扭轉效應下石英晶片電荷量及其靈敏度分布規律研究

晉會杰 高長銀

1.商丘工學院，河南商丘 476000；2.鄭州航空工業管理學院，河南鄭州 450001

0 前言

人們在一百多年前發現壓電效應后，針對壓電效應研究一直是壓電學基礎理論研究的主要課題。因工程應用和科技發展的需求，對壓電效應的研究由單純基于應力的縱向、橫向等二維效應研究逐步發展到基于晶體扭轉、彎曲變形等三維復合效應研究[1]。目前，國內外對一次壓電效應和縱向、橫向等二維變形效應的研究與應用較多，而對扭轉、復合變形等三維變形效應的研究較少。從壓電材料方面，對壓電陶瓷及其器件研究的較多，對壓電石英及其器件研究的較少。美國學者通過切向極化的壓電陶瓷圓管的極化電場實現圓管扭轉振動，用其逆效應作為傳感器測量扭矩；四川壓電聲光所研究利用單層扭轉壓電效應的超聲旋轉致動器。國內外都缺少對石英晶組扭轉力作用電荷分布情況的研究。本文通過研究石英測量晶組在扭轉力作用下對電荷靈敏度分布規律的理論計算與實驗分析，確定檢測電極布置的最大靈敏度方向，為設計新型扭矩傳感器時檢測電極的位置提供理論基礎。

1 石英晶片組在扭轉效應下電荷量的實驗測定與分析

1.1 石英晶片數量的選擇與扭矩測量晶組組成

在組合晶組過程中，通常需要把橫向干擾降到最小，同時使信號轉換過程中的效率最高。若達到以上要求，需要在準確判斷晶軸的同時，保證扭轉晶組組合的干擾最小，而這里的干擾一般來源于軸向力與徑向力。所以，通過最大限度減小軸向力與徑向力干擾，最大限度減少電荷放大器的數量，非必要不使用外接電路來實現測量精度的提高和成本最小化[2-3]。

不同的晶片切型所帶來的向間干擾也不同。可以通過選擇合適的晶片切型來有效減小軸向力所產生的向間干擾。根據石英晶體的壓電效應原理可知：在理想狀態下，y0o切型的石英晶片在軸向力作用下，在其機械軸方向上不產生電荷，但其在剪切力作用下是會產生壓電效應的。當徑向力作用于晶片時，通過最大限度減小扭轉晶組徑向力的向間干擾，使晶片電極輸出信號為零，通常可以采用電壓法和電荷法兩種方法來減小向間干擾。

電壓法是在兩片晶片中間粘貼上兩片半圓電極（保證粘貼的對稱性），然后將其中一個電極接入電荷放大器A 中，把另一個電極接入電荷放大器B 中，電荷放大器A 的輸出通過一個反相器后與電荷放大器B 并聯輸出。這種方法需要用到電荷放大器A、電荷放大器B 和一個反相器，這三個外接電路不但會導致成本增加，而且會帶來更大的測量誤差[4]。

如圖1（a）所示，扭轉晶組是由3 片石英晶片構成了A、B、C、D 四個電極，當徑向力作用于晶組時，無論方向如何，都會在晶體的表面產生一定的束縛電荷，而且從圖1（a）可以看出，電極A、電極C 與電極B、電極D 所產生的電荷大小是相等的，但符號正好相反，所以電極A 與電極C 并聯后，電荷相互抵消使輸出為零，這就是電荷法。由以上分析可知，電荷法能有效消除徑向力的影響。當只有扭矩作用時，電極A、C 與電極B、D產生的電荷大小相等且符號相同，故電極A 與C并聯后，輸出變為單電極2 倍，如圖1（b）所示。該方法相比于電壓法少一個電荷放大器，同等條件下電極輸出的電荷量是單電極的2 倍，極大提高了扭轉晶組壓電效應的靈敏度。因此，采用電荷法實驗效果更好。

1.2 實驗儀器與實驗結果分析

1.2.1 實驗過程與結果

本次實驗裝置原理圖如圖2所示。實驗臺上的軸向預載是可調的，砝碼通過滑輪裝置施加扭矩，電極之間連線與晶片布置采用電荷法，采用型號FDH-2 的電荷放大器和SY2-Ⅲ數字電壓表。

采用分割電極法將檢測電極布置到最大靈敏度方向，通過實驗測量得到扭矩與束縛電荷量的對應關系，如表1所示。在此基礎上繪制出扭轉電荷量與扭矩的關系圖，如圖3所示。由圖3可以看出，電極所測量的電荷量與扭矩具有線性關系。

