利用通性通法證明2022年全國高中數學聯賽平面幾何題

凌惠明

(江蘇省南京市金陵中學 210005)

2022年全國高中數學聯賽(預賽)加試(A卷)第1題以簡潔的圖形、豐富的內涵，為考生能力的發揮留下了廣闊的空間．本文提供幾種利用通性通法來證明的方法，供大家欣賞．

1 題目

圖1

(本題滿分40分)如圖1，在凸四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，對角線BD上一點P滿足∠APB=2∠CPD，線段AP上兩點X,Y滿足∠AXB=2∠ADB，∠AYD=2∠ABD．證明：BD=2XY．

2 證明

本題的證明分為兩個邏輯段．

2.1 第一個邏輯段

圖2

分析1由∠ABC=∠ADC=90°很容易想到A,B,C,D在以AC為直徑的圓O上，由∠AXB=2∠ADB或∠AYD=2∠ABD聯想到圓周角定理，可以考慮利用圓O來尋找角與角之間的關系，從而可以得到A,O,B,X四點共圓，A,O,D,Y四點共圓(圖2)，進而可以得到 △OXY∽△CDB．

具體證明過程可參考組委會提供的參考答案，這里不再贅述．

分析2如果沒有想到利用圓周角定理來轉化∠AXB=2∠ADB，可以考慮在⊙O中將兩個角轉化到一個三角形中，構造等腰三角形解決問題．

具體證明過程如下：

圖3

如圖3，取AC中點O，因為∠ABC=∠ADC=90°，所以A,B,C,D在以AC為直徑的圓O上，且P,B位于AC同側．延長AP交⊙O于點G，因為∠AXB=2∠ADB=2∠AGB=∠XGB+∠XBG，所以∠XGB=∠XBG，則XB=XG．又OG=OB，則OX⊥BG，故∠OXY=90°-∠XGB=90°-∠ADB=∠CDB．同理，∠OYX=∠CBD，故△OXY∽△CDB．

2.2 第二個邏輯段

具體證明過程可參考組委會提供的參考答案，這里不再贅述．

分析2延長AP后形成角平分線，構造三角形全等解決問題．

具體證明過程如下：

圖4

圖5 圖6

分析4可以利用平行尋找角與角之間的關系，結合中位線來得到相似比，具體證明過程如下.

分析5由于角與角之間的關系比較豐富，也可以考慮利用正弦定理來得到相似比，具體證明過程如下.

圖7

3 結語

今年的這道平面幾何題延續了最近幾年聯賽對學生平面幾何方面的能力上的要求，突出了運用基本知識、定理和方法來思考和解決問題，是一道非常好的賽題．遺憾的是，從賽后反饋來看，仍然有不少學生面對條件∠AXB=2∠ADB和∠AYD=2∠ABD束手無策，面對條件∠APB=2∠CPD更是一片茫然.這啟示我們在平時給學生訓練時要更加積極地去探究解題思路的合理性，探究通性通法的運用，從而提升分析問題和解決問題的能力！