鐵路隧道二次襯砌可靠度計算方法*

姜高勇 周甲強 王 進 魏中華 張霖波 李 斌

(1.山東省路橋集團有限公司 濟南 250014； 2.武漢理工大學交通與物流工程學院 武漢 430063)

目前，采用概率極限狀態設計法是土木工程結構設計發展趨勢，該方法以可靠度理論為基礎，充分考慮結構設計中各因素的不確定性，并在設計表達式中以多個分項系數進行設計。

為提高我國鐵路工程結構設計水平，實現鐵路工程全壽命周期管理，中國鐵路總公司于2018年發布了企業標準：Q/CR 9129-2018《鐵路隧道設計規范(極限狀態法)》，規定了隧道襯砌結構目標可靠指標；住建部于2019年頒布了國家標準可靠指標和國家標準GB 50216-2019《鐵路工程結構可靠性設計統一標準》，標志著我國鐵路隧道設計由容許應力法向可靠度設計方法轉軌。

為了對現有方法計算隧道襯砌可靠指標的準確性、可能存在的問題進行分析和驗證，本文基于蒙特卡洛法編寫隧道襯砌整體失效概率統計程序，將其與驗算點法和JC法結果進行對比，并對各計算方法的使用給出建議。進而通過APDL程序直觀顯示襯砌單元相關結果的云圖，如功能函數值、可靠指標、大、小偏心比率等。

1 現有計算方法

鐵路隧道可靠度設計的內容主要包括：①隨機變量統計特征；②功能函數及計算；③可靠指標或失效概率計算方法等3個方面。在隨機變量方面，對鐵路隧道的荷載、材料參數，以及幾何參數等統計特征國內已開展了大量的研究，為鐵路隧道可靠度設計提供了數據支撐。

我國鐵路隧道襯砌結構有鋼筋混凝土襯砌和混凝土襯砌2種，計算其承載能力極限狀態的功能函數數值，需要預先確定截面的彎矩、軸力、偏心距、混凝土受壓區高度等變量。這些變量沒有解析解，需要通過數值計算才能得到。因此，現有研究一般采用隨機有限元法[1]研究隧道可靠性，該方法忽略隨機變量的相關性，適用于解決不確定性結構非線性問題，其技術路線見圖1。

圖1 隨機有限元概率分析路線圖

主要步驟為：首先通過隨機變量統計特征進行抽樣，接著對每個樣本采用荷載結構法計算模型進行有限元計算，得到計算結果，如彎矩、軸力、偏心距等。在此基礎上確定隨機變量的統計特征(分布類型、平均值、標準差)。根據現有研究的統計結果，假定這些變量均服從正態分布，可根據極限狀態方程，采用驗算點法計算每個襯砌單元的可靠度。

此外，也可根據抗力(R)和效應(S)的表達式得到R和S的統計特征。根據現有研究的統計結果，假定R服從對數正態分布，S服從正態分布，可采用JC法計算結構的可靠指標并得到結構的失效概率[2]。

這2種方法思路明確，計算效率高，已得到較多的應用，但也具有一定的局限性，主要包括：

1)均需根據隨機變量統計特征，假定內力、抗力和效應的分布類型，由此對計算結果產生一定的偏差。

2)以控制截面可靠指標(即可靠指標最小值)作為整個隧道襯砌的結構可靠指標，忽略了失效位置具有不確定性。

3)功能函數所涉及的變量中，偏心距的大、小(大偏心或小偏心)會影響混凝土受壓區高度和鋼筋應力的計算方法，因此，根據其平均值判斷大、小偏心，并計算功能函數的數值欠合理，忽略了襯砌單元的大、小偏心具有不確定性，可能導致一定的誤差。