表1 檢測電極測得的束縛電荷量與扭矩之間的對應關系

1.2.2 實驗誤差分析

由上述電荷法結合圖1（b）分析可知，在檢測電極所檢測到的電荷量在數值上等于單個半圓電極所測電荷量的4 倍，可通過下面積分公式可以計算得到各個電極所檢測到的電量理論值。

其中，ηbz+為垂直于y、z表面的等效面束縛電荷密度；Mt為扭矩；r為半徑；θ為扭轉角。

利用最小二乘法可以擬合得到電極電量q（單位：pC）和Mt（單位：N·mm）成線性關系。若設線性關系方程為：

其中，a為斜率；b為截距。

將表1中實驗測得的數據代入回歸直線方程得：

其中，q為檢測電量。通過表1求出回歸方程的截距項均不超過0.1 pC，故可以不考慮截距項。

依據統計假設檢驗（Statistical hypothesis test）的原理對相關顯著性檢驗，從而得到線性相關系數為0.999，說明扭矩與電壓之間的線性關系極其顯著。

根據實驗數據公式（3）和理論計算關系式（1），得到各個電極上電荷量的實驗值與理論計算值之間存在相對誤差的大小為：

石英晶片切型時尺寸和角度不精準，電極制作時存在的尺寸偏差，電極貼放時存在的角度偏差，電極的不平整，加載過程抖動等因素綜合在一起導致實驗值同理論值之間產生了較大偏差。

2 扭轉作用下電荷靈敏度分布規律的理論計算與實驗分析

2.1 扭轉作用下電荷靈敏度分布規律的理論計算

要找到電極布置的最大靈敏度方向，首先要對扭轉電荷靈敏度分布規律進行分析和計算，并在此基礎上進行實驗測定。扭轉電荷靈敏度分布是指在一定的扭矩力作用下對確定切型的石英晶片采用分割電極法進行扭轉電荷檢測時，電極分割線在不同的電極貼放角度時檢測到電荷量的變化規律[5]。在研究壓電式測力傳感器時，可以通過研究扭轉電荷靈敏度分布規律來確定石英切型精度[6]。

由式（5）可知，當Mt和晶片半徑r為定值時，z表面產生的電荷量Q的大小只與d34的值有關[7]，而晶體的材料和切型決定了壓電系數d34的大小，對扭轉作用下電荷靈敏度分布規律的研究就轉化為對晶片中不同方向下壓電系數d大小的研究[8]。在圖4晶體坐標系中給定壓電系數d的值，在其相對坐標系Ox'y'z'中，不同方向的作用力大小也是給定的，對扭轉作用下電荷靈敏度分布規律的研究最終就是在新坐標系Ox"y"z"中計算壓電系數d34的值。

Ox"y"z"坐標系是在空間中將電極分割線繞著坐標軸z軸旋轉α角后形成的，相應的坐標變換矩陣為：

其中，α為圖4所示的電極貼放角度。

將其代入應變張量的坐標關系式，可求得N的轉置矩陣（應變張量的變換矩陣）為：

將坐標變換矩陣（公式6）和N的轉置矩陣（公式7）同時代入到壓電常數的張量變換公式d'=AdM-1=AdNT，求得在新坐標系下的壓電系數：

從中可以得到晶片的扭矩靈敏度分布規律為：

由公式（9）可知，表征扭轉電荷靈敏度分布規律的d '34的大小隨cosα（即呈余弦規律變化）。

2.2 扭轉電荷靈敏度分布規律的實驗分析

利用圖2的實驗裝置對扭轉電荷靈敏度分布規律進行實驗測定。橫坐標為電極分割線與計算坐標系y軸之間的夾角α，縱坐標為電極產生的輸出電壓。圖5是進行四種不同的扭矩力作用下的實驗測定，可以看出，在同一扭矩下靈敏度分布基本呈余弦規律變化，與前面的理論推導結論一致。

3 結束語

綜上所述，采用分割電極法將檢測電極布置到最大靈敏度方向，實現對不同扭矩作用下電荷量的實驗測量，電極所測量的電荷量與扭矩成線形關系。要獲得最大扭轉電荷靈敏度，電極分割線須與石英晶體坐標系的y軸相重合。該研究將為設計新型扭矩傳感器檢測電極的位置粘貼提供理論基礎。