大跨度無支撐甲板拓撲-尺寸-材料聯合優化設計

崔宇朋 余 楊 余建星 李振眠

1.天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津，300072

2.天津大學天津市港口與海洋工程重點實驗室，天津，300072

0 引言

作為船體主要承重構件，大跨度甲板常被應用于油船、滾裝船、艦船等，具有跨度大、無支撐等特性，其剛度、變形及動態振動性能值得關注[1]。目前，加筋板結構前期設計(概念設計)存在依賴工程經驗、設計周期長及性能非最優等問題。近年來，拓撲優化(topology optimization，TO)技術飛速發展，它可在滿足結構目標函數及約束條件下實現設計域中材料的最優分布以最優化結構性能，具有低成本、高收益、快速性等優點[2]，是結構概念設計最有效的手段。

發展至今，拓撲優化理論已較為成熟[3-6]，被廣泛應用于船舶結構的拓撲優化設計。高上地等[7]結合形狀優化和拓撲優化方法解決了角隅結構的應力集中問題，并尋優得到新型肘板結構。張聰等[8]基于變密度法實現了強度性能要求下的三體船艙壁輕量化設計。針對常規加筋板結構，國內外學者進行了拓撲優化研究。馬強[9]開發了一種變密度法程序以優化板/殼結構的加強筋布局。崔榮華[2]應用水平集方法和可移動變形組件法優化了加強筋布局。季金[10]利用改進的自適應成長技術進行了結構柔度和自振頻率目標下的加強筋分布優化設計。CHENG等[11]應用漸進均勻化方法和梯度搜索算法研究了受面外屈曲約束的加筋板雙尺度概念設計問題。TOWNSEND等[12]開發了一種水平集方法，在考慮線性屈曲的影響下對加筋板進行拓撲優化設計。因高效、實用性強、收斂性好等特點，固體各向同性材料懲罰(solid isotropic material with penalization，SIMP)法已成為工業界和學術界中應用最廣泛且最成功的的拓撲優化技術[13]。WARWICK等[14]、ZHAO等[15]應用SIMP內核下的商業優化軟件對三維實體單元加筋板結構進行拓撲優化設計，充分驗證了SIMP技術應用于加筋板概念設計的可行性。但采用三維實體單元進行加筋板設計存在加強筋-面板斷連及計算效率低的劣勢[16-19]。此外，在傳統SIMP法(conventional SIMP，C-SIMP)中，懲罰因子在拓撲優化迭代過程中為固定值，材料單元密度被過度懲罰，將凸優化問題轉換為非凸優化問題，從而迭代收斂至結構局部最優解。另外，鮮有學者對大跨度無支撐甲板進行工程性能拓撲優化研究和進一步的詳細設計。

本文基于密度約束準則并應用域偏置手段，實現大跨度無支撐甲板設計域的降維處理。首次將延拓技術引入加筋板概念設計階段，提出兼顧迭代效率和逼近全局最優解的三段式延拓(three-stage continuation，TSC)法，以處理大跨度甲板剛度、變形及動態振動性能拓撲優化問題。尺寸/材料一體化優化方法聯合自動化技術則被應用于大跨度甲板拓撲結構的詳細設計。

1 三段式延拓法

本文以SIMP插值技術為理論支撐，其函數為

(1)

式中，xe為單元密度；p為材料懲罰因子；ke為單元剛度矩陣；K(x)為懲罰后的結構整體剛度矩陣。

為緩解懲罰因子過度應用引起的局部最優解問題，延拓法應運而生[20]，并被建議為結構拓撲優化的標準程序[21]。為兼顧迭代效率與全局最優解，本文提出一種TSC法。

階段一：初始化懲罰因子p1=1，拓撲迭代收斂至灰度設計(低密度單元占大比例)。

階段二：懲罰因子值p2=p1+1，并以階段一的灰度設計為起始點，迭代收斂至包含部分中間密度單元的拓撲設計。

階段三：以階段二的拓撲設計為初始參考，懲罰因子值p3=p2+1，拓撲收斂至布局清晰的0-1概念設計。

可看出，此TSC法以求解凸優化問題為起始點，且在階段收斂處，懲罰因子值增加1，可提高獲取全局最優解的概率。技術路線圖見圖1。其中，x0代表初始加強筋單元密度向量；xk為第k階段的加強筋單元密度向量。因設計變量數量遠多于約束條件數量，故采用伴隨變量法(adjoint variable method，AVM)高效地進行目標函數靈敏度分析[22]。最后，利用靈敏度信息對有限元模型進行顯式近似并基于對偶算法[23]優化加強筋單元密度。

