“不動”的過程

陳昌榮

在遞推數(shù)列中，經(jīng)常提到“不動點法”求數(shù)列的通項。我翻閱了幾本競賽書籍（高中教材中沒有），都沒有詳細的說明，只給出了結(jié)論，而且數(shù)列類型總結(jié)也不完整。如果我們只講結(jié)論，不講過程。這就給學(xué)生帶來了記憶負擔(dān)（有些結(jié)論很難記），若學(xué)生記不住公式就做不起題。所以我們應(yīng)該給學(xué)生講述整個過程，特別是思維的來源。這樣，學(xué)生有了自己的思維，在做題的時候，可把證明過程融入到解題過程中去，則降低了記憶公式的負擔(dān)，提高解題的能力。

預(yù)備知識：

①.因式分解定理：

如果 是方程 的一個根，則方程 可變?yōu)椋?/p>

②.變式結(jié)論：

如果方程 可變?yōu)?的形式，則 是方程 的根，此時 叫做函數(shù) 的不動點。

1.型如： 的解法

【思維過程】

①.當(dāng) 時，則數(shù)列為等比數(shù)列，直接可用公式求通項；

②.當(dāng) 時，則可設(shè)法轉(zhuǎn)化為①種（等比數(shù)列）情形求解，即將遞推式變?yōu)椋?求解，數(shù)列 是以 為公比的等比數(shù)列。這里 是未知的常數(shù)，怎樣求出 是解題的關(guān)鍵。

法1：由 得： ，與 對

比，則： 。

法2：由前面的預(yù)備知識及 可知： 可看作方程：

的根，也即是方程 的根，則： 。即：用 “不動點法”求 的通項。

結(jié)論1：若 ， 是 的不動點，數(shù)列 滿足：

，則有： 是以 為公比的等比數(shù)列。

例1：設(shè) 滿足： 求通項 。

解：由 得： ，則有：

即： 以3為公比的等比數(shù)列 ，又

∴

2. 型如： 的解法

【思維過程】

①.當(dāng)B=0時，取倒數(shù)為： ，令 ，則 ，是 的數(shù)列，可用上面的方法求解。

②.當(dāng) 時，則可設(shè)法將其遞推式變?yōu)椋?，

設(shè) ，則有： ，即為：B=0的情形。這里 是未知的常數(shù)，怎樣求出 是解題的關(guān)鍵。

由前面的預(yù)備知識及 可知： 可看作方程：

的根，也即是方程： 的根。

注意1：

方程 一般有兩個（ ），是否都滿足呢？

若 是方程 ①的根，則有： ②；所以：由①②得：

即：方程 的根 都滿足： 。

注意2：可將 與原來的式子對比，解出 的值。

結(jié)論2：若 ， 是 的不動點（或其中之一），

數(shù)列 滿足： ，則有： 滿足： ：

①、直接取倒數(shù)為： ，再用 的方法求解。特別地：當(dāng)兩個不動點相等時，即： ，則有：

②、 的兩個不動點不等時，設(shè)為： ，則有 滿足：

注意：此方法也適合A=0及B=0的情形。

例2：設(shè) 滿足： 求通項 。

在我們的教學(xué)活動中，必須要講出思維的來源，便于學(xué)生理解融會貫通。同時注意數(shù)學(xué)中的基本問題模型的歸類及一般問題怎樣向基本問題模型的轉(zhuǎn)化；只要學(xué)生有了這樣的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方法，才能夠會學(xué)知識，達到事半功倍的效果。