用于監(jiān)控過程均值的DMHWMA控制圖

李禹平，朱永忠

(河海大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 南京 211100)

統(tǒng)計過程控制(Statistical Process Control , SPC)在現(xiàn)如今質(zhì)量監(jiān)測行業(yè)中扮演著重要的角色，是一種應(yīng)用廣泛的質(zhì)量控制手段。應(yīng)用SPC對生產(chǎn)過程進行控制最有效的一種形式就是通過繪制控制圖來進行監(jiān)測。常見的一元質(zhì)量控制圖有休哈特控制圖、Page(1961)[1]提出的累積和(Cumulation Sum，CUSUM)控制圖、Roberts(1959)[2]提出的指數(shù)加權(quán)移動平均(Exponentially Weighted Moving Average，EWMA)控制圖等。上述提到的控制圖都是針對一元的情況，只能針對一種質(zhì)量特性進行監(jiān)控。而隨著社會生活的發(fā)展，在生產(chǎn)行業(yè)中需要監(jiān)控的指標(biāo)或者質(zhì)量特性也越來越多，因此多元控制圖也應(yīng)運而生。相應(yīng)地在一元控制圖的基礎(chǔ)上人們提出了針對多元情況的控制圖。例如：Hotelling(1947)[3]提出了多元休哈特控制圖、Lowry(1992)[4]提出了多元指數(shù)加權(quán)移動平均(Multivariate Exponentially Weighted Moving Average,MEWMA)控制圖、Crosier(1988)[5]提出了多元累積和(Multivariate Cumulation Sum, MCUSUM)控制圖。Shamm等(1992)[6]提出了雙指數(shù)加權(quán)移動平均(Double Exponentially Weighted Moving Average ,DEWMA)控制圖，提高了EWMA控制圖對于數(shù)據(jù)發(fā)生小偏差時的檢測能力。Haq (2017)[7]提出了混合指數(shù)加權(quán)移動平均(Hybrid Exponentially Weighted Moving Average， HEWMA)控制圖，但其本質(zhì)與DEWMA控制圖并無較大差別。Abbass等(2018)[8]提出了一種新型一元記憶型控制圖,稱為均勻加權(quán)移動平均(Homogeneously Weighted Moving Average ，HWMA)控制圖,這種控制圖與之前的EWMA控制圖的不同點是采用確定當(dāng)前時刻對應(yīng)數(shù)值的權(quán)重，將剩余權(quán)重平均分配給之前所有時刻對應(yīng)的數(shù)值的方法。實驗結(jié)果表明，HWMA控制圖相比傳統(tǒng)的一元記憶型控制圖對于過程均值的變化更加敏感。Abid等(2020)[9]在Abbas提出的HWMA記憶型控制圖的基礎(chǔ)上提出了雙均勻加權(quán)移動平均(Double Homogeneously Weighted Moving Average, DHWMA)記憶型控制圖，但是其主要結(jié)構(gòu)與之前的HWMA記憶型控制圖并無本質(zhì)變化，只是平滑系數(shù)由λ變成了λ2。Adeoti(2020)[10]提出了混合均勻加權(quán)移動平均(Hybrid Homogeneously Weighted Moving Average ，HHWMA)控制圖，但是在Vasileios等(2021)[11]提出的一種拓展的雙均勻加權(quán)移動平均(Double Homogeneously Weighted Moving Average, DHWMA)記憶型控制圖的文章中指出HHWMA控制圖統(tǒng)計量的方差是不正確的。而Vasileios等提出的DHWMA記憶型控制圖的主要結(jié)構(gòu)是通過模仿Shamm等(1992)[6]提出DEWMA控制圖的構(gòu)造過程而得到的，對于控制過程中小幅度的數(shù)據(jù)偏差的檢測效果比之前提出的HWMA控制圖、DEWMA控制圖以及DHWMA控制圖有很大提高。而在多元控制圖中，HWMA控制圖的多元形式已被提出，即多元HWMA控制圖，其性能較之前已有的控制圖有了很大提高。而DHWMA控制圖的多元形式還沒有被提出。