圖1 三段式延拓法流程示意圖

2 降維處理策略

結構拓撲優化過程中，TSC法借助懲罰因子消除非必要材料以生成“0-1”分布，本質上屬于減法模式。如圖2所示，基于此原理，加筋板結構拓撲優化技術的思路[14-15]為：①給定加筋板三維設計區域并劃分設計域(加強筋域)和非設計域(面板域)(圖2a)；②將加筋板設計區域有限元離散為三維實體單元(圖2b)；③在TSC法驅動下，消除設計域中的非必要加強筋材料以生成加強筋拓撲布局(圖2c)。但上述思路存在兩個問題：①加筋板完整性不足，即加強筋-面板存在斷連現象，此部分加強筋材料未起到抗彎作用，導致加強筋布局非最優；②大跨度無支撐甲板三維實體單元數量大，其計算效率極低。上述問題可通過如下步驟解決(圖3)：①對圖2b的z向加強筋實體單元施加密度約束(如拔模約束、擠壓約束、鑄造約束等)，將z向加強筋實體單元密度均一化(圖3a)；②從拓撲優化單元密度角度出發，密度均一化的z向加強筋實體單元即可采用板單元代替(圖3b)，實現了加強筋單元的降維處理；③基于TSC法實現加強筋拓撲分布，此時任意加強筋構件均與面板相連(圖3c)。板單元的應用同時解決了計算效率低的問題。該策略已被DUGRE等[24]證明有效，但他們采用的同心加筋板結構并不符合工程實際，本文運用域偏置手段(圖4)對其進行改進以生成符合工程實際的偏心加筋板布局分布。

(a)3D設計區域 (b)3D有限元模型 (c)3D拓撲結構

(a)均一化密度 (b)2D板單元模型 (c)2D加強筋拓撲布局

圖4 域偏置

3 自動化技術

加筋板設計時，重復人工操作費時費力且易產生人為錯誤，故引入流程自動化技術以提高分析效率與準確性并降低時間及人力成本，如圖5所示。

圖5 加筋板拓撲優化流程自動化技術路線圖

本文開發了一種通用且高效的流程自動化技術[25]。①前處理(HyperMesh)自動化基本思路為：基于Command文件提取命令函數以實現拓撲優化參數的自動化建立；②應用TSC法并依托OptiStruct求解器實現大跨度甲板的概念-詳細設計，通過修改運行選項(采用in-core內存管理模式并設置CPU核數)以硬件加速方式進行計算性能調優來提高計算效率；③后處理(HyperView)自動化則依托于函數結構樹，需按照函數結構樹提取對象的句柄來實現軟件自動化操作，其一般語法格式為

{parent_object_handle_name} {command}

{object_handle_name}

(2)

其中，parent_object_handle_name為父級句柄名稱；command為獲取子級句柄名稱的命令；object_handle_name為子級句柄名稱。

此技術兼具可行性與高效性，可推廣至其他基于上述軟件開展的拓撲優化研究。

4 加筋板算例驗證

應用自動化技術，以480個加筋板剛度最大化概念設計算例驗證TSC法的有效性。

4.1 拓撲參數設定

加筋板受大小為1的面外均壓。四邊簡支。彈性模量E=2.06×105，泊松比ν=0.3。加筋板網格采用一階四節點殼單元，大小為1×1。材料體積分數V=0.3，0.4，0.5。目標函數容差ω0=0.0001，以保證拓撲迭代收斂且生成0-1分布的清晰加強筋布局。最小成員尺寸為3倍網格單元大小，用來懲罰小于此直徑大小的構件以便于后續工程制造，同時避免了棋盤格現象及網格依賴性問題[26]。C-SIMP法的懲罰因子取值為3[27]，TSC法的懲罰因子初始取值為1。

4.2 算例組

自動化技術支持下(圖5)，基于TSC法和C-SIMP法對兩組加筋板進行剛度性能最大化概念設計，具體參數如表1所示。面板厚度最小值hmin=0.002，以保證拓撲迭代過程中加筋板受完整面壓；面板厚度最大值hmax=HV；面板厚度增量Δh=0.2(此增量由第二厚度點開始)。此外，將B視為基本參數，相同L/B、H/B、h/B下，加強筋剛度設計相同，即本文所研究的加筋板設計具備一定通用性，可為相關設計人員提供一定參考。

