跨學科“鏈+”，助力學生理解概念
——-12和（-1）2對比教學的感悟

筅江蘇省如皋市港城實驗學校初中部 陳曉紅

1 引言

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（下稱《課標（2011年版）》要求“學生掌握數學知識，不能依賴于死記硬背，而應以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固和深化”．在數學概念教學中，經常會遇到學生不理解概念而經常犯同樣的錯誤．為了幫助學生深入理解概念，筆者在教學中，常在概念的生長鏈上“鏈+”學生易于掌握的跨學科策略，如語文中的差異化停頓、理化學科的對照實驗等，讓學生在深度辨析中把握概念的本質，達成在理解中應用的目標．本文中擬結合-12與（-1）2的對比教學談談筆者的做法，供大家參考．

2 -12與（-1）2的對比教學

2.1 讀式感知

教師投影-12和（-1）2，請學生讀兩式．

生1：負1的平方．

生2（笑）：負1的平方．

師：這么讀，這兩個式子好像是一樣的！

2.2 跨科“鏈+”

生3：不一樣！-12表示的是12的相反數．

師：很好！那（-1）2呢？

生4：（-1）2表示的是兩個-1相乘．

師：能把它們的不同點讀出來嗎？

學生在下面與同桌交流自己的讀法.

師：誰來試試？（無人舉手）

師：可否在語句中加入停頓來體現呢？

生5：-12讀作“負（停頓）1的平方”．

生6：（-1）2讀作“負1的（停頓）平方”．

師：很棒！大家自己再讀讀．

學生各自讀式子，并與同組同學交流.

師：兩式的結果相同嗎？

生7：不同！-12是-1×1，結果為-1；而（-1）2是（-1）×（-1），結果為1.

2.3 策略推廣

師：那你現在能理解-an和（-a）n的含義嗎？

生8：-an表示-a·a·a·……·a；而（-a）n表示（-a）·（-a）·……·（-a）．

師：太棒了！讀一讀這兩個式子．

生（齊）：負（停頓）a的n次方；負a的（停頓）n次方．

隨后教師布置兩道含形如-an和（-a）n的式子的計算題，學生自主練習，并交流過程．

3 教學簡析

數學運算是學生需要著力發展的核心素養之一，而發展數學運算素養需要依賴于算理、算法、算技、算序等多個方面的教學．其中，對算理的教學很大程度上依賴于學生對與運算相關的概念的理解．上面的片段是乘方概念的延續教學，是對-an和（-a）n的含義的深入探索．

3.1 初讀：感知同中不同

-12和（-1）2，外形上是不一樣的．教師引導學生初讀兩式，發現兩者都被讀作了“負1的平方”．不同的式子，相同的讀法，這種“看到的”與“讀出的”的不一致，對學生的認知形成了較大的沖擊，在“會心一笑”中，孩子們已經體會到了“同中蘊含著相同”，如果不引入好的方法，對兩式含義的辨析是有一定困難的．

3.2 再讀：“鏈+”辨析方法

初讀感知后，教師將乘方的教學資源鏈繼續延伸，“鏈+”有差異的讀法來體現“同中不同”．教師首先引導學生應用相反數的概念、乘方的概念明晰兩式的含義：-12表示的是12的相反數；（-1）2表示的是兩個-1相乘．接下來，對兩式的讀法進行再研討，追問“能把它們的不同點讀出來嗎”，因為有了大家“會心一笑”的讀法，學生很難迅速生成具有明晰差異的讀法，無人舉手．為了破解困局，教師隨即提示“可否在語句中加入停頓來體現呢”，“語句中差異化停頓，會讓同樣的表述有不同的含義”的語文方法的“鏈+”，迅速激活了學生的思維．在兩句話中加入了不同位置的停頓，相同的文本，有了不同的停頓，-12中的“-”和（-1）2中“（）”的含義得以凸顯．不同位置上的停頓，讓相同的文本有了不同的內涵，學生沿著兩種不同讀法順利給出兩式的運算過程和結果也就十分自然了．

3.3 三讀：建構一般策略

此后的探索，是讓特殊走向了一般．通過對-an與（-a）n的含義的辨析與讀法的呈現，乘方的教學資源鏈進一步延伸，“鏈+”讀法讓學生對-an與（-a）n的認識進一步加深．