2 功能函數

根據不同的圍巖環境和跨度設定，鐵路隧道二次襯砌類型可采用鋼筋混凝土襯砌或素混凝土襯砌施工。二次襯砌的極限狀態方程和混凝土矩形截面偏心受壓構件正截面承載力極限狀態方程相同，其中，鋼筋混凝土襯砌截面(見圖2)極限狀態方程[3]如式(1)，矩形截面偏心受壓構件正截面承載力示意圖見圖2。

圖2 矩形截面偏心受壓構件正截面承載力示意圖

(1)

此外，采用JC法功能函數還可表示為抗力R和效應S的形式，其計算方法見式(2)。

Z=g(R,S)=R-S

(2)

式中：抗力表達式R為

效應表達式S為

根據抽樣計算結果，可以得到抗力R和效應S的平均值和標準差，并采用JC法根據對應功能函數式(2)計算截面可靠指標β。

一般認為功能函數符合正態分布，根據截面可靠指標β可得到截面的失效概率Pf，其計算方法見式(3)。

Pf=Φ(-β)=1-Φ(β)

(3)

式中：Φ為正態分布累計分布函數的反函數。

3 隨機變量統計特征

本文以200 km/h客貨共線雙線鐵路隧道復合式襯砌為例，計算二次襯砌在V級圍巖淺埋[4-7]情況下的結構失效概率及襯砌單元可靠度。其中，二次襯砌采用C35混凝土，內外側均采用HRB335鋼筋，二次襯砌承受圍巖壓力的比例為0.7，隧道開挖跨度12.06 m，高度為10.25 m。其中，考慮幾何參數的不確定性，隧道設計參數見表1。

表1 隧道配筋參數

根據《鐵路工程結構可靠性設計統一標準》推薦的上下限法，確定基本變量統計參數，上下限法計算公式見表2。

表2 上下限法計算公式

V級圍巖重度均值、標準差和變異系數確定過程如下所示。

已知V級圍巖重度為17～20 kN/m3，x1=17；x2=20；

則圍巖重度均值μ1=(x1+x2)/2=18.5；

圍巖重度標準差σ1=(x1-x2)/4=0.75；

圍巖重度變異系數δ1=(σ1/μ1)=0.040 5

按照圍巖重度統計參數計算方法，計算相關基本變量統計參數，其計算結果見表3。

表3 基本變量統計參數

4 隨機有限元模擬與概率分析

4.1 數值模型

隨機有限元計算采用ANSYS軟件建立隧道二次襯砌的荷載-結構模型，采用二維梁單元(Beam3)模擬襯砌，二維桿單元(Link10)模擬圍巖對襯砌的約束，其計算模型見圖3。

圖3 計算模型

4.2 驗算點法

根據數值計算結果，得到功能函數所涉及隨機變量的統計參數。其中，第82號單元襯砌內力的統計參數見表4。

表4 隨機變量統計參數

基于隨機變量統計參數和功能函數表達式(式1)，采用驗算點法，也稱改進一次二階矩法(AFOSM)，計算每個單元的可靠指標，計算得到所有單元的可靠指標云圖如圖4所示。

圖4 設計驗算點法可靠指標計算結果

圖4中單元的可靠指標最小值為1.978，位于第82號單元，因此該單元截面為控制截面?？煽恐笜俗畲笾禐?.881，位于第97號單元。襯砌整體可靠指標取最小值β=1.978。

由圖4可見，整體上看，襯砌破壞或小偏心破壞的比例接近100%，大、小偏心破壞的不確定性較小。但是隧道襯砌拱肩處單元的大、小偏心出現比例相當，大、小偏心的不確定性較大。例如第59號單元，通過受壓區高度均值判斷其為小偏心受壓破壞。然而，在蒙特卡洛抽樣統計中，小偏心破壞出現28 300次，僅占總抽樣的56.6%，另外還有21 700次大偏心破壞。這說明將受壓區高度均值作為大、小偏心破壞判斷依據，會忽略大、小偏心的不確定性。尤其是當隧道處于復雜地質條件時，如受偏壓作用、構造應力作用時，對計算結果的影響將更大。

