一種拉伸式準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和特性分析

何 波，楊 康，吳少培，李國芳，丁旺才，張 龍

（蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,蘭州 730070）

近年來，隨著人們對(duì)振動(dòng)認(rèn)識(shí)的不斷加深，振動(dòng)的有益性得到了很好開發(fā)。如在醫(yī)療器械方面可以利用超聲波診斷出多種疾病；振動(dòng)產(chǎn)生的波速可以用來勘測地下礦產(chǎn)。但是大多數(shù)情況下，振動(dòng)會(huì)對(duì)人類的生產(chǎn)、生活造成負(fù)面影響，如振動(dòng)產(chǎn)生的噪聲會(huì)對(duì)人體的聽覺器官、神經(jīng)系統(tǒng)等造成不同程度的損害；振動(dòng)還會(huì)對(duì)精密儀器的靈敏度造成影響。線性隔振理論表明：只有當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)頻率大于倍的固有頻率時(shí)，系統(tǒng)才有隔振效果。要減小系統(tǒng)的固有頻率可以增加質(zhì)量或減小剛度，質(zhì)量增加使得制造成本增加；剛度減小固有頻率降低，隔振效果越好。但是，低剛度會(huì)引起很大的變形，隔振系統(tǒng)容易變得不穩(wěn)定。因此，在不影響承載能力的前提下，構(gòu)造出具有低頻隔振效果的隔振系統(tǒng)意義非凡。近年來國內(nèi)外學(xué)者對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)做了大量研究，最早，Molyneux[1]采用傾斜彈簧作為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)與豎向線性彈簧并聯(lián)組成準(zhǔn)零剛度隔振器，通過調(diào)節(jié)負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，使得系統(tǒng)不僅具有較高的承載能力，還實(shí)現(xiàn)了較低的動(dòng)剛度。Alabuzhev等[2]在原有線性彈簧的基礎(chǔ)上引入了負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，對(duì)其結(jié)構(gòu)和動(dòng)態(tài)響應(yīng)做了較為全面的分析。Carrella等[3]提出了一種三彈簧結(jié)構(gòu)，采用兩根傾斜的彈簧產(chǎn)生負(fù)剛度，與提供正剛度的豎向彈簧并聯(lián)實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)零剛度。可以通過調(diào)節(jié)豎向彈簧和傾斜彈簧的預(yù)變形量，實(shí)現(xiàn)對(duì)準(zhǔn)零剛度平衡位置和承載能力的調(diào)節(jié)。Kovacic等[4]研究了這種三彈簧結(jié)構(gòu)，并在非對(duì)稱作用下對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，研究了周期倍化分岔的出現(xiàn)以及如何發(fā)展為混沌運(yùn)動(dòng)。在準(zhǔn)零剛度的研究中利用不同的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)出了多種隔振系統(tǒng)，Valeev等[5]把碟形彈簧作為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)應(yīng)用于準(zhǔn)零剛度隔振結(jié)構(gòu)中。Shaw等[6]將雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合板與螺旋彈簧并聯(lián)組成準(zhǔn)零剛度隔振器。Zhou等[7]利用電磁系統(tǒng)所提供負(fù)剛度設(shè)計(jì)了一種頻率可調(diào)的準(zhǔn)零剛度隔振器。Lu等[8]設(shè)計(jì)了一種以歐拉壓桿為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的準(zhǔn)零剛度隔振器。

