海上運(yùn)動(dòng)平臺(tái)多站時(shí)差定位算法性能分析

張 亮，姚 力

(中國(guó)船舶集團(tuán)有限公司第八研究院，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

無(wú)源時(shí)差定位技術(shù)(TDOA)是定位站本身不發(fā)射電磁波，通過(guò)處理多個(gè)定位站接收到的目標(biāo)輻射源信號(hào)到達(dá)時(shí)間對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位。對(duì)目標(biāo)的二維定位至少需要2個(gè)時(shí)間差即3個(gè)定位站，同理對(duì)目標(biāo)的三維定位至少需要4個(gè)定位站，目標(biāo)輻射源信號(hào)到達(dá)2個(gè)定位站的時(shí)間差乘以光速即為輻射源到2個(gè)定位站的距離差。在幾何上，由“到兩固定點(diǎn)的距離差等于定長(zhǎng)的點(diǎn)軌跡為雙曲線”的原理可知，目標(biāo)位于以這2個(gè)定位站為焦點(diǎn)的雙曲線其中一支上[1]。在二維平面內(nèi)，3個(gè)定位站形成的2個(gè)單邊雙曲線的交點(diǎn)就是目標(biāo)輻射源的位置；同樣道理，在三維空間中，4個(gè)定位站可形成3對(duì)單邊雙曲面，3對(duì)單邊雙曲面的交點(diǎn)即為目標(biāo)位置。

在獲得TDOA測(cè)量值的基礎(chǔ)上，由多個(gè)TDOA測(cè)量值組成1組雙曲線方程，求解該方程組就可以得到目標(biāo)的位置；但是因?yàn)樵摱ㄎ环匠滩皇蔷€性的，所以求解存在一定難度。很多文獻(xiàn)對(duì)時(shí)差定位算法進(jìn)行了研究，已經(jīng)探究出多種不同的算法，這些算法大多是在目標(biāo)二維定位的基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo)的，可以很容易推廣到目標(biāo)三維定位的情況。本文將在目標(biāo)二維定位情況下對(duì)一些經(jīng)典定位算法逐一進(jìn)行分析。

1 理論分析

三站時(shí)差定位示意圖如圖1所示。

圖1 三站時(shí)差定位示意圖

1.1 時(shí)差定位原理

圖1中，E(x,y)為目標(biāo)輻射源的位置坐標(biāo)，主接收站為O(x0,y0)，輔助觀測(cè)站為A(x1,y1)和B(x2,y2),則定位方程為：

(1)

式中：輻射源與各定位站間的距離用ri表示；電磁波傳播速度用c表示；輻射源信號(hào)到達(dá)主站與各輔站的時(shí)間差為Δt0i；目標(biāo)輻射源到主站與各輔站的距離差用Δri表示。

由式(1)可解得如下方程組：

(2)

利用時(shí)差定位系統(tǒng)測(cè)得輻射源信號(hào)到達(dá)主站和各輔站的時(shí)間差，在定位站坐標(biāo)已知的情況下，2個(gè)方程2個(gè)未知數(shù)，求解該非線性方程組即可得目標(biāo)位置[2]。

1.2 雙曲線直接求解法

雙曲線直接求解法可以用來(lái)對(duì)目標(biāo)直接定位，也可以用作其他迭代算法的初始值，該算法的特點(diǎn)是計(jì)算量小、工程上易實(shí)現(xiàn)[3]。

如圖2所示，設(shè)tO,tA,tB分別為輻射源E(x,y)的同一脈沖前沿到達(dá)站O(x0，y0)、站A(x1,y1)、站B(x2,y2)的時(shí)間，c為電磁波的傳播速度。

圖2 輻射源與各站位置關(guān)系示意圖

令tOA,tOB分別表示同一輻射源脈沖到達(dá)主站與輔站A、B的時(shí)間差，則有：

(3)

由式(2)可得雙曲線方程組：

(4)

將式(4)化成極坐標(biāo)形式，可得到：

(5)

(6)

解出ρ和θ，得到時(shí)差定位解：

(7)

1.3 Chan算法[4]

Chan算法即Chan氏算法，是一種基于TDOA技術(shù)、具有解析表達(dá)式解的定位算法，是求解定位方程組的一種非迭代算法。它具有計(jì)算量小、定位精度高、工程易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。

