基于BOPPPS模型培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的高等數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“定積分的概念”為例

宋彩虹

南京城市職業(yè)學(xué)院 江蘇南京 211200

高等數(shù)學(xué)作為高等職業(yè)院校理工科專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，是面向大學(xué)一年級(jí)學(xué)生開設(shè)的必修課。根據(jù)高等職業(yè)教育人才培養(yǎng)目標(biāo)，高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)需遵循“適度、夠用”的原則[1]，即培養(yǎng)適度的邏輯思維、夠用的計(jì)算能力。通過學(xué)習(xí)本課程，既能掌握足夠的數(shù)學(xué)知識(shí)，又能提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)和職業(yè)發(fā)展、終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，最終達(dá)到高等職業(yè)教育的人才培養(yǎng)目標(biāo)。

數(shù)學(xué)思維是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，有條理地進(jìn)行理性思維、邏輯推理等的一系列思維活動(dòng)。比如轉(zhuǎn)化與化歸、類比、從一般到特殊、從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、積微成著等思想。數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)是數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理，所以，也決定了高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有一定的難度。而由于高職院校招生來源的多樣性，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，大部分學(xué)生對高等數(shù)學(xué)課程有畏難情緒，同時(shí)，傳統(tǒng)的教學(xué)模式效果不盡如人意。因此，高職院校的高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革迫在眉睫。

在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，如何設(shè)計(jì)有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)方案，是任課教師需要思考和研究的。文章將BOPPPS模型引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，并以定積分的概念為例，展示了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的策略和做法。

一、BOPPPS模型

BOPPPS模型[2]是加拿大廣泛推行的教師技能培訓(xùn)體系ISW的理論基礎(chǔ)[3]，是一個(gè)指導(dǎo)教師拆分并探究教學(xué)過程、發(fā)現(xiàn)教學(xué)盲點(diǎn)、達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的有效工具。根據(jù)學(xué)生專注力持續(xù)時(shí)間(大約15分鐘)的規(guī)律[4]，把課堂教學(xué)過程分為六個(gè)模塊(也稱為六要素)：導(dǎo)入(Bridge-in)、學(xué)習(xí)目標(biāo)(Objective)、前測(Pre-assessment)、參與式互動(dòng)學(xué)習(xí)(Participatory Learning)、后測(Post-assessment)和總結(jié)(Summary)[5-6]。根據(jù)BOPPPS模型，課堂教學(xué)被分成若干個(gè)教學(xué)小單元，每個(gè)教學(xué)小單元(約15分鐘)內(nèi)具有“起承轉(zhuǎn)合”的功能，且每個(gè)教學(xué)小單元組合而成的課堂也要遵循“起承轉(zhuǎn)合”的脈絡(luò)[4]。

BOPPPS模型從教學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)上給出了遵循“教學(xué)目標(biāo)—教學(xué)行為—學(xué)習(xí)活動(dòng)—教學(xué)評(píng)估—教學(xué)目標(biāo)”的教學(xué)循環(huán)過程，使得教師能夠有效地組織課程教學(xué)，獲得反饋信息[7]；該模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心的教學(xué)理念，在全面了解學(xué)情的基礎(chǔ)上，從學(xué)生的興趣點(diǎn)和學(xué)生能夠接受的知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，明確教學(xué)目標(biāo)，以參與式互動(dòng)學(xué)習(xí)為核心，通過后測環(huán)節(jié)發(fā)現(xiàn)教學(xué)盲點(diǎn)，反饋教學(xué)目標(biāo)達(dá)成情況，最后進(jìn)行總結(jié)，整合學(xué)習(xí)要點(diǎn)，布置課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)目標(biāo)。該教學(xué)模型有明確的操作步驟，具有非常強(qiáng)的可實(shí)施性，它可以使課堂教學(xué)設(shè)計(jì)更加條理化、合理化。

二、BOPPPS模型在“定積分的概念”教學(xué)中的應(yīng)用

定積分的概念是學(xué)習(xí)定積分的基礎(chǔ)，在高等數(shù)學(xué)中占有重要地位，上承導(dǎo)數(shù)和不定積分，下啟定積分的計(jì)算與應(yīng)用。BOPPPS模型將本次課堂教學(xué)過程拆分為六個(gè)模塊，具體設(shè)計(jì)框架見下表：

BOPPPS模型的六個(gè)教學(xué)模塊表

(一)導(dǎo)入(Bridge-in)

