等效電源法巧析電路問題

趙 明

重慶市巴蜀中學校，重慶 400013

在電源內阻不能忽略的情況下，對于某些較為復雜的閉合電路，我們在分析電路中某部分電阻的電流、電壓、功率等物理量的變化以及某些實驗中的誤差時，往往會出現復雜的數學運算，有時還會出現函數求極值等數學技巧問題，從而使問題變得繁瑣，把物理問題變成了數學問題。本文利用等效電源[1]的思想處理電路問題，可以節約大量的數學運算時間，回歸物理問題的本質，使物理問題簡單化。

1 兩類常見的等效電源問題

由閉合電路歐姆定律E=U+Ir可知：當I=0時，外電路斷開，電源電動勢數值上等于此時的路端電壓，即E=U斷；當U=0時，外電路短路，電路中的短路電流，可得。

因此，在把電路中的其他電阻和電源一起看成一個等效電源時，我們可以通過上面的方法得到下面兩類情況下等效電源的等效電動勢E'和等效電阻r'，兩者之間滿足關系。

1.1 電源和一定值電阻R串聯組成等效電源

如圖1所示，此等效電源兩端ab斷開時，Uab=E，所以等效電動勢E'=Uab=E。

圖1 等效電源1

1.2 電源和一定值電阻R并聯組成等效電源

圖2 等效電源2

2 滑動變阻器的功率最大問題

2.1 電源的最大輸出功率結論

如圖3所示，對于求解電源的輸出功率，我們通常的解法是，對于純電阻電路，結合閉合電路歐姆定律，有

圖3 變阻器與電源串聯時的電路圖

實際上，我們還可以用下面的方法得到更為一般的結論。

對任意電路，電源的輸出功率均有

從數學角度來看，這是一個P外關于干路電流I的函數表達式，我們可以用數學均值不等式來求出電源輸出功率的最大值。

（1）對任意電路：

（2）純電阻電路：

當R=r時，電源輸出功率最大。

實際應用中，只需求解外電路中一部分變化電阻功率的最大值時，我們同樣可以結合上面的推導來分析。

2.2 變阻器和定值電阻串聯時的最大功率

如圖4所示，我們需要求解滑動變阻器R的最大功率，不能直接用圖3所得結論，我們可以用等效電源法來處理。如圖4中的虛線所示，電源和R0串聯組成等效電源，等效電動勢E'=E，等效內阻r'=R0+r，此時滑動變阻器為等效電源的外電路，則可直接用圖3所得電源的最大輸出功率結論。

圖4 變阻器與定值電阻串聯時的電路圖

當R=r'=R0+r時，滑動變阻器最大功率為

2.3 變阻器和定值電阻并聯時的最大功率

如圖5所示，當滑動變阻器和一定值電阻并聯時，求解滑動變阻器的最大功率問題將變得較為復雜。若用常規解析法處理，會出現較為復雜的數學運算問題，其求解思路如下：

圖5 電路圖

通過上面的分析我們可以看出，常規解法往往需要用到復雜的數學運算，對于數學能力要求較高。特別是前述2.3中當滑動變阻器與定值電阻并聯時涉及到的數學問題計算尤為復雜，還需要用到均值不等式的思路才能得到最后結果，對于數學基礎較為薄弱的學生有很大的難度。

而等效電源法思路簡單，計算容易，不易出錯，學生在解題的時候所花時間也很少，相比于常規解法而言，等效電源法具有很大的優越性。

3 實驗測量電源的電動勢和內阻中的誤差分析

3.1 實驗電路中的兩種連接方式

誤差分析對于電路實驗而言既是重點也是難點所在。由于電表內阻不能忽略，在測量電源的電動勢和內阻的實驗中存在不可避免的系統誤差。在實驗中，我們通常有兩種電路連接方式，相對于待測電源而言，圖6為電流表外接，圖7為電流表內接。不管采用哪種連接方式，若不考慮電表內阻，改變滑動變阻器阻值，只要得到兩組U、I值，都可以求出電源電動勢和內阻的測量值。

