻［15］，其他算法的參數設置如表4所示。實驗結果如表5所示，對于每個函數最優結果使用加粗字體表示。

表5的實驗結果表明，在31個測試函數中，28個函數的均值最優結果由DCSCOA取得，24個函數的標準差最優結果由DCSCOA取得，顯示出DCSCOA具有優越的求解精度和穩定性。DCSCOA對基本測試函數F1、F2和F6的求解精度遠遠高于其他算法，達到了理論最優結果；DCSCOA對F3和F7、F10、F11～F13的尋優結果的精確度高于其他算法幾十個數量級。對函數F5的標準差相比最優結果只相差一個數量級。對于固定維數多峰函數F16～F18和F20均達到了理論最優結果，對函數F19，DCSCOA與最優結果的均值和標準差均不超過一個數量級。DCSCOA取得了復雜測試函數F21～F31均值最優結果，說明在面對復雜求解情況時，DCSCOA仍具有最好的求解精度；除了函數F26、F30和F31，DCSCOA都取得了標準差最優結果，驗證了DCSCOA具有最強的穩定性。

3.6 DCSCOA與COA、AOA、GWO、WOA、ELWOA收斂曲線的比較

為了直觀地體現算法的尋優性能，圖3給出了六種算法在若干測試函數上的收斂曲線，通過收斂曲線對算法進行評價。

從圖3中可以看出，對于函數F1、F2、F10和F11，隨著函數評價次數的增加，在收斂速度上，DCSCOA均是收斂最快的算法，優勢明顯。其余算法的收斂曲線均在DCSCOA收斂曲線的上方，隨著函數評價次數的增加，適應度值變化較小。對于更為復雜的測試函數F21、F23，從圖3中可以看出，COA及其他對比算法剛開始迭代不久，收斂曲線就逐漸趨于水平，說明其他算法面對復雜且具有多個局部極值的測試函數時，難以跳出局部最優，而DCSCOA的收斂曲線仍然保持傾斜向下的趨勢，說明DCSCOA跳出局部最優的能力更強。綜合對比，較其他智能優化算法，本文DCSCOA求解精度更高，收斂速度更快。

4 結束語

針對郊狼算法收斂速度慢、求解精度低、容易陷入局部最優等問題，本文提出三種改進策略：a）對文化趨勢加入振蕩因子，提高種群的多樣性；b）增強組群頭狼的影響，使郊狼個體在位置更新時增加向組群中最優郊狼學習的程度，提高算法的收斂速度；c）提出自適應混沌變異策略，使自適應地在陷入停滯時產生變異個體，提高算法的跳出局部最優的能力。在31個測試函數上的實驗結果表明，DCSCOA具有更快的收斂速度、更高的求解精度和更強的穩定性。未來將會針對郊狼算法自適應機制進行改進，并進一步應用到工程問題。

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