本次課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)采用問題形式，教師給出實(shí)際問題：“某城市綠化園劃撥了一塊形狀不規(guī)則的土地，用于綠化，已知每平方米的綠化費(fèi)用，請你預(yù)算一下綠化的總費(fèi)用?”這個(gè)問題從生活中的實(shí)際案例出發(fā)，結(jié)合定積分的幾何意義，從學(xué)生已有的知識(shí)過渡到新知識(shí)，激發(fā)學(xué)生探求“定積分的概念”這一核心知識(shí)的興趣，強(qiáng)化數(shù)學(xué)有用的思想。

(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)(Objective)

教師利用多媒體闡明本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，讓學(xué)生有目標(biāo)地參與后續(xù)課堂教學(xué)中，從而提高學(xué)習(xí)效率。本節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo)：

知識(shí)目標(biāo)：(1)深刻理解定積分的概念；(2)了解定積分概念的發(fā)現(xiàn)過程；(3)理解定積分的幾何意義和物理意義。

技能目標(biāo)：(1)掌握求解實(shí)際問題的“分、勻、和、精”的數(shù)學(xué)思想；(2)能利用定積分的幾何意義求簡單平面圖形的面積；(3)能用積分的思想進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題。

素養(yǎng)目標(biāo)：(1)通過兩個(gè)引例的求解讓學(xué)生感受“化整為零、以直代曲、積微成著”的數(shù)學(xué)思想；(2)培養(yǎng)學(xué)生類比、抽象、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思維的能力；(3)結(jié)合中華傳統(tǒng)文化，提升學(xué)生數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

(三)前測(Pre-assessment)

教師通過學(xué)習(xí)通平臺(tái)布置課前學(xué)習(xí)任務(wù)，發(fā)布微積分發(fā)展史及劉徽的割圓術(shù)的相關(guān)微課視頻，并提出三個(gè)問題：(1)矩形的面積公式？(2)劉徽的割圓術(shù)運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)思想？(3)如何描述極限的定義？

學(xué)生觀看微課并回答問題，通過前測環(huán)節(jié)，教師可以了解學(xué)生對預(yù)備知識(shí)的掌握情況、興趣點(diǎn)和參與度，更好地掌握學(xué)生的學(xué)情，為參與式互動(dòng)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)做好準(zhǔn)備。

(四)參與式互動(dòng)學(xué)習(xí)(Participatory Learning)

為解決導(dǎo)入環(huán)節(jié)的綠化建設(shè)預(yù)算費(fèi)用問題，教師引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過分析，將問題轉(zhuǎn)化為求封閉曲線所圍成的平面圖形的面積。利用PPT演示動(dòng)畫：一條不規(guī)則的封閉曲線，用兩組互相垂直的平行線對其進(jìn)行分割，如圖1所示，所得的圖形為曲邊梯形和曲邊三角形，而曲邊三角形可以看作是曲邊梯形的特殊情況，最終，把問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積。由此給出第一個(gè)引例：

圖1

引例1 求曲邊梯形的面積？

首先，讓學(xué)生思考如何利用化歸的數(shù)學(xué)思想，將難的問題轉(zhuǎn)化為易于解決的問題，啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)如何化整為零、以直代曲；接著，教師演示動(dòng)畫，讓學(xué)生直觀地看出:隨著區(qū)間分割越來越細(xì)，分割的小矩形越來越多，每個(gè)小矩形的面積就越接近于所在的小曲邊梯形的面積，所有小矩形的面積之和就越接近所求曲邊梯形的面積；此時(shí)，教師向?qū)W生提問：結(jié)合所學(xué)知識(shí)，用什么樣的數(shù)學(xué)工具來刻畫這一動(dòng)態(tài)過程？最后，教師根據(jù)學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出借助極限求解曲邊梯形面積的表達(dá)式。然后，教師給出第二個(gè)引例：

引例2 求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程？

利用已知求未知的數(shù)學(xué)思想，從勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程入手，引導(dǎo)學(xué)生回憶平均速度和瞬時(shí)速度之間的關(guān)系，進(jìn)而用“分、勻、和、精”的數(shù)學(xué)思想，推導(dǎo)出變速直線運(yùn)動(dòng)的路程表達(dá)式。

最后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比，歸納總結(jié)出上述兩個(gè)引例的共性：一是求解的量具有相同特征；二是解決問題的思想方法和步驟相同；三是都?xì)w結(jié)為具有同樣數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的和式極限的計(jì)算。進(jìn)而抽象出一般函數(shù)在區(qū)間上定積分的定義。然后，教師完整講解定積分的定義，并引導(dǎo)學(xué)生找出定積分與不定積分的區(qū)別與聯(lián)系，為定積分的計(jì)算做好鋪墊。

