空間平臺發射攔截器動力學與最優脈沖攔截

韓艷鏵，王 磊，張 勇

（1.南京航空航天大學航天學院，南京 211106；2.南京航空航天大學無人機研究院，南京 210016）

空間攔截在空天防御、在軌服務、太空碎片清除等領域意義重大，是空間技術領域持續熱門課題。脈沖法制導，因其原理和算法相對簡單，易于工程實現，當軌控推力作用時間遠小于慣性滑行時間時，制導誤差很小，因此在空間攔截領域頗受重視［1?6］。空間攔截任務中，燃料和時間均是寶貴資源，因此文獻［1?2］采用非線性規劃方法對脈沖控制進行優化，文獻［3］基于軌道力學中的普適變量描述法，采用內外雙循環的窮舉搜索，對脈沖攔截控制進行優化。文獻［4］為了減少攔截造成的空間污染，降低能量消耗，提高攔截概率，提出了停泊軌道轉移逆軌網捕攔截的方式。Lawden［7］提出的主矢量方法是航天最優控制領域的經典方法。通過對主矢量特性的分析，可以快速找到最優脈沖的作用時機和方向［8?10］。其中文獻［8］采用主矢量方法，研究了從地球（行星）或月球表面發射火箭攔截圓形環繞軌道上目標星的脈沖最優控制問題，攔截時間固定，燃耗為性能指標，但是未考慮大氣影響。文獻［9］考慮追蹤星和目標星近距離相對運動，滿足C?W 方程，追蹤星采用脈沖制導，用主矢量法確定最優脈沖施加時機、大小和方向。文獻［11］針對目標星處于橢圓軌道且追蹤星與目標星近距離相對飛行的情況，研究了時間最省切向脈沖攔截問題，采用遺傳?序列二次規劃相結合的方法克服了優化解對迭代初值的敏感性。考慮到若發動機推力較小，采用脈沖法計算的制導律在實際應用中會產生較大誤差，文獻［12］受脈沖法啟發，將攔截途中每個控制采樣時刻當作初始時刻，用最優脈沖制導算法給出當前時刻應施加在攔截器上的發動機推力方向，如此不斷迭代，直至攔截到目標，該方法的攔截精度可以保證，但總體上已不具有最優性。無論是脈沖制導還是連續推力制導，凡涉及最優策略往往計算量較大，難以在線實現，基于小參數攝動的近似優化攔截在航天領域應用而生［13?14］，以較小的性能犧牲為代價，大大減輕計算負擔，可用于在線攔截制導。

本文研究平臺攜載攔截器，與目標星形成繞飛關系。繞飛過程中平臺的姿控系統維持其發射筒軸線始終瞄準目標星。攔截器從發射筒分離后，自身的小型火箭發動機給其施加一個速度脈沖，修正其飛行方向，然后攔截器憑慣性飛向目標星，如圖1 所示。

圖1 平臺繞飛并瞄準目標星示意圖Fig.1 Sketch of the platform flying around and aiming at the target satellite

圖2 給出了攔截器在平臺中的裝載幾何關系，攔截器在其中形成一個矩陣。為了直觀表示攔截器的發射方向，圖中的攔截器頭部用錐頭表示。攔截器只能被依次發射，即平臺不能同時發射兩枚以上攔截器。攔截器可通過平臺中的電磁或氣壓裝置發射。

圖2 平臺攜載攔截器示意圖Fig.2 Sketch of platform carrying interceptor

文本采用小參數正則攝動方法，快速求解出燃耗最省最優脈沖的一階近似解，該值接近最優解，以此為迭代初值，用非線性規劃方法可以快速可靠地收斂到最優真解。

1 發射過程平臺?攔截器兩體動力學

首先建立目標星軌道坐標系oAxAyA，該坐標系的原點固定于目標星，xA軸正方向沿著目標星繞地速度方向，yA軸垂直于xA軸且背離地心方向為正。再建立平臺本體系oBxByB，其原點在平臺質心，yB軸沿平臺上的發射筒軸線方向，且以發射方向為正，xB軸垂直于yB軸，且在圖2 中向右為正。以上兩坐標系在下文中分別簡稱為A 系和B 系。

以目標星軌道坐標系的yA軸表示平臺姿態偏航角的參考方向，且以右手規則定義偏航角的正負，在圖1 和2 中即逆時針偏航為正。

設任何一個矢量v在兩坐標系的投影列陣分別為vA和vB，則兩者之間的坐標變換關系為

其中坐標變換矩陣

式中η為平臺的姿態偏航角。

A 系以角速度n旋轉，其中n是目標星繞地圓軌道的角速度（也是平臺繞飛目標星的平均角速度），故其嚴格來說是非慣性系。但是在建立平臺發射攔截器的動力學方程時，因為攔截器發射過程耗時與A 系的旋轉周期T=2π/n相比是很小的數，或等價地說，該非慣性系的旋轉角速度n很小，可視A 系為慣性系，由此引起的建模誤差極小。

