基于部分耦合模型的干擾抑制分散控制器設計

蔡 鋈 沈 鵬 杜星瀚

（1.廣州番禺職業技術學院，廣東 廣州 511483；2.江蘇師范大學，江蘇 徐州 221116）

0 引言

干擾廣泛存在于過程工業并會對系統的控制性能產生不利影響，導致系統無法完成期望的控制目標，產品質量下降[1]。不同于簡單的單變量系統，大部分的工業過程控制系統都具有多個輸入和多個輸出，回路間存在著復雜的耦合作用，并且由于物料、能量和信號的傳輸不可避免地存在延時，這類系統普遍含有時滯，這些特性都對控制系統的干擾抑制造成了阻礙[2]。

目前，時滯多變量系統的控制方法按照對耦合的不同處理大致可分為分散控制、（完全）解耦控制和部分解耦控制。其中，分散控制具有對角型控制器，結構簡單、易于設計和實現，但并未對耦合進行任何處理；解耦和部分解耦控制則是通過引入額外的解耦器或設計具有解耦功能的集中控制器，對回路間的耦合進行去除或部分保留，這類方法相對復雜，且大多以改善系統的跟蹤性能為目標。鑒于此，在實際的工業現場中，結構簡單的分散控制目前仍被廣泛應用，并且很多先進控制策略的底層實現也仍依賴于這種傳統的控制結構。

為了在不改變控制系統原有硬件結構的基礎上進一步提高系統的干擾抑制能力，本文針對時滯多變量系統，提出了一種基于部分耦合模型的干擾抑制分散控制器設計方法。通過有選擇地將部分耦合動態包含在被控對象模型中，實現了在不增加控制系統設計復雜度的情況下改善系統抗擾性能的目的，為提高實際過程工業的生產效益、保證產品質量、降低能耗提供了新的思路，具有重要的現實意義。

1 干擾分析指標

1.1 內模控制結構

傳統反饋控制具有結構簡單、易于實現的特點，目前仍廣泛應用于工業現場。圖1為傳統反饋控制系統結構圖，圖中Gp（s）為被控對象；C（s）為反饋控制器；L（s）為干擾向量；r、u、y、d、d0分別為設定值、操縱變量、系統輸出、干擾和歸一化干擾。

圖1 傳統反饋控制系統結構

在此控制框架下很難直接分析耦合與系統干擾抑制性能之間的關系，為此，本文借助內模控制框架來展開分析，如圖2所示[3]，圖中Gm（s）和CIMC（s）分別為內模控制的內部模型和控制器。

圖2 等效的內模控制系統結構

通過分析虛線框中的輸入、輸出關系，不難得出內模控制器與反饋控制器之間的等價關系，如式（1）（2）所示。在之后的推導中，為簡化表達，將在不引起歧義的情況下省略拉普拉斯算子“（s）”。

式中：I為具有相應維度的單位矩陣。

1.2 廣義相對干擾增益

根據圖2，干擾單獨作用時的系統輸出響應為：

其中，（I-GmCIMC）項被視為積分作用，在討論干擾對輸出的影響時暫時將其忽略。

考慮到不同的模型結構對應著對耦合的不同處理，可以根據模型的結構特點來展開分析。在完美內模控制器（CIMC=Gm-1）下，討論以下兩種情況：

（1）有相互作用，即Gm≠Gp時，根據式（3），干擾對輸出的影響（L*）可表示為：

（2）無相互作用，即Gm=Gp時，代入式（4）可得：

基于式（4）（5），廣義相對干擾增益（Generalized Relative Disturbance Gain，GRDG）被定義為：“存在耦合時干擾對輸出的影響”與“完全解耦時干擾對輸出的影響”之比[4]，其具體表達式如式（6）所示。