楊雪鋒等[9]為解決低頻振動(dòng)對(duì)康復(fù)機(jī)器人的影響，在康復(fù)機(jī)器人下肢足部安裝了由負(fù)剛度拉伸彈簧并聯(lián)線性正剛度彈簧的準(zhǔn)零剛度隔振器，該研究實(shí)現(xiàn)了對(duì)下肢機(jī)器人足部低頻振動(dòng)的有效衰減。Thanh等[10]把準(zhǔn)零剛度隔振器應(yīng)用到汽車座椅上，通過理論分析和對(duì)裝配零件實(shí)測數(shù)據(jù)分析確定了系統(tǒng)在平衡位置處的參數(shù)。實(shí)驗(yàn)表明，準(zhǔn)零剛度車載隔振系統(tǒng)在0～4 Hz 低頻段與傳統(tǒng)隔振器的座椅相比，隔振效果顯著，舒適性大幅度提高。聞榮偉[11]提出了一種應(yīng)用于大型精密儀器、基于洛倫茲力致動(dòng)器主動(dòng)控制負(fù)剛度的微振控制策略，有效減小了振動(dòng)對(duì)大型精密儀器的損壞程度。劉吉曄[12]將SD 振子模型應(yīng)用于浮置板軌道系統(tǒng)，大幅提高了浮置板軌道的低頻隔振性能。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一種拉伸式準(zhǔn)零剛度隔振器。首先，對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)進(jìn)行靜力學(xué)分析，提出了實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度的條件及具體參數(shù)；其次，建立了系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程，采用諧波平衡法求解了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和多穩(wěn)態(tài)區(qū)域，研究了系統(tǒng)多穩(wěn)態(tài)區(qū)域及隔振有效范圍與參數(shù)關(guān)聯(lián)關(guān)系，最后運(yùn)用胞映射進(jìn)行驗(yàn)證，分析了系統(tǒng)參數(shù)和激勵(lì)幅值對(duì)幅頻響應(yīng)和力傳遞率的影響。

1 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)模型的建立及靜力學(xué)分析

1.1 準(zhǔn)零剛度隔振器模型的建立

該隔振系統(tǒng)主要由一個(gè)豎向壓縮彈簧和一對(duì)橫向拉伸彈簧組成，豎向壓縮彈簧提供正剛度，一對(duì)橫向拉伸彈簧在拉伸過程中具有負(fù)剛度特性，采用正負(fù)剛度并聯(lián)的原理在平衡位置實(shí)現(xiàn)零剛度，既保留了正剛度機(jī)構(gòu)的高承載能力，又顯著降低了系統(tǒng)的動(dòng)剛度，使得系統(tǒng)的隔振頻帶向低頻延伸，實(shí)現(xiàn)低頻隔振的目的。本模型采用三維建模軟件SolidWorks進(jìn)行設(shè)計(jì)，準(zhǔn)零剛度隔振器模型、負(fù)剛度系統(tǒng)和力學(xué)模型分別如圖1(a)、圖1(b)、圖1(c)所示。

圖1 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)

其中，1為承載臺(tái)，2為豎向壓縮彈簧，3為底座，4為滑塊，5為向拉伸彈簧，6為軸，7為銷，8為車輪，L為旋轉(zhuǎn)桿插銷的長度，L0表示未受力時(shí)橫向拉伸彈簧長度的一半，橫向拉伸彈簧的剛度為ka，豎向壓縮彈簧的剛度為kb，h表示初始位置與水平面的垂直距離，角θ表示任意位置時(shí)旋轉(zhuǎn)桿插銷與水平拉伸彈簧的夾角。F為豎向壓縮彈簧和一對(duì)橫向拉伸彈簧產(chǎn)生的彈性力的矢量和。

1.2 靜力學(xué)分析

對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)進(jìn)行靜力學(xué)分析，則系統(tǒng)彈性力的模為：

滿足關(guān)系式：

得到式（1）無量綱化關(guān)系式為：

對(duì)式（4）求導(dǎo)，可得其無量綱剛度表達(dá)式為：

式中：α為橫向彈簧的剛度與豎向彈簧剛度的比值；λ為初始位置時(shí)旋轉(zhuǎn)桿插銷的長度與橫向拉伸彈簧長度一半的比值。

由式（6）得到系統(tǒng)在平衡位置實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度（Quasi-zero-stiffness，QZS）的參數(shù)條件為：

由式（4）和式（5）可以得到剛度比α=0.8、長度比變化時(shí)，系統(tǒng)的無量綱力-位移曲線、無量綱剛度-位移曲線分別如圖2（a）、圖2（b）所示，長度比λ=1.45、剛度比變化時(shí)系統(tǒng)的無量綱剛度-位移曲線如圖2(c)所示。

