Dashnic-Zusmanovich型矩陣的子直和

戴平凡, 潘 攀

(三明學院信息工程學院，福建 三明 365004)

0 引言

兩個方陣的k-子直和是由Fallat 和Johnson[1]首先介紹，它是通常矩陣和的推廣。子直和有許多的應用，例如，矩陣補全問題、域分解方法中的重疊子域、有限元中的整體剛度矩陣等[1–4]。迄今，子直和的性質已被廣泛研究[5–10]。給定一類矩陣的k-子直和是否屬于相同類？這是一個重要的問題[1–6]。在文獻[2]中，Bru 等獲得兩個非奇異M-矩陣的子直和是非奇異M-矩陣的充分條件。在文獻[5]中，Bru 等證明S-嚴格對角占優矩陣的k-子直和是S-嚴格對角占優矩陣。此外，∑-嚴格對角占優矩陣、雙對角占優矩陣、α1-矩陣、α2-矩陣、H-矩陣、B-矩陣和雙B-矩陣的子直和問題在文獻[6—10]中分別被研究。最近，Li 等分別研究了Nekrasov 矩陣[11]和弱鏈對角占優矩陣[12]的子直和問題。Gao 等研究了QN-矩陣的子直和[13]。

在文獻[14]中，Zhao 等定義了Dashnic-Zusmanovich 型(DZ-型)矩陣且給了一個新的矩陣特征值定位集。本文關注DZ-型矩陣的子直和，將提供一些充分條件，使得DZ-型矩陣的k-子直和仍是DZ-型矩陣。

本文中，記號C 指復數域，Cn×n指n階復矩陣，|a|指復數a的模。

定義1[1]設A ∈Cn1×n1, B ∈Cn2×n2且A22,B11∈Ck×k(1≤k ≤min(n1,n2))，

其中t=n1?k, S1={1,··· ,n1?k}, S2={n1?k+1,··· ,n1}, S3={n1+1,...,n}。如果我們記

其中

文獻[14]指出DZ-型矩陣類是H-矩陣的一個子類，且包含嚴格對角占優矩陣類。

1 主要結果

首先，給一個例子指出，兩個DZ-型矩陣的子直和可能不是一個DZ-型矩陣。考慮DZ-型矩陣A和B如下

它們的1-子直和C=A ⊕1B為

這里C不是DZ-型矩陣，因為對i=4，不存在指標j ∈{1,2,3,5}，使得(2)式成立。

上面例子促使我們尋找DZ-型矩陣的子直和仍是DZ-型矩陣的條件，我們首先研究DZ-型矩陣的1-子直和。

定理1 假定A=(aij)和B=(bij)分別是形如(1)中n1和n2階的分塊矩陣。設k=1 和S1={1,··· ,n1?1}, S2={n1}, S3={n1+1,··· ,n}，其中n=n1+n2?k。設A和B是DZ-型矩陣，如果A22和B11的所有對角元素對應成任意正比例，并且下列條件

對每個i ∈S3，如果(5)式中j/∈S2，即(5)式中j ∈S3{i}，那么我們有

故1-子直和C=A ⊕1B是DZ-型矩陣。

定理2 假定A=(aij)和B=(bij)分別是形如(1)中n1和n2階的分塊矩陣。設k=1 和S1={1,··· ,n1?1}, S2={n1}, S3={n1+1,··· ,n}，其中n=n1+n2?k。設A和B是DZ-型矩陣，如果A22和B11的所有對角元素對應成任意正比例，并且下列條件之一成立：

因此，C=A ⊕1B是DZ-型矩陣的條件剛好包含在(a)中。

(b)的證明類似于(a)的情況。因此，結論成立。

類似于定理2 的證明，不難獲得下列推論。

推論1 假定A=(aij)和B=(bij)分別是形如(1)中n1和n2階的分塊矩陣。設k=1 和S1={1,··· ,n1?1}, S2={n1}, S3={n1+1,··· ,n}，其中n=n1+n2?k。設A和B是DZ-型矩陣，如果A22和B11的所有對角元素對應成任意正比例，A12=B21=0，且下列條件成立：