式中：βi為GRDG的第i個元素；n為GRDG的維數；符號⊙表示向量的對應元素相除。

根據上述定義，GRDG反映了不同耦合情況下，干擾對系統輸出的影響程度。因此，GRDG指標值可被用于分析不同耦合情況（或不同Gm結構）下系統的干擾抑制性能。

（1）若|βi|＞1，說明回路i在不受其他回路影響時能獲得更好的干擾抑制效果，即此時應對回路i進行解耦；

（2）若|βi|＜1，則說明存在耦合時的干擾抑制效果更好，此時應保留耦合。

以一個四室暖通空調（HVAC）系統為例，如式（7）所示，運用上述GRDG指標進行分析。

假設該系統受到的干擾為D=[-1 0.5 0.6 0.8]T，d0=1/s。基于式（6），可求得不同模型結構下的GRDG指標值，如表1所示。

表1 不同HVAC模型（Gm）結構下的GRDG指標值

顯然，部分耦合的Gm取得了最小的GRDG指標值，這也就意味著此時的控制系統獲得了更優的干擾抑制性能。

2 部分耦合模型

從干擾抑制的角度出發，根據表1的結果，應選取含有部分耦合的被控對象模型結構為：

式中：gij（i，j=1，2，3，4）為過程模型Gm第i行第j列的元素。

觀察式（8）可知，此時的Gpc具有對角型和滿元素型之間的一般化結構，直接對其進行控制器設計較為復雜。為此，這里基于有效開環傳遞函數，對上述部分耦合模型進行對角近似，而后即可基于此近似的對角模型來直接設計分散控制器。

2.1 有效開環傳遞函數

有效開環傳遞函數（Effective Open-loop Transfer Function，EOTF）被定義為：反饋控制框架下（圖1），本回路開環而其他回路閉合時，本回路輸入/輸出間的等效傳遞函數[5]。將式（8）的Gpc作為新的被控對象，替換圖1中的Gp，推導此時各回路的EOTF。根據輸入/輸出關系，有：

式中：gii為回路i的主通道模型；Gpc，-ii為Gpc去掉第i行和第i列后得到的矩陣；Gpc，*i和Gpc，i*分別為Gpc的第i列和第i行去掉gii后得到的列向量和行向量；yi和ui分別為回路i的輸出和輸入；y-i和u-i分別為y和u去掉第i個元素后得到的向量。

經推導計算，得到回路i的有效開環傳遞函數為：

結合式（8）（10），可求得各回路的EOTF如式（11）所示。

2.2 模型近似

上述得到的EOTF模型通常較為復雜，難以直接用于控制器設計，為此，這里采用麥克勞林（Maclaurin）展開式來進行模型近似和化簡，具體步驟如下：

步驟一，對式（11）中的EOTF進行Maclaurin展開，系數aii、bii和cii分別為：

步驟二，若將其近似為一階加時滯（FOPTD）模型，則同樣對此FOPTD模型進行Maclaurin展開，得到：

步驟三，令式（12）和（13）中關于“s”的各項系數分別相等，最終可得：

基于上述方法對式（11）中的EOTF模型進行近似，最終得到含有部分耦合的對角近似模型為：

3 分散控制器設計

在將部分耦合模型近似為對角模型后，就可采用單變量系統控制器設計的一系列方法來分別設計各回路的控制器。

考慮到內模控制器設計過程簡單、參數少且易于轉化為傳統反饋控制器的特點，此處先通過兩步設計法得到內模控制器，而后基于等效關系得到最終的分散控制器。

依照內模控制器設計的兩步法，首先，將回路i的主通道模型進行分解。需要注意的是，這里的主通道模型為2.2節中得到的近似對角模型中的元素，如式（16）所示。

而后，回路i的內模控制器可設計為：

式中：fi（s）為低通濾波器，保證了控制器可實現；ni為濾波器的階次；λi為濾波器常數，是唯一待整定的參數。

最后，將式（17）代入式（2），即可得到回路i的等效反饋控制器，為：

為便于工業實現，還可將式（18）的控制器轉化為PID形式，在此不多做說明。

延續先前對HVAC系統的分析，將本文方法與分散控制[6]和反向解耦控制[7]方法進行仿真對比，結果如圖3和表2所示（λi=45；i=1，2，3，4）。很顯然，所提方法不論是在干擾響應幅值、穩定時間等動態性能方面，還是在誤差積分（IAE）、TV指標方面，都取得了比另兩種方法更好的效果。

圖3 HVAC過程的干擾輸出響應

表2 HVAC干擾響應的性能指標

4 結語

本文針對時滯多變量系統的干擾抑制問題，提出了一種基于部分耦合模型的干擾抑制分散控制器設計方法。通過耦合分析，從干擾抑制的角度出發，構建了包含部分耦合動態的被控對象模型，而后對該模型進行對角近似，在不影響系統性能的情況下極大地簡化了分散控制器的設計。最后，將本文方法與其他兩種方法進行仿真對比，仿真結果證實了所提方法的優越性。