軸-板耦合系統(tǒng)振動主動控制

彭 杉

（海軍駐704所軍事代表室，上海 200031）

對于船舶推進軸系，螺旋槳脈動力通過軸承傳遞至殼體，誘導其產(chǎn)生水下聲輻射，污染海洋環(huán)境和影響魚類生長，因此抑制推進軸系振動傳遞對降低船體輻射聲功率具有重要意義[1]。在機械結(jié)構(gòu)中，振動傳遞實際為振動能量的傳播，而功率流可描述機械結(jié)構(gòu)中振動能量傳播的過程[2]。

對于功率流分析方法，國內(nèi)外已經(jīng)有較多研究，其包括導納法、直接動剛度法和波傳播法等。史冬巖等[3]基于導納法分析雙層隔振系統(tǒng)傳遞的功率流，并研究隔振系統(tǒng)的傳遞效率。Langley[4]基于直接動剛度法分析了飛機面板結(jié)構(gòu)中的功率流，并推導出結(jié)構(gòu)軸向、扭轉(zhuǎn)和彎曲剛度以及功率流的表達式。Miller 等[5]基于波傳播法對由桿和梁組成的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件和節(jié)點進行局部和全局功率流分析，提出了局部能量耗散機理。

由于機械結(jié)構(gòu)的振動強度隨著外界注入功率增加而增大，因此減少功率流輸入對抑制振動具有重要意義。Miller 等[6]利用最優(yōu)控制來減少由梁組成的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)中的結(jié)點功率流，改變結(jié)點處功率流的反射和傳輸特性，以使輸入功率能夠被最大限度吸收。Pan 等[7]提出采用前饋主動控制抑制有限寬度的半無限板振動功率流，數(shù)值結(jié)果表明，在沿寬度方向的某個位置，布置一排控制力能在較寬頻率范圍內(nèi)顯著降低板內(nèi)功率流傳輸。Tang等[8]利用波傳播方法建立大型索架結(jié)構(gòu)的動力學模型，利用振動波隔離器和吸收器增加結(jié)構(gòu)中功率流的損失，達到抑制振動的目的。

本文基于哈密頓原理建立軸-板耦合系統(tǒng)動力學模型，對該系統(tǒng)進行功率流分析，識別振動從軸傳遞至板的主要路徑。在路徑上布置主動作動器，研究該方案可行性，并通過自適應控制分析計算主動作動器對板振動抑制效果。

1 軸-板耦合系統(tǒng)動力學建模

軸-板耦合系統(tǒng)示意圖如圖1 所示，其中X、Y和Z分別表示縱向、垂直和水平方向。軸與圓盤（螺旋槳）和彈性聯(lián)軸器剛性連接。3個軸承均簡化為彈簧阻尼和集中質(zhì)量。主動作動器簡化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，安裝在軸承集中質(zhì)量處，產(chǎn)生主動控制力抑制振動從軸至板傳遞。在本文所建模型中，軸為圓形橫截面的鐵木辛柯梁，板的邊界條件為四邊簡支，并只考慮該系統(tǒng)的垂向振動傳遞。

圖1 軸-板耦合系統(tǒng)示意圖

1.1 軸的動力學建模

Timoshenko梁任意時刻的勢能Us和動能Ts可以表示為[9]：

其中：Ls和As表示軸長度和橫截面積，κs、ρ、E和G表示Timoshenko 梁形狀系數(shù)、材料密度、彈性和剪切模量，Is為截面慣性矩，w和θ為垂向位移和轉(zhuǎn)角。

令ws(x,t)=Ws(x)cosωt，θs(x,t)=Θs(x)cosωt，ω為圓頻率。根據(jù)Ritz 法，Ws(x)和Θs(x)可用帶輔助多項式的余弦傅里葉級數(shù)展開：

1.2 板的動力學建模

根據(jù)Kirchhoff板理論，板任意時刻的勢能Up和動能Tp可以表示為[9]：

其中：ap、bp和hp是板長度、寬度和厚度，wp是板中平面垂向位移，且wp(xp，zp，t)=Wp(xp，zp) cos(ωt)。對于簡支板，Wp(xp，zp)用傅里葉級數(shù)表示為：

