重差術：古人之智 幾何之美

陳宇航 沙思遠 (江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校初三(2)班 215151)

指導教師 胡永強 (江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校 215151)

近期，我們學習了相似三角形，在這一章的最后，學習了用相似三角形的相關知識解決中心投影下實際計算問題.我們從中發現數學知識可以解決許多實際問題，數學具有廣泛的應用價值.下面選取一道典型例題作具體介紹.

例1如圖1，AB為路燈，小明站在D處，影子是DF，他往前走到H處，影子是HI，若小明身高CD=GH=hm，影子DF=am，影子HI=bm，DH=dm，求路燈的高(用含a,b,h,d的代數式表示).

圖1

在學完課本中的方法后，老師告訴我們：我國古代數學中沒有角的概念，也沒有相似三角形的相關定理，但是我國古人對此類問題卻有比較巧妙的解法.隨后，老師讓我們猜測：我國古代數學家在不用相似三角形知識的背景下，如何解決這種問題？同學們一時都不知道古人的方法.老師提醒道：“在勾股定理一章，我們見識了趙爽、劉徽等古代數學家用面積法解決許多問題，這種解決問題的思想方法叫‘出入相補原理’.大家可以從面積法的角度思考解決辦法.”

在老師的引導和幫助下，我們一起見識與探究了我國古代數學家對此類問題的解法.具體如下：

首先，讓我們一起了解一個重要的原理：如圖2，矩形ABCD中，如果I為對角線BD上一點，GH和EF過點I，GH⊥AB，GH⊥CD，垂足分別為點G,H，EF⊥BC，EF⊥AD，垂足分別為點E,F，那么S1=S2.

圖2

證明因為對角線平分矩形面積，所以S1+S3+S5=S2+S4+S6.同理可得S3=S4，S5=S6.所以S1=S2.

我國古代數學家將這個原理稱作“勾中容橫，股中容直原理”.根據這個原理可以推算出計算AB高度的公式.

如圖3，設CD=GH=BE=h，DF=a，HI=b，DH=d，我們用XBC表示矩形BDCE的面積.

圖3

古人在一次又一次的演算與思考中獲得真理，他們的智慧與鉆研精神著實令人欽佩.不難發現，古今中外人們對測量問題都有研究，方法與原理也各不相同，各具特色，各有優勢.我國古人更善于從一類問題中總結出一般性的結論與規律，并運用這些結論與規律解決同類問題.

指導老師點評中華優秀傳統數學文化是中華民族共同的精神財富，其間蘊含著豐富的數學學習素材.在我國古代，與測量相關的技術稱為“測望之術”，包括測高、測深、測遠等.根據測望次數，又分為“一望”“二望”“三望”“四望”等.重差術公式主要用于解決“二望”問題.兩位小作者研究了教材中的測量建筑物高度的方法和我國古代的“重差術”，發現古代數學家利用“勾中容橫，股中容直原理”推算出解決這類問題的公式，只要測量出公式中的幾個量，代入公式即可計算出物體的高度.同時，兩位小作者還體會到我國古代數學家善于從一類問題中總結出一般性的規律與方法，并用其解決同類問題.這種機械化的算法思想是我國古代數學的一大特色.中華優秀傳統數學文化博大精深，我們要認真研究，將其傳承和發揚下去.