一種改進的非線性接觸齒廓修形直齒輪嚙合剛度分析方法*

王顯彬,孫 陽,王軍龍

(1.福建船政交通職業學院 通用航空產業學院,福建 福州 350007;2.浙江工業大學 機械工程學院,浙江 杭州 310023;3.博世電動工具(中國)有限公司,浙江 杭州 310000)

0 引 言

在已發表的文獻中,有關于齒輪嚙合剛度的計算方法可分為四大類:解析法、有限元法(FEM)、解析-FEM以及實驗法[1-3]。其中,FEM可以很容易地考慮到齒形誤差和齒輪柔度的影響,因此,FEM被普遍認為是時變嚙合剛度計算精度最高的方法[4]。

WANG J等人[5]用FEM計算了漸開線直齒圓柱齒輪副的扭轉剛度。唐進元等人[6,7]利用FEM對修形和裂紋直齒輪副嚙合剛度計算進行了研究。WANG J D和LI Shu-ting等人[8,9]運用FEM對直齒輪副進行了加載接觸分析,并計算了齒間載荷分配與傳動誤差。WU Yong-jun和LI Run-fang等人[10,11]運用FEM分析了直齒輪副的動態嚙合特性。

雖然FEM計算精度高,但需要對不同的齒輪參數進行重復建模,網格細化,并占用大量的計算資源。而解析法則由于求解效率高,被廣泛應用于時齒輪變嚙合剛度的快速計算中。

WU Si-yan和TIAN X H等人[12,13]基于能量等效原理,在YANG D C H[14]研究成果的基礎上,提出了一種包含剪切變形的嚙合剛度改進模型。陳再剛等人[15,16]基于能量等效思想,提出了一種內嚙合與外嚙合直齒輪副時變剛度模型。馬輝[17]863-884與萬志國等人[18]運用能量法,提出了一種將輪齒等效為齒根圓上的懸臂梁,替換原有基圓上懸臂梁的剛度解析模型。MA Hui等人[19,20]在考慮根圓角、尖端圓角的基礎上,提出了一種直齒圓柱齒輪時變嚙合剛度改進解析計算方法。

然而以上研究對于齒對間的赫茲接觸均基于赫茲假設進行計算,并未考慮齒對間的非線性接觸;并且受輪齒柔度的影響,在受載發生變形的情況下,會導致接觸齒在理論接觸開始前接觸,在理論接觸結束后脫離接觸的現象。若對直齒輪副實際動態特性進行預測,則必須考慮該因素。

筆者從能量等效思想出發,結合懸臂梁模型,考慮接觸對間的非線性接觸,提出一種適用于不同載荷下的直齒輪副單齒嚙合剛度解析模型;通過補充變形協調與力平衡方程,導出齒廓修形直齒輪副綜合嚙合剛度解析模型,對比解析方法與FEM的結果,并分析載荷、摩擦系數與不同齒輪參數對齒輪副嚙合剛度的影響。

1 基于能量法的單齒嚙合剛度模型

1.1 齒廓修形直齒輪數學模型

筆者構建齒面及齒根過渡曲面方程[17]864,以二元二次多項式定義齒廓修形量[21];利用B樣條曲面,將修形后的齒面數據擬合成新的齒面方程R(u,v)[22]。

重構的齒面如圖1所示。

圖1 B-spline曲面擬合u—向—齒長方向;v—向—齒廓方向;u,v的范圍均為[0,1]

法向矢量n即可表示為:

n(u,v)=Ru×Rv

(1)

式中:Ru—u的一階偏導;Rv—v的一階偏導。

1.2 接觸分析

齒廓修形直齒輪的接觸示意圖,如圖2所示。

圖2 接觸示意圖

由圖2可知:齒廓修形直齒輪副為線接觸,受載下的接觸區域呈帶狀分布;兩端齒廓端點在齒寬方向上一一對應,求得齒寬方向任意截面齒廓上點的參數u,v,即可得到該點對應的瞬時接觸跡線參數為u[0,1],v。

因此,筆者將齒輪副三維空間中的接觸問題等效到二維平面中,然后進行求解。

嚙合分析示意圖,如圖3所示。

圖3 嚙合分析示意圖

由圖3可知:假設小輪繞向量n旋轉up角度,大輪繞zg軸旋轉ug角度后,兩輪截面齒廓于p點接觸。由齒輪嚙合理論可知:齒面瞬時接觸點的求解就是計算兩曲面(這里是齒面)的瞬時相切點。

(2)

式中:Cd—中心距。

結合式(2),接觸點的參數vg、vp,以及旋轉角度μg、μp(此處ug、up根據截面齒廓位于齒寬方向上的位置給定)可由下式得到:

(3)