因為對每個i ∈{1,2,··· ,7}，至少存在一個指標j ∈{1,2,··· ,7}{i}，使得

成立，所以1-子直和C=A ⊕1B是DZ-型矩陣。

下面的例子表明兩個DZ-型矩陣的1-子直和是一個DZ-型矩陣，但DZ-型矩陣的2-子直和C=A ⊕2B不是DZ-型矩陣。

例2 考慮下列DZ-型矩陣

這里C不是DZ-型矩陣，因為對i=6，沒有指標j ∈{1,2,3,4,5}，使得

成立。

例2 促使我們研究C=A ⊕k B對k ≥2 是否是DZ-型矩陣的問題，當A和B是DZ-型矩陣，我們需要下列輔助結論。

引理2 假設A= (aij)和B= (bij)分別是形如(1)中n1和n2階的分塊矩陣。設S1={1,··· ,n1?k}, S2={n1?k+1,··· ,n1}, S3={n1+1,··· ,n}，其中2≤k ≤min{n1,n2}, n=n1+n2?k。設A和B是DZ-型矩陣，如果A22和B11的所有對角元素對應成任意正比例且

成立。

情形2 對每個i ∈S2，注意到存在j ∈S1，使得(10)式成立，那么用條件(9)和引理1，我們能推斷

對每個i ∈S3，如果(11)式中j/∈S2，即(11)式中j ∈S3{i}，那么我們有

成立，故當2≤k ≤min(n1,n2)時，k-子直和C=A ⊕1B是DZ-型矩陣。

注1 當2≤k ≤min(n1,n2)時，k-子直和C=A ⊕k B是DZ-型矩陣所要求的條件與當k=1 時，1-子直和C=A ⊕1B是DZ-型矩陣的條件相同。

這里C是DZ-型矩陣，因為對任意指標i ∈ {1,2,··· ,6}，至少存在一個指標j ∈{1,2,··· ,6}{i}，使得

成立。

在一些應用中，例如，域分解[15–16]、矩陣A和B是形如(1)中的分塊矩陣，且帶有一個相同的塊，即A22=B11。像定理3 一樣，我們可以給一些充分條件：當A22=B11時確保k-子直和C=A ⊕k B是一個DZ-型矩陣，在此之前我們需要下列結果。

引理3 假設A= (aij)和B= (bij)分別是形如(1)分塊的n1和n2階矩陣，且S1={1,··· ,n1?k}, S2={n1?k+ 1,··· ,n1}, S3={n1+ 1,··· ,n}，其中2≤k ≤min(n1,n2), n=n1+n2?k。設A和B是DZ-型矩陣，如果A22=B11，下列不等式

因此，由(12)式、引理2 證明中不等式推導之最后三個等式，可由下列兩個等式替換

故結果成立。

因此，我們得到結論：k-子直和C=A ⊕k B,2≤k ≤min(n1,n2)，是DZ-型矩陣。類似上面的證明，由條件(b)易得k-子直和C=A ⊕k B是DZ-型矩陣。

推論2 假設A= (aij)和B= (bij)分別是形如(1)分塊的n1階和n2階DZ-型矩陣，且S1={1,··· ,n1?k}, S2={n1?k+ 1,··· ,n1}, S3={n1+ 1,··· ,n}，其中2≤k ≤min(n1,n2), n=n1+n2?k。設A和B是DZ-型矩陣，如果A22=B11, A12=B21=0，則

這里C是DZ-型矩陣，對任意i ∈{1,2,··· ,6}，存在j ∈{1,2,··· ,6}{i}，使得

這里C是DZ-型矩陣，對任意i ∈{1,2,··· ,6}，存在j ∈{1,2,··· ,6}{i}，使得

成立。

2 結論

本文給出了判定Dashnic-Zusmanovich 型矩陣的子直和是Dashnic-Zusmanovich 型矩陣的一些充分條件。特別地，我們找到了一些容易檢測的條件，使得當A和B是DZ-型矩陣時，1-子直和C=A ⊕1B是DZ-型矩陣。例2 表明：當k ≥2 時，C=A ⊕k B可能不是DZ-型矩陣。像1-子直和C=A ⊕1B一樣，我們也找到了一些充分條件：當k ≥2 且A和B是DZ-型矩陣時，DZ-型矩陣的子直和C=A⊕k B仍是DZ-型矩陣。