1.3 系統(tǒng)動力學方程

整個系統(tǒng)最大動能可以表示為：

其中：mb為軸承質(zhì)量，ma為主動作動器質(zhì)量，Wb為軸承質(zhì)量的位移，Wa為主動作動器質(zhì)量的位移。

系統(tǒng)最大勢能為：

其中：ka為主動作動器彈簧剛度。

系統(tǒng)阻尼耗散的最大能量為：

外力做功為：

根據(jù)哈密頓原理：

可得系統(tǒng)的動力學方程為：

其中：K、M和C分別為系統(tǒng)的剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣，X=[qws，qθs，Wb1，Wb2，Wb3，Wa，qp]T是未知系數(shù)，F(xiàn)d=Fd|Hq x=0，F(xiàn)d和Fa分別表示干擾力和控制力，系統(tǒng)響應可以通過求解這些線性方程來獲得。

2 功率流分析與振動主動控制

2.1 功率流分析

基于建立的動力學模型，對軸-板耦合系統(tǒng)進行功率流分析，軸-板耦合系統(tǒng)參數(shù)見表1。

表1 軸-板耦合系統(tǒng)參數(shù)

在圓盤處垂直施加單位垂向干擾力，計算各支承輸入板的功率流，如圖2所示，實線代表功率流的絕對值，○表示負值，正值表示功率從軸承流向板，負值表示功率從板流向軸承。可以看出，在大多數(shù)頻率下，軸承1是振動功率從軸流向板的主要通道。因此，主動作動器應安裝在軸承1，以抑制振動從軸向板傳遞。

圖2 各支承向板輸入的功率流

2.2 振動主動控制可行性

將加速度傳感器放在軸承1 的集中質(zhì)量處，測量誤差信號。對軸-板系統(tǒng)分別施加單位擾動力和單位控制力，誤差點的加速度響應與干擾力和控制力之間的頻率響應函數(shù)曲線如圖3所示。

圖3 控制通道和干擾通道頻率響應函數(shù)曲線

根據(jù)最優(yōu)控制方法，控制力可以將誤差點加速度響應抑制為零，即HdFd+HaFa=0，其中Hd和Ha分別表示干擾和控制通道的頻響函數(shù)。控制前后3個軸承向板輸入的功率流之和如圖4 所示，板的加速度如圖5所示。由于振動傳遞主要通道被主動作動器阻斷，軸向板傳輸功率流受阻，流入板的總功率和板加速度在大多數(shù)頻率下均被抑制。

圖4 控制前后3個軸承向板輸入的功率流之和

圖5 控制前后板加速度

控制前后3 個軸承向板輸入的功率流如圖6 至圖8所示。

圖6 軸承1向板輸入的功率流

圖7 軸承2向板輸入的功率流

圖8 軸承3向板輸入的功率流

由于軸承1集中質(zhì)量的加速度被抑制到0，功率流不能通過軸承1從軸傳遞至板，相反，功率流從板傳遞至軸承1，從而被軸承1中的阻尼耗散。控制后軸承2 向板傳遞的功率流均為正，與軸承1 和3 相比，軸承2成為振動從軸到板傳遞的主要通道。

2.3 多線譜自適應振動抑制

最優(yōu)控制的性能僅在理論上代表可實現(xiàn)的最大振動衰減。本節(jié)通過自適應控制方法抑制螺旋槳干擾力引起的軸-板系統(tǒng)振動傳遞[10]。假設干擾力頻域中包含90 Hz、120 Hz、150 Hz 和180 Hz 等4 根線譜以及0～300 Hz 白噪聲，這些線譜頻率為任意選擇，并且位于靠近或遠離共振頻率的位置。

控制前后板各頻率對應的加速度幅值如圖9所示，板在這4個頻率處的加速度幅值均被抑制，與最優(yōu)控制的結(jié)果一致。控制前后板0～300 Hz 內(nèi)加速度均方根值如圖10和圖11所示。

圖9 控制前后板各頻率對應的加速度幅值（參考值10-6 m/s2）

圖10 控制前板加速度幅值（參考值10-6 m/s2）

圖11 控制后板加速度幅值（參考值10-6 m/s2）

可以看出，板的大部分區(qū)域加速度均下降，從而驗證了主動作動器抑制軸-板系統(tǒng)振動的有效性。

3 結(jié)語

基于哈密頓原理建立軸-板耦合系統(tǒng)的動力學模型，對該系統(tǒng)功率流進行分析，發(fā)現(xiàn)軸承1為振動傳遞主要路徑，并在軸承1 處安裝主動作動器抑制振動傳遞。通過最優(yōu)控制驗證該控制方案的可行性，板的加速度在大部分頻率處降低，3個軸承向板流入的功率流之和減小，并且功率流在軸-板系統(tǒng)的流向改變。進一步采用自適應控制方法進行仿真，結(jié)果與最優(yōu)控制一致，板加速度幅值在實施控制后降低，從而驗證了主動作動器抑制軸-板耦合系統(tǒng)振動傳遞的有效性。