對(duì)于式(1)所示方程組，整理化簡(jiǎn)可得到：

(x0-xi)x+(y0-yi)y=ki-r0·Δri，i=1,2

(8)

(9)

為了求解式(8)，將r0看作已知量，由此可得矩陣表達(dá)式如下：

AX=F

(10)

對(duì)于二維三站定位系統(tǒng)，只要3個(gè)定位站不在同一直線上，即：

(11)

滿足式(11)時(shí)，可對(duì)式(10)用偽逆法求得X的最小二乘解為：

(12)

定義矩陣B，使得：

(13)

則方程組(8)的解為：

(14)

(15)

(16)

(17)

當(dāng)3個(gè)觀測(cè)站坐標(biāo)滿足條件：

y=ax+b

(18)

即當(dāng)直線布站時(shí)，則式(10)中矩陣A為：

(19)

由式(19)可見(jiàn)，A為奇異矩陣，因此上述方法不適用。此時(shí)式(8)可化為：

2x0i(x+ay)+2r0ir0=r0i2-ki+k0，i=1,2

(20)

(21)

通常將時(shí)差測(cè)量誤差近似為正態(tài)分布的高斯噪聲，則測(cè)量誤差協(xié)方差矩陣可表示為：

(22)

為了解方程組(20)，定義：

(23)

(24)

將式(20)看作是關(guān)于未知數(shù)ω=x+ay和r0的二元一次方程組，解得：

(25)

(26)

由上述推導(dǎo)可知，直線布站時(shí)Chan算法的缺點(diǎn)是以噪聲近似為零均值正態(tài)分布的高斯噪聲為前提。在實(shí)際測(cè)量環(huán)境中，該算法的性能將會(huì)受到噪聲復(fù)雜性的影響。

1.4 最大似然定位算法(AML)

時(shí)差定位方程是非線性的，最大似然法首先將定位方程變?yōu)殛P(guān)于未知數(shù)(x,y)的線性方程，該方程的系數(shù)也依賴于(x,y)值。在獲得定位初始值的基礎(chǔ)上，AML算法解方程獲取新的定位值，更新方程系數(shù)[5]。進(jìn)行多次迭代，利用最大似然法檢驗(yàn)每次獲取(x,y)的代價(jià)函數(shù)，選出代價(jià)函數(shù)最小時(shí)對(duì)應(yīng)的(x,y)作為最終定位值。

1.5 其他定位算法

除了上面推導(dǎo)的3種解法外，時(shí)差定位方程的求解算法還有泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法、搜索法、Fang法等。泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法中，為了提高算法的收斂概率，需要找到一個(gè)與實(shí)際目標(biāo)位置接近的初始估計(jì)位置，然而事實(shí)上精確的初始估計(jì)位置很難得到。此外，該算法還需要利用時(shí)差測(cè)量值誤差的先驗(yàn)信息來(lái)求解加權(quán)矩陣，因此泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法計(jì)算量非常大、解算效率低、不易實(shí)現(xiàn)。搜索算法包括粒子群算法、差分進(jìn)化算法、遺傳算法等，它們的推導(dǎo)簡(jiǎn)單，但是也費(fèi)時(shí)，不適合實(shí)時(shí)定位系統(tǒng)。Fang算法計(jì)算簡(jiǎn)單明了，但是該算法只適用于未知量個(gè)數(shù)(輻射源坐標(biāo))與時(shí)差測(cè)量值相同的情況，當(dāng)有多余的時(shí)差測(cè)量值時(shí)，即存在多個(gè)定位站時(shí)，F(xiàn)ang算法不能利用多余的測(cè)量值來(lái)提高定位精度。

2 算法性能分析

利用均方根定位誤差(RMSE)對(duì)算法性能進(jìn)行評(píng)價(jià)：

(27)

式中：(x,y)表示定位測(cè)量結(jié)果；(xe,ye)表示目標(biāo)真實(shí)位置。

多站時(shí)差定位系統(tǒng)定位誤差主要由系統(tǒng)測(cè)量脈沖信號(hào)到達(dá)時(shí)間誤差、站址誤差以及目標(biāo)所處區(qū)域決定，在目標(biāo)相對(duì)各站位置變化的條件下，定位誤差主要取決于系統(tǒng)測(cè)時(shí)差誤差以及系統(tǒng)測(cè)站址誤差，因此接下來(lái)對(duì)于3種定位算法在系統(tǒng)授時(shí)誤差和測(cè)站址誤差影響下的定位性能進(jìn)行仿真分析。