4 教學啟示

4.1 循序漸進巧“鏈+”，讓學生深入理解概念

一個新概念的出現，總會經歷應用出錯的心痛，之所以出錯，除了“遺忘”這一客觀規律，其根本原因還是對概念缺乏深入理解．概念教學，很多人圖“新鮮”，一學就會，一做就錯，為什么呢？沒有真正理解?。⌒赂拍畛霈F后，只關注到幾個關鍵詞，而忽略了對概念內涵、外延的把握．在應用時，面對一些“長得比較像的”情境，無法做出準確判斷，形成錯誤的結論．例如，對于-104，有不少學生給出-40的結果，也有不少學生給出10000的結果．這還是對乘方的意義沒有理解，給出-40的學生認為104=4×10，這是不理解104表示的是“4個10相乘”這一含義；而給出10000的學生是把-104錯誤當成了（-10）4，這兩個式子中冪運算的底數是不同的，-104中底數為10，而（-10）4中底數為-10．如此明顯的差異，仍會出錯，還是對概念理解不透．這也是筆者特地安排-12和（-1）2對比教學的原因．通過跨學科“鏈+”，語文方法的數學應用，給學生的聽覺、視覺、理解形成了刺激，今后再面對這樣的式子時，他們必然有警覺，會思考，自然對乘方的理解也就越來越深刻了．

4.2 注重實效真“鏈+”，讓學生應用概念有路可循

應用概念解決問題需要有抓手，這個抓手可以是數學的，也可以是數學之外其他學科的．本文中給出的“差異化停頓”就是語文的一種閱讀方法，這對于學生理解形如-an和（-a）n的式子的含義是十分有效的，而同時這也是學生應用乘方的定義求此類運算結果的抓手．事實上，對形如-an之類的概念復合體，需要教師從學生實際出發，選擇其易于掌握的方法，在與概念相關的教學資源鏈上“鏈+”上理解抓手，為應用服務．以-12為例，這原本就不是一個概念，而是兩種概念的復合體，（-1）2就是乘方，而-12則是乘方的相反數，兩個概念混在一起，如果不深入理解，是極易出錯的．在教學中，筆者以“差異化停頓”為抓手，讓學生邊讀邊想，形成對“乘方+相反數”這一組合概念的深入理解，從而為有序應用清除了障礙．當然，-an的讀法“負（停頓）a的n次方”，不僅是學生理解這個式子含義的抓手，還是他們后續數學運算中回避錯誤的有效策略．試想，每遇到一個形如-an的式子，都能想到初讀-12和（-1）2時的“會心一笑”，都能聯想到兩者“差異化讀法”中的不同停頓位置，自然也就能給出規范的運算過程．所以不管是什么樣的數學概念，想要讓學生深入理解、準確應用，就應從學科內外給其“鏈+”一個切實可行的應用抓手．

4.3 適度訓練多“鏈+”，讓學生習慣辨析概念

傳統教學強調“雙基”（即基礎知識和基本技能教學），《課標（2011版）》頒布后，“雙基”變為“四基”，要求更多了．但“雙基”的重要性沒有改變．而基礎知識的獲得是容易的，但要把知識融入到技能中，成為學生思維的一部分，離不開適度的訓練．我向來反對“題海戰術”，但對“必要的訓練能提升學生的數學能力”還是堅信的．無論多么簡單的新知，給出適時、適量的配套練習讓學生進行策略“鏈+”是不可少的：可以是匹配教材例題的題組，也可以是教材中的練習或習題．有一點必須堅守：題目要少而精，要有代表性．比如，在對比完成了-12和（-1）2的教學后，兩道計算足矣．我們不可能也不要指望通過某一組題就能讓學生一下子弄清-an與（-a）n的差別，永不出錯．在他們差不多要忘“光”的時候，把兩題變一變，拿出來再練一練，“鏈一鏈”，這樣鞏固的效果肯定比搞題海訓練要好很多．

“鏈+”數學，注重以教學資源的環環相扣推動學生素養不斷發展．我們在重視教學資源的學科內開發的同時，還不忘跨學科資源的挖掘．本文是筆者在概念教學中的一次嘗試，取得了較好的教學效果．當然，這一做法的普適性未得到驗證，僅是筆者個人的嘗試，但文中的跨學科資源的課堂“鏈+”，應該是數學教學向外打開的一條有效路徑，大家在教學中可以做一些嘗試，讓學生認知數學時多一些不一樣的視角［1］．