設平臺質心相對于A 系原點的位矢為

式中：右下角標ld 表示“左下”，右上角標p 表示“相對于平臺質心”，右下角標B 表示“投影到B 系下”。后文采用類似的表達，不再逐一解釋。

本文定義處于平臺左下位置的攔截器為第1列1 行，攔截器所在列數的遞增方向是從左向右，行數的遞增方向是從下向上。

設第i列j行的攔截器固定在平臺上，由圖2 所示幾何關系，知其質心相對于平臺左下角的位矢為

第i列j行的攔截器質心相對于A 系原點的位矢

是平臺姿態偏航角速率。

第u列w行的攔截器正在發射筒里處于發射滑行狀態，設其滑行位移為s，則其質心相對于平臺左下角的位矢為

式中

拉格朗日分析力學特別適合多體復雜航天器的力學建模［15］，本文攔截器在發射出筒過程中與平臺形成兩體耦合系統，擬采用拉格朗日第二類方程建模。

平臺動能

2 攔截器攔截目標星最優脈沖控制

當目標星在繞地圓軌道上且追蹤星與其距離較近時，追蹤星相對于目標星的運動滿足C?W方程

該方程是在目標星軌道系即A 系建立的，其中n是目標星繞地圓軌道的角速度，如果追蹤星與目標星形成繞飛關系，n也是追蹤星環繞目標星的平均角速度。

式（35）的解析解為

本文的任務是，尋求施加給攔截器的速度脈沖(Δvx0，Δvy0)，使在某時刻tf攔截器能夠攔截到目標星，且所需施加的速度脈沖幅值最小，即燃耗最省。

用最優控制語言描述，即

對于非線性規劃問題，無論用直接法迭代尋優，還是用間接法，即求解表示最優必要條件的非線性方程組（44），均涉及迭代初值的選取，而初值選取是困難的，尤其是拉格朗日乘子μ1、μ2本身物理意義不明確，迭代初值的確定更困難。迭代收斂過程對迭代初值非常敏感，容易導致計算失敗。

本文給出一種求解策略，可謂之“三級優化”，基本步驟如下：

步驟2 將原問題最優必要條件在零階解附近取一階攝動，得到一組關于δΔvx0、δΔvy0、δtf、δμ1、δμ2的線性方程。將前述零階近似解加上述攝動量，得到原最優問題的一階近似解，即

代入式（46）描述的性能指標得

式（46）描述的零階近似優化問題的一階必要條件形式上同式（43），不再重復列寫，展開后得

最后一步不詳細闡述，以上述一階近似解作為原優化問題的迭代初值，此值接近真實最優解，故采用任何一種成熟的非線性規劃算法均能可靠且快速地收斂到真解。

上述三級優化過程的流程圖如圖3 所示。

圖3 三級優化流程圖Fig.3 Flow chart of three?level optimization

3 數值仿真

仿真入口參數如表1 所示。

表1 仿真入口參數Table 1 Input parameters for simulation

不失一般性，本仿真以圖2 中發射第1 列第2行攔截器為例。仿真結果分別如圖4～12 所示。

圖4～7 中的紅色點劃線表示假設平臺未發射攔截器，正常圍繞目標星做相對橢圓運動，并且時刻保持發射筒軸線瞄準目標星時的運動情況，圖中稱其為“原始未受擾”運動狀態。藍色實線表示平臺發射攔截器，兩體相互干擾下的實際運動狀態。

圖4 發射過程平臺運動軌跡Fig.4 Platform movement trajectory during launch

圖5 發射過程平臺速度的變化Fig.5 Variation in platform velocity during launch

圖6 發射過程平臺姿態偏航角Fig.6 Platform attitude yaw angle during launch

圖7 發射過程平臺姿態偏航角速率Fig.7 Platform attitude yaw rate during launch

圖8 攔截器在平臺發射筒中的滑行位移Fig.8 Sliding displacement of the interceptor in the plat?form launch tube

圖9 攔截器在平臺發射筒中的滑行速率Fig.9 Sliding rate of the interceptor in the platform launch tube

圖10 攔截器分離后在攔截軌道上的位置坐標Fig.10 Position coordinates of the interceptor on the inter?cepting orbit after separation

圖11 攔截器分離后的攔截軌道Fig.11 Intercepting orbit after interceptor separation

圖12 三級優化結果變化Fig.12 Three?level optimization results

圖4～7 顯示，由于發射過程攔截器對平臺的反作用力，在攔截器分離瞬間，平臺的實際軌跡相對于未受擾的繞飛軌跡沿y軸負方向偏離了約0.13 m，平臺的x軸向相對速度增加了0.08 m/s，y軸向相對速度減小了0.22 m/s，姿態偏航角增加了3.90o，姿態偏航角速率增加了5.55 (°)/s。考慮到平臺相對于目標星的環繞橢圓的幾何尺度和相對環繞速度，可以認為攔截器發射過程對平臺的位置坐標影響甚微，但是對平臺繞飛速度以及姿態的影響不容忽視。

最后補充說明，本文算出的toptimf/T=0.059 ?1，說明文中將n視作小參數，采用小參數正則攝動的方法計算一階近似最優解的前置條件是成立的。

4 結 論

本文針對空間平臺繞飛目標星，并發射攔截器來攔截目標星的動力學與脈沖最優控制問題開展研究。在平臺與目標星已形成繞飛關系的條件下，攔截器從平臺中射出，分離瞬間給其施加一個速度脈沖修正其飛行方向，然后攔截器在C?W 方程支配下憑慣性飛行，直至攔截目標星。本文采用拉格朗日第二類方程建立了平臺發射攔截器過程的兩體耦合動力學，然后采用基于小參數正則攝動的方法給出了最優速度脈沖的一階近似優化解，并以此為迭代初值，采用非線性規劃方法算得最省燃耗最優速度脈沖值，本文謂之“三級優化方法”。最后用數值仿真驗證了本文所提方法的有效性。