為了探究襯砌單元大、小偏心破環的具體分布情況，對抽樣過程的大、小偏心出現的次數進行統計，大、小偏心占比分布結果顯示見圖5。

圖5 大、小偏心占比

圖5結果表明，對于大部分單元，大偏心狀態占比較大時，大、小偏心的不確定性會進一步加大，導致計算結果出現偏差。

4.3 JC法

為了克服驗算點法的不足，可以在每次有限元計算結束時，通過得到的內力等變量提前判斷單元的大、小偏心，并通過抗力和作用的表達式，計算抗力和作用的具體數值，從而得到其統計特征，其計算結果見圖6。

圖6 控制截面抗力和作用統計特征

由圖6可見，抗力比較符合對數正態分布，作用比較符合正態分布。

根據抗力和作用統計參數，采用JC法計算得到的單元可靠指標，其范圍為1.47～9.15，最小值出現在拱頂(第83號單元)，與驗算點法控制截面為相鄰單元，但可靠指標最小值為β=1.47，明顯小于驗算點法控制截面的結果。

由于每次抽樣計算時，均利用內力等變量判斷了大、小偏心，因此該方法不受大、小偏心不確定性的影響，計算結果理論上比驗算點法更為可靠。但是，該方法假定抗力為對數正態分布，作用為正態分布，由圖6可知，這與實際情況有一定的差別，并由此造成計算結果的偏差。

4.4 蒙特卡洛法

為了分析并驗證以上2種方法的準確性和可能存在的問題，本研究通過APDL編程，基于蒙特卡洛模擬，直接統計單元失效次數和襯砌整體失效次數。其實現方法為，在每次抽樣計算時，通過內力等變量判斷功能函數的數值，并定義一個狀態變量，若功能函數值小于0，則將該單元的狀態變量賦值為“1”，即失效一次。每次計算完成后，將各個單元的狀態變量數值相加，如為0，說明所有單元均未失效，否則(即大于0)，則至少有一個單元失效，可判斷整個襯砌結構失效1次。為保證計算精度，蒙特卡洛法[19]建議樣本容量必須滿足N≥100/Pf。即失效樣本數量NPf應大于等于100。

通過試算，本例抽樣50 000次，可以滿足精度要求。得到V級圍巖淺埋情況下，車速200 km/h雙線隧道結構整體的失效概率為Pf=0.011 88。

由此得到隧道二襯襯砌結構整體可靠指標β=-Φ-1(0.011 88)=2.261 0。

根據隨機有限元生成的“pdrs”的文件，可以查找每次抽樣基本變量的輸入值與計算得到的內力結果。在此基礎上，可統計各單元失效次數，其計算結果見表5。

表5 單元失效次數

經統計，控制截面失效次數579次，結構整體失效次數594次。說明所有抽樣中，有15次是非控制截面失效。常見的失效位置(即功能函數值小于0)主要出現在拱肩、邊墻和拱肩等處。其中，某個非控制截面失效時的單元功能函數值云圖見圖7。

圖7 某非控制截面失效時單元功能函數值云圖

以上結果說明了在抽樣計算過程中，隧道二次襯砌的失效位置存在不確定性。一般情況下，隧道主要承受較大的豎向壓力，因此拱頂處產生的彎矩較大，容易達到承載能力極限狀態，控制截面的失效次數可能比較接近整體襯砌的失效次數。

特別地，對于承受較大水平壓力或地基反力的隧道，其邊墻或拱腳等位置也可能產生較大的彎矩，從而達到極限狀態?；蛘撸斔淼捞幱趶碗s的地質條件時，如受偏壓作用、構造應力作用或附近有建筑物或構造物時，失效位置的不確定性也可能進一步加大，從而導致計算結果不準確。