從圖2（a）、圖2（b）可以看出，λ=1.65時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)特征，理論上講系統(tǒng)可在靜平衡位置保持不動(dòng)，但是任何微小的擾動(dòng)都會(huì)使系統(tǒng)偏離零點(diǎn)，進(jìn)而破壞系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，使系統(tǒng)進(jìn)入其他穩(wěn)定平衡狀態(tài)，系統(tǒng)表現(xiàn)為雙穩(wěn)態(tài)特性。λ<1.45 時(shí)，系統(tǒng)的剛度為正值；λ=1.45 時(shí)，豎向壓縮彈簧提供的正剛度與一對(duì)橫向拉伸彈簧產(chǎn)生的負(fù)剛度在平衡位置剛好抵消，無量綱剛度為零，系統(tǒng)恰好處于準(zhǔn)零剛度狀態(tài)；1.45<λ≤1.65時(shí)，系統(tǒng)在平衡位置的剛度由零變?yōu)樨?fù)值。λ為初始位置時(shí)旋轉(zhuǎn)桿插銷的長度與橫向拉伸彈簧長度一半的比值，故λ>1。在實(shí)際工程中，剛度一般取正值，要實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度長度比λ應(yīng)滿足1.05<λ≤1.45。從圖2（c）可以看出，λ=1.45 時(shí)，該系統(tǒng)在=0 處剛度最小且關(guān)于=0 左右對(duì)稱。α<0.8 時(shí)，系統(tǒng)的剛度為正值；α>0.8 時(shí)，系統(tǒng)的剛度為負(fù)值；α=0.8 時(shí)，系統(tǒng)的剛度為零，這表明豎向彈簧提供的正剛度與橫向拉伸彈簧產(chǎn)生的負(fù)剛度恰好能相互抵消，實(shí)現(xiàn)了零剛度。在實(shí)際工程中，剛度一般取正值，要實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度，剛度比α應(yīng)滿足0.5<α≤0.8。

圖2 長度比、剛度比變化時(shí)無量綱力-位移、剛度-位移曲線

2 簡諧力作用下準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)分析

2.1 動(dòng)力學(xué)微分方程的建立

將式（4）、式（5）代入式（8）得到：

在滿足準(zhǔn)零剛度的條件下，將式（6）代入式（9）得到：

如圖1(c)所示，準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)承載質(zhì)量為m的被隔振物體后，受到重力作用到達(dá)靜態(tài)平衡位置且滿足準(zhǔn)零剛度特性。此時(shí)，被隔振物體的重量完全由被壓縮的豎向彈簧支撐，故被隔振設(shè)備質(zhì)量m滿足條件：

對(duì)系統(tǒng)施加簡諧作用力f=fcos(wt)，建立系統(tǒng)的非線性微分振動(dòng)方程如下：

對(duì)式（12）進(jìn)行無量綱化得到：

2.2 諧波平衡法求解動(dòng)力學(xué)微分方程

對(duì)式（13）采用諧波平衡法并忽略高階諧波求其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解，設(shè)式（13）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解為e=Acos(Wτ+φ)，A是響應(yīng)幅值，將穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解代入式（13）得到準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的諧波響應(yīng)幅頻特性方程為：

由式（14）可以得到：

當(dāng)阻尼比ξ很小時(shí)，向下跳躍頻率Wd對(duì)應(yīng)的響應(yīng)幅值是最大值A(chǔ)max，此時(shí)，得到：

式（17）是關(guān)于A2的一元二次方程，解之得到：

將式（18）代入式（17）得到系統(tǒng)的下跳頻率Wd為：

采用近似法求解上跳頻率，令ξ=0，=0，解之得到：

將式（20）代入式（17）得到系統(tǒng)的上跳頻率Wu：

由式（19）和式（21）得到系統(tǒng)的多穩(wěn)區(qū)域：

阻尼比ξ=0.04，非線性項(xiàng)γ=1.25，激勵(lì)幅值=0.02時(shí)，得到了系統(tǒng)幅頻特性曲線并與數(shù)值方法所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖3所示。