1.3 基于勢能法的齒輪嚙合剛度求解原理

齒輪副受載產生變形,其存儲的應變能包括赫茲接觸應變能Uh、彎曲應變能Ub、剪切應變能Us、軸向壓縮應變能Ua以及齒基變形應變能Uf。

各應變能可表示為:

(4)

式中:F—法向接觸力;Kb—彎曲等效剛度;Ks—剪切等效剛度;Ka—軸向壓縮等效剛度;Kh—赫茲等效剛度;Kf—齒輪基體等效剛度。

串聯剛度模型如圖4所示。

圖4 串聯彈簧示意圖

根據圖4,單齒嚙合剛度K可表示為:

(5)

式中:腳標1—主動輪;腳標2—從動輪。

1.4 各等效剛度的求解

輪齒等效的懸臂梁模型如圖5所示。

圖5 受力示意圖

由圖5可知:直齒輪的齒廓曲線可分為齒根曲線DE、過渡曲線CD、齒廓曲線BC和齒頂曲線AB。

結合梁變形理論,輪齒應變能可表示為:

式中:Mt1—過渡曲線上的力矩;Mt2—齒廓曲線上的力矩;Ix—橫截面的慣性矩;Ax—橫截面的面積;E—彈性模量;G—剪切模量。

這些參數可分別表示為:

(7)

式中:W—齒寬;β—壓力角。

壓力角可由下式求得:

β=arccos(n·PPx/(|n||PPx|))

(8)

將式(7)代入式(6),可得如下表達式:

(9)

齒輪赫茲接觸剛度一般是非線性的,即與非線性接觸力有關。該結果也通過FEM[23]和實驗[24]得到了證實。

由于齒輪體和齒的剛度幾乎與載荷無關,接觸變形必須是非線性的。為了方便地模擬非線性赫茲接觸,筆者采用了一個簡單的近似公式[25]:

Kh=E0.9W0.8F0.1/1.275

(10)

式中:E—彈性模量，E=2E1E2/(E1+E2);E1—小輪的彈性模量;E2—大輪的彈性模量。

齒基剛度Kf可表示為:

(11)

式(11)中,uf、Sf,L*、M*、P*、Q*等參數詳見文獻[26]。

1.5 考慮摩擦的剛度求解

若對直齒輪副的實際動態特性進行預測,則需考慮摩擦力對齒輪副齒輪徑向和切向嚙合力的影響,從而導致輪齒彎曲、剪切、軸向壓縮等變形剛度的變化。

輪齒接觸摩擦力示意圖,如圖6所示。

由圖6可知:節點處無相對滑動速度,摩擦因素μ趨于0即無摩擦力,靠近節點時摩擦力減小,遠離節點時,摩擦力增大;對于主動輪,從齒根嚙合至節點為嚙入階段,從節點嚙合至齒頂為嚙出階段;從動輪則相反。

圖6 摩擦力示意圖

由文獻[27]可知,實測的齒輪副摩擦系數一般在0.02～0.08之間。為簡化計算過程,此處筆者僅采用0～0.1的恒定摩擦系數。

結合式(9),可得摩擦力影響下的輪齒變形等效剛度如下:

(12)

2 時變嚙合剛度計算模型

齒輪副實際重合度與承載有關,若僅運用幾何重合度導出時變嚙合剛度模型[2]100,在不同扭矩的工況下,誤差浮動會比較明顯。

嚙合過程示意圖,如圖7所示。

圖7 嚙合過程示意圖

由圖7(a)可知:假設齒對i無載情況下開始接觸,齒對j在該狀態下存在間隙Eij;由圖7(b)可知,當齒對i在當前接觸位置受力產生變形時,根據變形協調與力平衡條件可得:

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δi=δj+Eij，F=Fi+Fj

(13)

由剛度與變形量間的關系可得:

Fi=Kiδi

(14)

結合式(13)中的第二式可得:

(15)

假設其中第k對齒的變形量最大,則多齒嚙合剛度Ke可表示為:

Ke=F/δk

(16)

法向載荷除以法向變形量即為嚙合剛度,因此,結合式(13～16),經整理可得多齒嚙合區綜合剛度的表達式為:

(17)

3 算例分析

3.1 解析模型的驗證

筆者運用FEM中的穩態計算方法,對該解析模型的有效性進行驗證。其中，用于對比驗證的齒輪副參數如表1所示。

表1 輪齒參數

筆者采用文獻[28]的前后處理方法完成分析與數據的處理。

μ=0,扭矩分別為30 Nm、200 Nm、400 Nm時的齒輪副單齒與綜合嚙合剛度對比圖,如圖8所示。

圖8 不同扭矩下的嚙合剛度對比圖

從圖8中可以看出:解析模型與FEM計算結果吻合良好;從剛度曲線的變化可知,載荷的增大導致嚙合剛度的增大,但無明顯的線性規律。

表2 嚙合剛度計算誤差對比

由表2可知:解析法的計算誤差能夠保證在3%以內;同時計算耗時的對比方面,在保證精度的前提下,筆者所提出的齒廓修形直齒輪時變嚙合剛度計算方法能夠達到快速計算的目的。