4.5 結果對比及分析

4.5.1結果對比

圖8為3種可靠度計算方法得到的控制截面失效概率對比。

由圖8可見，采用蒙特卡洛法得到的襯砌整體失效概率為0.011 88，控制截面失效概率為0.011 58，兩者比較接近。驗算點法得到控制截面失效概率為0.023 9，JC法得到的失效概率為0.069 9，兩者蒙特卡洛法計算結果差別較大。其中JC法雖然避免了大、小偏心不確定性的影響，但由于其假定的抗力和作用的分布與實際分布有一定的偏差，其計算結果的準確性反而低于驗算點法。

4.5.2適應分析

由上可知，蒙特卡洛法的計算結果最為可靠，對于可靠指標不大的結構，直接計算結構整體失效概率能夠直觀快速地反映結構完成預定功能的能力。但對可靠指標較大的結構，需進行大量的抽樣計算才能滿足精度的要求，耗時較長。

表6給出了不同鐵路隧道可靠指標計算所需的抽樣次數和計算時間。

表6 不同可靠指標的計算時間

由表6可見，當結構可靠指標在3左右時(失效概率為0.001)，抽樣次數為100 000次，計算時間在8 h左右。而當失效概率下降一個數量級時，抽樣次數變成10倍，需要3 d以上才能完成1次蒙特卡洛計算。

對于隧道結構，當可靠指標較小時，精度不足導致的偏差可能直接影響設計參數的選擇。為了兼顧計算結果的準確性和計算效率，建議首先采用驗算點法和JC法同時計算襯砌可靠指標，當控制截面可靠指標低于3.5時，再用蒙特卡洛法進行驗證。當可靠指標大于3.5時，結構失效概率較小，對計算精度允許情況下，可以直接取驗算點法和JC法兩者中較低值作為結構可靠度的近似值。

5 結語

本文以某鐵路雙線隧道為例，利用ANSYS 中PDS模塊的抽樣計算功能，編寫了蒙特卡洛法隧道襯砌單元和整體失效概率計算方法，并將其與驗算點法、JC法的計算結果對比。通過以上研究，得到結論如下。

1)驗算點法和JC法需分別假定截面內力、抗力和效應的分布類型，與實際抽樣結果的分布不完全一致，由此可能導致計算結果出現一定的偏差。

2)驗算點法和JC法均以控制截面的可靠度作為整個結構的可靠度，忽略了失效位置的不確定性。一般情況下，隧道主要承受較大的豎向壓力，因此拱頂處產生的彎矩較大，容易達到承載能力極限狀態，控制截面的失效次數和整體失效次數相當，誤差不大。但是，對于承受較大水平壓力或地基反力的隧道，其邊墻或拱腳等位置也可能產生較大的彎矩，從而達到極限狀態?；蛘?，當隧道處于復雜的地質條件時，如受偏壓作用，構造應力作用，或附近有建筑物或構造物時，失效位置的不確定性也可能進一步加大，從而導致計算結果不準確。

3)驗算點法根據受壓區高度均值作為大、小偏心破壞判斷依據，并用統一的功能函數計算可靠度，忽略了單元大、小偏心存在的不確定性。本文算例表明，拱肩處單元抽樣計算結果的大、小偏心出現頻率相當，但在驗算點法中，只能采用小偏心及其對應的功能函數進行計算，容易造成誤差。當隧道處于復雜地質條件時，大、小偏心的不確定性可能進一步加大。

4)蒙特卡洛法可直接統計每個單元和整體襯砌的失效次數，其計算結果不受失效位置不確定性和大、小偏心不確定性的影響，也不需假定抗力和作用的分布類型，計算結果最為可靠，但是，其計算時間較長。

為提高計算效率，建議首先采用驗算點法和JC法同時計算可靠指標，當可靠指標低于3.5時，用蒙特卡洛法進行驗證。當可靠指標大于3.5時，結構失效概率較小，計算精度允許的情況下，可以取驗算點法和JC法的較低值作為結構可靠度的近似值。