圖3 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)幅頻特性曲線

從圖3 可以看出，用諧波平衡法和數(shù)值方法得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)基本吻合。向右掃頻：頻率比從零開始緩慢增加，則響應(yīng)幅值將從1點(diǎn)連續(xù)變化到2點(diǎn)，2點(diǎn)為鞍結(jié)分岔點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的幅值記為最大值A(chǔ)max。在鞍結(jié)分叉的誘導(dǎo)下響應(yīng)幅值從2 點(diǎn)瞬間跳躍到3點(diǎn)，2 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率稱為向下跳躍頻Wd。頻率比繼續(xù)增大，則響應(yīng)幅值從3 點(diǎn)沿著分叉在其誘導(dǎo)下響應(yīng)幅值從2點(diǎn)瞬間跳躍到3點(diǎn)，2點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率稱為向下跳躍頻Wd。頻率比繼續(xù)增大，則響應(yīng)幅值從3點(diǎn)沿著坐標(biāo)軸正向連續(xù)移動(dòng)到4 點(diǎn)。向左掃頻：隨著較大值處的頻率比減小，響應(yīng)幅值從4 點(diǎn)開始沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向連續(xù)變化到5點(diǎn)，5點(diǎn)為鞍結(jié)分岔點(diǎn)，在鞍結(jié)分叉的誘導(dǎo)下響應(yīng)幅值瞬間從5 點(diǎn)跳躍到6點(diǎn)，5點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率稱為向上跳躍頻率Wu。從6點(diǎn)開始頻率比繼續(xù)減小，響應(yīng)幅值從6 點(diǎn)沿著坐標(biāo)軸負(fù)方向減小。當(dāng)WWd時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；當(dāng)Wu

圖4 胞映射

阻尼比、非線性項(xiàng)、激勵(lì)幅值變化時(shí)，系統(tǒng)的幅頻特性曲線分別如圖5（a）、圖5(b)、圖5（c）所示。

圖5 阻尼比、非線性項(xiàng)、激勵(lì)幅值變化時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線

2.3 穩(wěn)定性判別

從圖（3）可以看出，準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)存在多態(tài)共存，會(huì)發(fā)生頻率跳躍。其中兩個(gè)穩(wěn)定解和一個(gè)不穩(wěn)定解可根據(jù)目標(biāo)周期軌道鎮(zhèn)定化。因此，有必要對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行判別。在進(jìn)行穩(wěn)定性判別時(shí)，采用馬蒂厄方程，首先引入一個(gè)非常小的擾動(dòng)項(xiàng)，設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解=Acos(Wτ+φ)+，則：

將式（23）、式（24）代入式（13），得到馬蒂厄方程如下：

將式（26）、式（27）代入式（25）得到：

將式（29）、式（30）代入式（28）得到：

聯(lián)立式（31）、式（32）得到準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別條件如下：

若系統(tǒng)的判別式的值Δ<0，則系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，在幅頻特性曲線中表現(xiàn)為頻率的跳躍；若系統(tǒng)的判別式Δ>0，則系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。由式（33）可得系統(tǒng)在不同激勵(lì)力下的穩(wěn)定邊界和幅頻響應(yīng)，如圖6所示。

從圖6 可以看出，阻尼比、非線性項(xiàng)一定時(shí)，隨著激勵(lì)幅值的增加，隔振系統(tǒng)的響應(yīng)幅值逐漸增加且共振頻率增加，但是穩(wěn)定邊界不受影響；該系統(tǒng)共有3個(gè)周期響應(yīng)解，其中兩個(gè)是穩(wěn)定解，分別為上支穩(wěn)定和下支穩(wěn)定，另一個(gè)不穩(wěn)定解是中支不穩(wěn)定；幅頻響應(yīng)曲線落在不穩(wěn)定區(qū)域?qū)?yīng)系統(tǒng)的不穩(wěn)定解。

圖6 激勵(lì)幅值變化時(shí)的穩(wěn)定邊界和幅頻響應(yīng)曲線

3 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)與線性系力傳遞率對(duì)比分析

力傳遞率定義為經(jīng)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)傳遞到剛性基礎(chǔ)力的幅值和激勵(lì)幅值的比值，則力的傳遞率為：