(1) 三角布站

圖3 定位誤差隨站址誤差變化圖

從圖3中可以看出：站址誤差在100 m以內(nèi)時(shí)，Chan算法和AML算法的均方根定位誤差都比較小，算法性能較好，而雙曲線直接求解法誤差大，算法性能較差。

在本文所研究的定位系統(tǒng)中，軍用北斗定位精度約2～3 m，考慮艦船縱橫搖擺等因素，取站址誤差典型值10 m。圖4為站址誤差為10 m時(shí)，3種算法對(duì)應(yīng)的均方根定位誤差隨時(shí)差誤差的變化曲線。

圖4 定位誤差隨時(shí)差誤差變化圖

從圖4可以看出，隨著時(shí)差誤差的增大，AML定位性能的優(yōu)勢(shì)十分明顯。然而AML算法是迭代算法，運(yùn)算量極其大，計(jì)算速度慢、效率低，而無(wú)源定位必須在有限時(shí)間內(nèi)對(duì)來(lái)自不同平臺(tái)的輻射源進(jìn)行快速精確測(cè)量、定位，因而AML算法不適合本文所研究系統(tǒng)。同樣道理，其他的迭代算法，如最小二乘法等均不能滿足要求。另外，隨著時(shí)間同步技術(shù)以及脈沖配對(duì)、時(shí)差分選技術(shù)的發(fā)展，時(shí)間測(cè)量誤差可以達(dá)到幾ns，可以通過(guò)仿真觀察時(shí)差誤差在100 ns以內(nèi)時(shí)3種算法的定位性能，如圖5所示。

圖5 定位誤差隨時(shí)差誤差變化曲線

由圖5可見(jiàn)，100 ns以內(nèi)時(shí)，Chan算法具有與AML算法相當(dāng)?shù)亩ㄎ恍阅堋Ａ硗猓S著時(shí)間同步技術(shù)以及脈沖配對(duì)、時(shí)差分選技術(shù)的發(fā)展，時(shí)間測(cè)量誤差可以達(dá)到幾ns，具備AML算法的優(yōu)勢(shì)。更重要的是Chan算法不具有迭代運(yùn)算，幾乎不需要存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，定位解算速度快、效率高，因此可以滿足無(wú)源時(shí)差定位系統(tǒng)實(shí)時(shí)性定位的需求。

(2) 直線布站

設(shè)主站坐標(biāo)(0,0)，輔站1坐標(biāo)(-10e3,0)，輔站2坐標(biāo)(10e3,0)。目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡為xe=-20e3∶5 000∶20e3，ye=xe+40e3。

對(duì)直線布站時(shí)的Chan算法和雙曲線直接求解法進(jìn)行仿真分析，圖6為時(shí)差測(cè)量誤差為20 ns、站址誤差為0 m∶10 m∶100 m變化時(shí)2種算法對(duì)應(yīng)的均方根定位誤差的變化。圖7為站址誤差為10 m時(shí)，2種算法對(duì)應(yīng)的均方根定位誤差隨時(shí)差誤差的變化曲線。

圖7 定位誤差隨時(shí)差誤差變化曲線

由圖6和7可以看出，直線布站時(shí)Chan算法同樣滿足定位精度要求。

圖6 定位誤差隨站址誤差變化曲線

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，最大似然法(AML算法)等一系列迭代算法運(yùn)算量大，耗時(shí)較長(zhǎng)，效率低，不能滿足無(wú)源定位在有限時(shí)間內(nèi)對(duì)來(lái)自不同平臺(tái)的輻射源進(jìn)行快速精確測(cè)量、定位的要求。在海面上，當(dāng)海浪很大時(shí)，船身擺動(dòng)幅度較大，存在較大的站址誤差，也要考慮不可避免的時(shí)差測(cè)量誤差，在這樣的情況下，雙曲線直接求解法定位誤差大，無(wú)法滿足高精度的需求，而Chan算法定位精度可以滿足需求。另外當(dāng)存在多余定位站、有多余的TDOA測(cè)量值時(shí)，Chan算法具有相應(yīng)的利用這些多余測(cè)量值來(lái)改善定位精度的解算方法。綜合考慮這些因素，海上運(yùn)動(dòng)平臺(tái)多站時(shí)差定位系統(tǒng)中選擇Chan算法進(jìn)行定位解算。