教師在圍繞教學(xué)主線(見圖2)實(shí)施教學(xué)的過程中，需引導(dǎo)學(xué)生積極參與、思考和歸納。通過兩個(gè)引例，使學(xué)生了解定積分這一抽象概念的發(fā)現(xiàn)過程以及解決類似問題所用到的“分、勻、和、精”的數(shù)學(xué)思想，理解定積分的幾何意義和物理意義，突破教學(xué)的重難點(diǎn)。

圖2 教學(xué)主線

(五)后測(Post-assessment)

圍繞定積分的概念這一重點(diǎn)，在學(xué)習(xí)通平臺(tái)設(shè)置后測問題，請學(xué)生思考并動(dòng)手做一做：

(1)用定積分表示出y=x2與x=1、x軸圍成的平面圖形的面積？

設(shè)計(jì)意圖：本題需要學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方法，用定積分正確表示出所求平面圖形的面積。注意定積分的兩要素—被積函數(shù)和積分上下限的確立方法。

設(shè)計(jì)意圖：本題主要考查學(xué)生如何將定積分轉(zhuǎn)化為對應(yīng)平面圖形的面積的能力。

(六)總結(jié)(summary)

本次課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容為定積分的概念，從貼近生活的案例出發(fā)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，從而避免課程枯燥。根據(jù)定積分的幾何意義，可以通過求對應(yīng)平面圖形的面積來計(jì)算出定積分，為下一次課的教學(xué)內(nèi)容——牛頓-萊布尼茲公式的引入埋下伏筆。教師通過布置課后作業(yè)，鞏固數(shù)形結(jié)合思想，加深對定積分概念的理解。

三、結(jié)論

教師在進(jìn)行高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，需遵循“必需、夠用”為度，“實(shí)用、會(huì)用”為主的原則，即以理論夠用，技能運(yùn)用為主的原則，教學(xué)內(nèi)容上要弱化嚴(yán)格的論證、繁瑣的推導(dǎo)和復(fù)雜的運(yùn)算，強(qiáng)化高等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和技能有用的意識(shí)并學(xué)會(huì)如何應(yīng)用。具體到應(yīng)用BOPPPS模型進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要注意：

(1)要以前測環(huán)節(jié)為前提，全面了解學(xué)生學(xué)情。可通過問卷、考試、作業(yè)、提問或討論等形式全面了解學(xué)情，對不同學(xué)情的學(xué)生進(jìn)行針對性的教學(xué)設(shè)計(jì)。從學(xué)生的興趣及能夠接受的知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，采用多樣化的教學(xué)手段，制定一套以學(xué)生發(fā)展為中心的教學(xué)體系。

(2)要確立學(xué)生作為參與式互動(dòng)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的主體地位。教師在設(shè)計(jì)整個(gè)教學(xué)過程時(shí)，要堅(jiān)持“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念，須從傳統(tǒng)教學(xué)的講授者轉(zhuǎn)變?yōu)橐I(lǐng)學(xué)生全方位參與探究式學(xué)習(xí)的領(lǐng)航者，以培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)和創(chuàng)新意識(shí)。

(3)要以學(xué)習(xí)目標(biāo)為核心。導(dǎo)入、學(xué)習(xí)目標(biāo)、前測、參與式互動(dòng)學(xué)習(xí)、后測和總結(jié)，這六個(gè)環(huán)節(jié)都是為有效達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)而開展的教學(xué)過程。因此，教師要按照人才培養(yǎng)方案，制定好課程標(biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確把握課程學(xué)習(xí)目標(biāo)，開展有針對性的教學(xué)設(shè)計(jì)。而數(shù)學(xué)思維最終是要運(yùn)用到不同學(xué)科中解決實(shí)際問題，因此，教師在進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以根據(jù)需要，設(shè)計(jì)與其他學(xué)科相關(guān)的應(yīng)用案例，以培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)思維運(yùn)用到其他學(xué)科專業(yè)的能力。這種教學(xué)理念可鼓勵(lì)教師跨越本學(xué)科與其他學(xué)科之間的界限，更加主動(dòng)地學(xué)習(xí)新知識(shí)、新理念和新技能，從而有效地提高教師的教學(xué)能力和綜合素質(zhì)，進(jìn)而提升高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量。