表1 加筋板算例組

4.3 結果分析與討論

圖6、圖7分別為兩組加筋板的拓撲應變能對比圖，其中，各分圖最左邊的為整體對比圖；中間的為局部放大圖，以實心圓點為對應；最右邊的為TSC法相比C-SIMP法拓撲應變能的下降度，即er=(SC-SIMP-STSC)/STSC，其結束點對應局部放大圖中的灰色實心圓點。據圖6和圖7，C-SIMP法下，拓撲應變能隨面板厚度增大而呈現四階段變化，即降低—平緩振蕩式增大—大幅振蕩式增大—大幅振蕩式降低；而TSC法下，拓撲應變能則僅呈現兩階段變化，即降低—指數式平緩振蕩增大。基于TSC法的240例加筋板模型的拓撲應變能均低于C-SIMP法，具體下降度如表2所示。其中，拓撲應變能下降度超5%的占比97.5%；下降度超10%的占比86.7%；下降度超20%的占比69.2%；下降度超50%的占比50.4%。表3和表4所示分別為組別一和組別二的最佳面板厚度及相應拓撲應變能。TSC法下，加筋板最優拓撲應變能均下降超4%，充分說明了TSC法在加筋板剛度性能尋優方面的有效性。

(a)V=0.3

(a)V=0.3

表2 TSC法較C-SIMP法的拓撲應變能下降度

表3 組別一的最佳面板厚度及拓撲應變能對比

表4 組別二的最佳面板厚度及拓撲應變能對比

圖8和圖9所示分別為組別一和組別二的最佳拓撲布局分布。與C-SIMP法相比，TSC法下的加強筋次要構件(細小構件)減少而主要構件數量更多且分布均勻。

(a)C-SIMP法

(a)C-SIMP法

5 拓撲-尺寸-材料聯合優化設計

5.1 大跨度無支撐甲板基準模型

如圖10所示，某大跨度甲板[1]長38.4 m，寬22.4 m，面板厚度為14 mm；橫梁采用T 750×10/250×20，橫向跨度為5.6 m，縱向跨度為2.4 m；縱骨應用HP 220×10，跨距0.7 m。有限元分析中，面板采用二維四節點殼單元模擬，單元數量為86 016；橫梁及縱骨均采用一維梁單元模擬，單元數量為15264。大跨度甲板材料屬性為E=70 GPa，ν=0.3；邊界條件為

圖10 大跨度甲板基準模型

(3)

5.2 工況條件

大跨度無支撐甲板服役工作期間有甲板上浪、船體梁總縱彎曲等工況，本文主要考慮上述兩種載荷(圖11)。①LC1：甲板上浪產生的均勻面外載荷，p=3 kPa；②LC2：船體梁總縱彎曲產生的面內縱向壓力，σ=1.6 MPa。

(a)LC1

5.3 拓撲優化設計

5.3.1拓撲參數

大跨度甲板拓撲優化設計區域依據基準模型空間域確定，總尺寸為38.4 m×22.4 m×784 mm，其中設計域(加強筋域)為38.4 m×22.4 m×770 mm，非設計域(面板域)為38.4 m×22.4 m×14 mm。目標函數容差ω0、最小成員尺寸及懲罰因子設定同上。

對大跨度無支撐甲板基準模型開展靜態有限元分析及動態特征值分析以獲取概念設計所需的剛度、變形及動態振動指標，具體如表5所示。基于此，構造大跨度無支撐甲板拓撲優化數學模型：

表5 大跨度甲板拓撲優化性能指標

(4)

5.3.2大跨度無支撐甲板拓撲結構

三段式延拓法驅動下，無效加強筋材料被“懲罰”，中高密度材料被保留并形成輪廓清晰的加強筋拓撲布局，如圖12所示。相較于傳統加強筋的密集橫縱式正交布局[28]，大跨度甲板概念設計具有構件數量少、構件分布間距大及曲形等特性，可為設計人員提供加筋板前期設計的新思路。

圖12 大跨度甲板概念設計結果

5.4 曲形大跨度甲板尺寸/材料一體化優化設計

為便于工程制造與生產，對大跨度甲板概念設計開展尺寸/材料一體化優化設計。概念設計解釋策略為：基于大跨度甲板拓撲結構的中高密度材料構造加強筋輪廓線，而后在加強筋輪廓中線位置并沿長度方向布置曲形加強筋基線，如圖13所示。曲形加強筋采用T形梁單元模擬，面板則采用二維四節點殼單元模擬。為最大限度提高大跨度無支撐甲板的剛度、變形及振動特性，優化設計變量包含面板及加強筋材料的彈性模量E、面板厚度h及T形梁截面尺寸(圖14)。彈性模量E的初始值為70 GPa，面板厚度h的初始值為14 mm。概念設計中，不同位置處的拓撲加強筋寬度不同，為充分體現此特征，采用多類別加強筋設計變量，共44種(圖15)。其中，每種加強筋設計變量包含4個子設計變量(圖14)。各類別加強筋截面尺寸初始值為：D1=250 mm，D2=670 mm，D3=20 mm，D4=10 mm。179種設計變量的人工建立費時費力且易出現人為失誤，故應用命令函數進行高效且準確的自動化建立。