圖6 電流表外接電路圖

圖7 電流表內接電路圖

通常我們可以用解析法或者圖像法對這兩種電路連接方式進行結果的誤差分析，均可以得出下面結論：

（1）在圖6中，由于電壓表分流，電動勢和內阻的測量值均小于真實值，即 E測

（2）在圖7中，由于電流表分壓，內阻的測量值大于真實值，即 E測=E真，r測>r真。

常規解析法對于數學計算能力要求較高，數學運算復雜，容易出錯。相比于常規法而言，圖像法較為簡單，但學生在理解圖像中的兩個特殊點時對實際電路經常提出下面兩點疑問。（圖8甲是電流表外接時電源的U-I圖像，圖8乙是電流表內接時電源的U-I圖像。）

圖8 電源U-I圖

疑問1圖8甲中的A點U=0，則外電路應為短路，外電阻阻值應該為零，但此時外電路為電流表和滑動變阻器串聯。即使滑動變阻器阻值調為零，電流表電阻也不能忽略，所以外電路電阻不可能為零，所以外電路不可能短路。

疑問2圖8乙中的B點I=0，則外電路應為斷路，外電阻阻值應該為無窮大，但此時外電路為電壓表和滑動變阻器并聯。不管怎么調節滑動變阻器阻值，即使滑動變阻器阻值調為無窮大，電壓表電阻也不能忽略，所以外電阻阻值不可能為無窮大，所以外電路不可能斷路。

老師在回答此類問題時一般解釋為這兩種情況屬于理想情況，可以有但實際實驗中不能達到。這樣解釋從理論上可行，但因為這是屬于實驗中的誤差分析，難免有點牽強，學生理解起來有一定難度。

下面我們用等效電源法[2]來處理此類誤差分析問題。

3.2 電流表外接時誤差分析

如圖6中的虛線所示，電源和電壓表并聯組成等效電源，則可以不考慮電壓表分流。但實驗所得測量值應為等效電源的等效值，即實驗所得測量值應為等效電源的等效電動勢E'和等效內阻r'。

3.3 電流表內接時誤差分析

如圖7中的虛線所示，電源和電流表串聯組成等效電源，則可以不考慮電流表分壓。但實驗所得測量值應為等效電源的等效值，即實驗所得測量值應為等效電源的等效電動勢E'和等效內阻r'。

由前面分析易得：E測=E'=E真，r測=r'=RA+r真。同樣易得出結論：E測=E真，r測>r真。

通過對3.2與3.3中兩種連接方式的誤差分析，我們可以得出這樣的結論：當電源內阻較小時，若采用電流表內接，由于RA與r真接近，因此雖然電動勢測量值不存在系統誤差，但是內阻測量值的相對誤差很大；而若采用電流表外接，由于RV>>r真，雖然電動勢和內阻測量值均存在系統誤差，但是相對誤差較小，所以我們在實際測量干電池的電動勢和內阻時，通常采用圖6的電路連接方法。但如果待測電源內阻較大，RA<

通過上面的分析可知，我們在用等效電源法分析時既避免了復雜的數學運算，又避免了圖像法分析問題時帶給學生的困惑，很好地解釋了該實驗中的誤差分析問題，學生理解起來更為容易。

4 結束語

通過對滑動變阻器最大功率的求解及電源電動勢和內阻實驗中的誤差分析，我們可以看出，在分析電路中某些較為復雜的問題時，相比于其他解法，等效電源法顯得更為簡單，可以有效地幫助學生理解和思考問題，解題思路更為清晰。因此，掌握等效電源的兩種常見形式，并合理運用到電路問題分析中去，往往可以把電路中的復雜問題簡單化，使電路中的數學問題變得簡單。讓學生可以充分利用物理的思維來解決電路問題，而不是一味地追求數學上的難度，這也是物理教學中的基本觀點，使數學問題物理化。