因此本文旨在提高多元控制圖對于過程均值變化的檢測能力，在Vasileios提出的DHWMA基礎(chǔ)上，參照Adegoke等(2019)12]開發(fā)多元HWMA控制圖和Alkahtani等(2012)[13]開發(fā)雙多元指數(shù)加權(quán)移動平均(Double Multivariate Exponentially Weighted Moving Average，DMEWMA)控制圖的思想，將其拓展成多元的形式，稱為雙多元均勻加權(quán)移動平均(Double Multivariate Homogeneously Weighted Moving Average ，DMHWMA)控制圖。對于過程中均值變化的監(jiān)測效果，DMHWMA控制圖相比之前存在的多元EWMA控制圖、多元CUSUM控制圖、多元HWMA控制圖有很大提高。

1 DMHWMA控制圖

假設(shè)有m個p維隨機變量X1,X2,…,Xm且服從均值為μ0，協(xié)方差為∑0的p維正態(tài)分布。本文監(jiān)測變量過程均值的變化情況。

1.1 MHWMA控制圖的主要表達(dá)式

MHWMA控制圖的主要結(jié)構(gòu)：

(1)

本文假定平滑系數(shù)矩陣對角線上的元素滿足ω1=ω2=…=ωp=ω，則表達(dá)式(1)可寫成如下形式：

1.2 DMHWMA控制圖的主要表達(dá)式

1.2.1 主要結(jié)構(gòu)

在MHWMA控制圖的基礎(chǔ)上，本文提出了DMHWMA記憶型控制圖(樣本容量n=1)，其主要結(jié)構(gòu)為：

(2)

本文假定平滑系數(shù)矩陣對角線上的元素滿足ω1=ω2=…=ωp=ω，則表達(dá)式(2)可寫成如下形式：

(3)

1.2.2 表達(dá)式推導(dǎo)證明過程

DHi表達(dá)式與其協(xié)方差的表達(dá)式推導(dǎo)過程如下：

(1)i=1時，

E(DH1)=E(ω2X1+(1-ω2)μ0)=ω2E(X1)+(1-ω2)μ0=μ0

∑DH1=Var(DH1)=Var(ω2X1+(1-ω2)μ0)=ω4∑0

(2)i=2時，

E(DH2)=ω2E(X2)+2ω(1-ω)E(X1)+(1-ω)2μ0=μ0

∑DH2=Var(DH2)=Var(ω2X2+2ω(1-ω)X1+(1-ω)2μ0) =ω2(ω2+4(1-ω)2)∑0

(3)i>2時，

同理可驗證

E(DHi)=μ0

因此統(tǒng)計量DHi的表達(dá)式如下:

對于i時刻的統(tǒng)計量DHi的協(xié)方差矩陣表達(dá)式如下：

1.2.3 方向不變性

DMHWMA控制圖具有方向不變性，DMHWMA控制圖的平均運行長度特性只與偏移系數(shù)δ有關(guān)[3]-[4]，其中，其主要證明過程如下：

假設(shè)M是一個p×p的滿秩矩陣，且有DH*=MDH。

(1)i=1時，

(2)i=2時同理可得。

(3)i>2時：

1.3 幾種特殊情況

1.3.1 若ω=1

此時，統(tǒng)計量DHi=Xi，統(tǒng)計量∑DHi=∑0，DMHWMA記憶型控制圖就變成了之前的記憶型χ2控制圖，因此在ω=1時，采用DMHWMA控制圖和采用記憶型MHWMA控制圖對生產(chǎn)過程的監(jiān)控效果一致。

1.3.2 若p=1

DHi的表達(dá)式：

1.3.3 若n>1

統(tǒng)計量DHi的表達(dá)式中Xi需要用i時刻得到的一組內(nèi)n個樣本觀察值的平均值代替，并且∑DHi的表達(dá)式更改為：

2 模擬對比分析

衡量一個控制圖監(jiān)控性能的好壞有許多種方法。其中最常用的就是用平均運行長度(ARL)這一特性來進行衡量。ARL指的是控制圖首次發(fā)出失控信號而必須采集的樣本數(shù)量集，一般地，稱過程處于穩(wěn)定狀態(tài)時的ARL為ARL0，過程處于失控狀態(tài)時的ARL為ARL1。在控制圖檢測過程中，我們希望過程處于穩(wěn)定狀態(tài)時，ARL0越大越好，過程失控時，ARL1越小越好。