圖13 曲形T形梁基線

圖14 T形梁子設計變量

圖15 曲形T形梁設計變量類別

大跨度甲板詳細設計對標基準模型的剛度、變形及動態振動性能，基于此，構建大跨度無支撐甲板尺寸/材料一體化優化數學模型：

(5)

式中，E1為加強筋彈性模量；E2為面板彈性模量；D1，k～D4，k為第k種加強筋類別的截面尺寸變量。

歷經184步，大跨度無支撐甲板尺寸/材料優化迭代收斂，如圖16所示。迭代初，甲板材料的彈性模量較小，為滿足性能需求并降低最大約束違反，大跨度甲板新設計總體積增大；而后，最大約束違反降為0，并隨彈性模量增大，總體積呈減小趨勢；迭代至144步，大跨度甲板新設計總體積降至20.49 m3，略小于基準模型總體積(20.54 m3)，此時加強筋及面板材料的彈性模量均增至293 GPa。迭代收斂時，加強筋及面板材料的彈性模量均增大至上限值，即E=420 GPa，而大跨度甲板新設計的總體積VT=17.25 m3。可知，材料彈性模量的增大，對降低大跨度甲板成本并提高其剛度、變形及振動性能具有重要作用。

圖16 尺寸優化迭代歷史

大跨度無支撐甲板多應用于空間資源稀缺的滾裝船、油船、艦船及航母等大型裝備，在保證甲板性能的基礎上減小材料總體積具備工程實際意義，故第144～184步的尺寸/材料優化設計結果均可被應用，但彈性模量愈大，甲板材料要求也愈高，故第144步下的大跨度甲板新設計被最終采用。值得注意的是，E=293 GPa的材料彈性模量已高于鋼材彈性模量，甲板選材應為高剛度復合材料。該迭代步下的面板厚度h由14 mm增加至19.43 mm。曲形T形梁截面尺寸優化值如表6所示。曲形大跨度無支撐甲板新設計如圖17所示。

圖17 曲形大跨度甲板新設計

表6 T形梁截面尺寸優化值

從空間角度出發，大跨度無支撐甲板基準模型總體積為20.54 m3，T形梁總高度為770 mm；而曲形大跨度甲板新設計的總體積VT=20.49 m3，僅5號和7號T形梁高度為760 mm，其余T形梁高度均低于670 mm。可知，在大跨度甲板總體積略減小的基礎上，可節省13%的高度空間。此外，分布較為離散的加強筋布局可為船體線纜布置提供充足空間。

表7所示為曲形大跨度甲板新設計與基準模型的性能對比。從性能角度出發，曲形大跨度甲板新設計的應變能分別降低10.21%、15.43%，其剛度性能得到有效提高。工況LC2下的甲板最大節點位移下降61.46%。一階動態特征頻率由2.52 Hz升至2.76 Hz，提高9.52%。相較于傳統加筋板布局，曲形大跨度無支撐甲板新設計具備空間及性能雙重優勢，證明了概念設計解釋策略及尺寸/材料一體化設計方法的先進性。此外，概念設計為詳細設計提供曲形T形梁位置支持，進一步證明了降維處理策略及TSC法組合應用于大跨度甲板概念設計的有效性。

表7 曲形大跨度甲板新設計與基準模型性能對比結果

6 結論

基于降維處理策略和三段式延拓(TSC)法對大跨度無支撐甲板開展應變能、多工況位移及動態頻率性能拓撲優化設計。應用尺寸/材料一體化設計方法并聯合自動化技術對大跨度甲板拓撲結構進行詳細設計以便工程制造。自動化技術下的480個簡單加筋板算例證明TSC法具備更優的拓撲剛度性能和更廣的面板厚度適用性。與常規大跨度甲板相比，TSC法下的大跨度甲板概念設計具有構件數量少、構件分布間距大及曲形等特征，可為設計人員提供加筋板前期設計的新思路。此外，曲形大跨度甲板新設計的總體積略減小，并可節省13%的高度空間。剛度性能最高提高15.43%，最大變形至高降低61.46%，一階振動特性提高9.52%。進一步說明了降維處理策略和TSC法應用于大跨度加筋板概念設計的先進性。