3.2 嚙合剛度的影響因素分析

3.2.1 摩擦系數對嚙合剛度的影響

μ=0、0.05和0.1,扭矩為30 Nm的單齒與綜合嚙合剛度示意圖,如圖9所示。

圖9 不同摩擦系數的嚙合剛度

從圖9中可知:摩擦力的作用使單齒剛度在嚙入階段增大,嚙出階段減小;節點處摩擦力的大小不變而方向發生突變,直齒輪副嚙合剛度在節點處發生突變;摩擦因數越大,嚙合剛度變化量越大。

3.2.2 齒數對嚙合剛度的影響

μ=0,扭矩30 Nm,小輪齒數分別為20、25以及30的直齒輪副單齒與綜合嚙合剛度示意圖,如圖10所示。

圖10 不同齒數的嚙合剛度

由圖10可知:隨著小輪齒數的增大,嚙合剛度減小。這是因為當齒數增加時,齒輪的齒厚和齒高參數不變,齒輪的節圓變大,法向力變小;扭矩不變時,齒輪的嚙合線位移減小。在嚙合線位移和法向力的共同作用下,嚙合剛度的變化即如圖10所示,即隨著主動齒輪齒數的增加,嚙合剛度逐漸減小。

3.2.3 壓力角對嚙合剛度的影響

μ=0,扭矩30 Nm,壓力角分別為20°、22.5°以及25°的單齒與綜合嚙合剛度示意圖,如圖11所示。

圖11 不同壓力角的嚙合剛度

從圖11中可知:當壓力角增大時,單齒嚙合剛度增大;但隨著壓力角的增大,接觸比減小,單齒嚙合段相對時間增大,多齒嚙合間反而減小。

3.2.4 齒寬對嚙合剛度的影響

μ=0,扭矩30 Nm,齒寬分別為15 mm、20 mm以及25 mm的單齒與綜合嚙合剛度示意圖,如圖12所示。

圖12 不同齒寬的嚙合剛度

從圖12中可知:增加輪齒寬度實際上增大了有效接觸線長度,隨著齒寬的增大,嚙合剛度增大。

3.2.5 軸孔內徑對嚙合剛度的影響

μ=0,扭矩30 Nm,內孔直徑分別為30 mm、40 mm以及50 mm的單齒與綜合嚙合剛度示意圖,如圖13所示。

圖13 不同內徑的嚙合剛度

從圖13中可知:隨著內孔直徑的增大,嚙合剛度增大。

3.2.6 模數對嚙合剛度的影響

μ=0,扭矩30 Nm,模數分別為2 mm、3 mm以及4 mm的直齒輪副單齒嚙合剛度示意圖,如圖14所示。

圖14 不同模數的單齒嚙合剛度

從圖14中可知:在內孔直徑等參數不變的情況下,增大模數,使得嚙合剛度減小。

4 結束語

筆者運用B樣條曲面重構了齒輪的齒面方程,并結合齒輪的嚙合原理完成了其接觸分析;然后結合能量等效原理以及非線性赫茲接觸模型,構建了齒廓修形直齒輪單齒嚙合剛度模型;最后通過補充變形協調與力平衡方程,提出了一種考慮齒輪副非線性接觸的,齒廓修形直齒輪綜合嚙合剛度模型。

研究結論如下:

(1)基于能量等效原理與赫茲接觸理論,將輪齒等效為齒根圓上的變截面懸臂梁模型,有效構建了適用不同載荷下的非線性接觸齒廓修形直齒圓柱齒輪副單齒嚙合剛度計算模型;

(2)基于變形協調與力平衡原則,提出了齒廓修形直齒輪副綜合嚙合剛度快速解析計算模型,相較于FEM結果,其計算誤差能夠保證在3%以內,而計算速度快了150倍。因此,該嚙合剛度模型能夠在保證計算精度的前提下,達到快速計算的目的;

(3)確定了嚙合剛度與載荷、摩擦、齒數、壓力角、內孔直徑、有效接觸線長度等參數有關。

對于裂紋、磨損等的線接觸齒輪副的計算均可考慮上述計算方法。

在后續的工作中,筆者將進一步結合微元法以及點接觸赫茲修正模型,完成齒向修形、齒廓和齒向雙修形的直齒輪副時變嚙合剛度計算方法的研究。