去掉負(fù)剛度后，該隔振系統(tǒng)變?yōu)榫€性隔振系統(tǒng)，其力傳遞率表達(dá)式為：

激勵(lì)幅值、阻尼比、非線性項(xiàng)變化時(shí)系統(tǒng)的力傳遞率曲線分別如圖7（a）、圖7（b）、圖7（c）所示。

從圖7（a）看出，當(dāng)阻尼比ξ=0.2、非線性項(xiàng)γ=0.53 時(shí)，激勵(lì)幅值對(duì)線性隔振系統(tǒng)沒有影響。激勵(lì)幅值f=0.38時(shí)，由式（19）表示的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的起始隔振頻率比為0.73，相比于線性系統(tǒng)，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的起始隔振頻率低，峰值有效減小。隨著激勵(lì)幅值增加，準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的共振峰值增大，系統(tǒng)更容易跳躍，系統(tǒng)的起始隔振頻率也變大。隨著激勵(lì)幅值變大，系統(tǒng)表現(xiàn)出的非線性越強(qiáng)，力傳遞率的共振峰值越大，可能會(huì)導(dǎo)致準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)比線性隔振系統(tǒng)效果差。因此，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)在較小激勵(lì)幅值條件下隔振性能更好。但是在高頻區(qū)激勵(lì)幅值對(duì)準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的隔振性能影響不大。

從圖7(b)可以看出，當(dāng)激勵(lì)幅值f=0.38、非線性項(xiàng)γ=0.53 時(shí)，隨著阻尼比的增加，線性系統(tǒng)的共振頻率沒有變化，共振幅值逐漸減小；而準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的共振幅值和起始隔振頻率越低，系統(tǒng)的隔振頻帶被拓寬，跳躍區(qū)間逐漸減小。因此，在低頻區(qū)較大的阻尼比有利于提升準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的隔振性能，但是在高頻區(qū)，阻尼比對(duì)準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的隔振性能影響不大。

從圖7(c)可以看出，當(dāng)激勵(lì)幅值f=0.4、阻尼比ξ=0.2時(shí)，隨著非線性項(xiàng)的增加，準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的向右彎曲程度增加，起始力傳遞率值和共振幅值變小，但是共振頻率增加，系統(tǒng)的隔振頻帶減小了，不利于低頻隔振。因此，取適當(dāng)非線性項(xiàng)的值有利于提高隔振性能；在高頻區(qū)，非線性項(xiàng)對(duì)準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的隔振性能影響不大。

圖7 力傳遞率曲線

4 結(jié)語

利用正負(fù)剛度并聯(lián)的原理構(gòu)造了1種拉伸式準(zhǔn)零剛度隔振器，建立了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。采用諧波平衡法求解了穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和多穩(wěn)態(tài)區(qū)，與數(shù)值結(jié)果基本吻合，在W=0.4 處用胞映射驗(yàn)證了多態(tài)共存；運(yùn)用馬蒂厄方程進(jìn)行穩(wěn)定性判別。分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)和力傳遞率的影響，主要結(jié)論如下：

（1）通過靜力學(xué)分析確定了系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度的條件，可以調(diào)節(jié)長度比λ和剛度比α使系統(tǒng)在平衡位置處的動(dòng)剛度為零。通過動(dòng)力學(xué)分析表明，較小的激勵(lì)幅值和較大的阻尼比ξ有利于提高隔振性能，而非線性項(xiàng)不宜過大，較大的非線性項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的隔振性能變差。

（2)對(duì)于線性系統(tǒng)，激勵(lì)幅值對(duì)其沒有影響，隨著阻尼比增加，線性系統(tǒng)的響應(yīng)幅值減小，共振頻率不變。在同樣的參數(shù)條件下，明顯可以看出，準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的隔振性能更好。

(3)在簡諧力作用下，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的起始隔振頻率比在0.73 左右，而線性系統(tǒng)的起始隔振頻率比為，相比于線性隔振系統(tǒng)，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的起始隔振頻率比減小了50%左右，拓寬了隔振頻帶，實(shí)現(xiàn)了低頻隔振。