本文采用R軟件運用蒙特卡羅模擬方法對滿足多元正態(tài)分布的數(shù)據(jù)進行抽樣，隨機模擬10000次，在控制ARL0為200的前提下計算本文提出的DMHWMA控制圖與現(xiàn)有的多元控制圖的ARL1，模擬結(jié)果如下：

表1 已知μ0和∑0,ARL0為200時 DMHWMA控制圖的ARL

表2 μ0和∑0,ARL0為200時MHWMA控制圖的ARL

表3 已知μ0和∑0，ARL0為200時MEWMA控制圖的ARL

表4 已知μ0和∑0，ARL0為200時MCUSUM控制圖的ARL

將p=2和p=5以上表格中各個控制圖在δ取不同值時最小的ARL(即表1至表4中加粗的數(shù)字)取對數(shù)繪制曲線如圖1、圖2所示。

由表1至表4及圖1、圖2可知，

(1)固定ω值，δ越大，各個控制圖對應(yīng)的ARL1越小。

(2)固定某一δ。若δ值相對較小，則ω越小，控制圖的監(jiān)測敏感度越強。若δ值相對較大，則ω越大，控制圖的監(jiān)測敏感度越強。

(3)通過圖1、圖2以及對比上述表格中各個控制圖對于不同程度的偏移的平均運行長度數(shù)值，可知不論是二維變量還是五維變量下過程均值發(fā)生哪種程度的偏移，DMHWMA控制圖ARL的數(shù)值都是最小的。

圖1 p=2時DMHWMA、MHWMA、MEWMA、MCUSUM控制圖在不同程度偏移下最優(yōu)ARL對比

圖2 p=5時DMHWMA、MHWMA、MEWMA、MCUSUM 控制圖在不同程度偏移下最優(yōu)ARL對比

3 實證分析

本文使用文獻(xiàn)[14]的雙金屬恒溫數(shù)據(jù)集，此數(shù)據(jù)集包含每個雙金屬恒溫(黃銅和鋼)的偏轉(zhuǎn)、曲率、電阻率和硬度、低膨脹面和高膨脹面共5個屬性的數(shù)據(jù)。第一階段的過程數(shù)據(jù)樣本量為m=28，且p=5。通過參考第一階段過程的歷史樣本，運用傳統(tǒng)無偏估計方法估計出了過程參數(shù)μ0和∑0。

DMHWMA(ω=0.2，h=10.74)

MHWMA(ω=0.2，h=17.05)

MEWMA(ω=0.2,h=16.30)

MCUSUM(k=0.25，h=15.25)

上述參數(shù)來源于表1至表4，以控制本例一期數(shù)據(jù)集的ARL0為200。二期數(shù)據(jù)各個控制圖監(jiān)控情況如圖3至圖6所示：

從圖3到圖6，對于二期數(shù)據(jù)的20個失控樣本，其中DMHWMA控制圖在第3個樣本之后開始發(fā)出警報，MHWMA控制圖在第6個樣本之后開始發(fā)出警報，MEWMA控制圖在第11個樣本之后開始發(fā)出警報,而MCUSUM控制圖在第18個樣本后才發(fā)出警報。因此，從實例可以看出對于小偏差的失控數(shù)據(jù)DMHWMA控制圖的檢測效果要優(yōu)于現(xiàn)有的MEWMA控制圖、MHWMA控制圖與MCUSUM控制圖。

圖3 DMHWMA控制圖

圖4 MHWMA控制圖

圖5 MEWMA控制圖

圖6 MCUSUM控制圖

4 結(jié) 論

提出了一個用于監(jiān)測過程均值變化的雙多元均勻加權(quán)移動平均控制圖。運用蒙特卡羅模擬實驗與MEWMA控制圖、MHWMA控制圖、MCUSUM控制圖比較監(jiān)測性能，實驗結(jié)果表明，對于過程均值不同幅度的變化，DMHWMA控制圖的檢測效果都要優(yōu)于其他控制圖，特別是對于小幅度的偏移，DMHWMA控制圖的監(jiān)測效果優(yōu)越性更加明顯。并且使用一個實例數(shù)據(jù)驗證了上述結(jié)論的正確性。因此，在監(jiān)測多變量均值變化時，建議使用DMHWMA控制圖進行監(jiān)控。