薛加付

(江蘇省灌云高級中學城西分校 222200)

初中數學的動點問題有著較強的靈活性，出題形式各異，解題方法也不盡相同.在做動點問題的時候需要掌握一定的思路，把握住題干的關鍵之處，將題干分解成一系列小的問題，再進行逐一分析，逐一突破.動點問題中主要包含圖形轉換、三角函數等問題，對學生的解題思路與技巧要求較高，因此此類題型也比較困難.在教學過程中，教師要對這些類型的題目重視起來，進行有針對性地指導，促使學生對動點問題的分析與思考，掌握解題策略,培養解題思維，提高數學學習能力.

1 動點問題的現狀

1.1 數量關系混亂

解決動點問題的關鍵之處在于學生是否能夠理清楚其中的數量關系，然而在現實的做題過程中，學生對于這一部分的分析能力偏弱.由于動點問題在幾何中的運用使得數形結合，題目中還會出現一定的變量與常量，這也就導致了學生在做題的時候常常理不清楚各種數量關系以及它們之間的關系，這就需要學生在解答的過程中格外細心.

1.2 空間感的缺失

動點問題中最大的一個特點就是它有一個或者若干個點是運動的，在這種情況下，學生必須要具有一定的空間感能力，展開合理的想象并且根據題意進行圖形繪制，這種動態的空間感想象，對于一部缺失空間感或者空間感差的學生來講，還是有較大的難度的，這也就導致他們在做題時，無法把握題目中的運動情形.

1.3 找不準切入點

動點問題在初中數學中的應用內容比較多，部分學生在做題時，對問題的類型不太明了，分不清類別.在處理這類問題時，要找準解題的切入點.具體來看，動點問題與圖形的結合中主要包含三角形、四邊形、多邊形等，此外還有一些與直線和函數的問題等.不同類別的動點問題，解題方法也是不同的.對于那些類似的圖形結合的動點問題，在一定程度上是存在相似的解題思路的.因此，在做動點問題的時候，學生要學會找準切入點，判斷題目類型，結合自身知識對題目進行分析與解決，同時也要多下功夫提高自己的解題能力.

2 動點問題的解題策略

2.1 動靜結合，找準數量關系

動點問題的實質是在運動場景下的問題.動點問題在實際的解題過程中是具有一定技巧的，動靜結合的同時，必然存在著動中有靜、靜中有動的規律特點.這些問題，除了教師要在課堂上進行動點問題的演示與指導，還需要提高學生在這方面的理解.其中最主要的是，學生要搞清楚題目中的變量與常量以及它們之間的關系，運用動靜結合的方法,找到解題的思路.如題:在正方形ABCD中，P是BC上的一個動點，其中，∠APE是直角，正方形的外角∠DCF的角平分線CE與PE相交于點E，證明:AP=FP.在解這道題時，首先需要畫圖，然后再根據教師的指導，利用全等三角形的相關知識進行證明，P是一個動點，所以其所在的線段不能直接作為解題的條件，這就需要老師引導學生思考點P運動到哪里才能夠出現適合證明全等三角形的對應條件呢?經過引導，學生很快可以想到，P點到達BC的中點時，可以轉化成為一個靜態的點，這時問題就可以迎刃而解了.

2.2 學會畫圖

在動點問題的解答過程中，輔助性解題畫圖是必不可少的.很大一部分同學解決不好此類題目一個重要的原因就是不會畫圖.而不會畫圖又分很多種情況，具體包括繪制錯誤、找不到繪圖信息甚至不會畫圖等等.這些情況的出現都與學生空間感的差異有一定的關系.另外，對于題目理解得不透徹，也是畫圖畫不清晰的一個原因.動點問題的“動態”特質，決定了它是運動著的場景，而運動體現在數學題目中又是一個十分抽象的狀態，這就要求學生必須要學會輔助性畫圖解題的技能.如何鍛煉自己的這方面能力呢？首先，對于所給題干，一定要將已知條件羅列清晰，根據所有的已知條件，將簡單的幾何圖形勾勒出來，并且將已知條件進行標注；再者，整理好已知條件后，要將題干隱形的已知條件挖掘出來.例如：正方形就說明它的邊長長度是一樣的；等腰三角形就說明這個三角形的兩條邊是相等的；而直角三角形，說明是滿足勾股定理的等等.這些隱形的已知條件也就是數學學習的基礎性知識，需要學生在日常的學習中有一定的積累；最后，根據所有整理的已知條件，將問題代入，完善圖形，進行題目的解答.繪圖輔助解答會大大降低動點問題的難度，是學生對于解答動點問題一個非常便捷且有效的學習方法.除此之外，培養學生的空間感也可以從日常的教學中入手，教師應當有意識地對于空間圖形進行演示教學，引導學生一起積極思考，有意識地構建出適合自己的空間想象體，為解答問題提供便利.

2.3 找準解題切入點

對于不同類型的動點問題，解題的方法也存在著一定的差異.但對于相似類型的題目而言，在解答時候也是存在著相似之處.所以，分類學習、歸納學習對于初中生來講也是非常重要的.只有弄清楚大的類別，才能夠找準題目的切入點，結合自己所學的知識，對動點題目進行思考與分析.動點問題所涉及到的類型多種多樣，學生在解答題目的時候也要分門別類，了解不同類型的解題思路.比如說，在做題時候，要明白這些問題是三角形和多邊形中的動點，還是在線段上的動點；是多種圖形結合起來的動點還是單一的動點；是線段和的動點還是線段差的動點；是求動點所組成的圖形面積還是證明組成圖形的一些條件等等.通過對題干進行透徹的分析，找準解題切入點.學生對于這些類別有所分辨之后，解題就會容易很多.例如,在線段動點的解答過程中，學生可以利用兩點之間垂線的距離最短進行輔助性解題，突破一些最值的問題；如果是在圖形類的動點問題，可以嘗試引導學生通過將動點與圖形的一些定值以及比值作為突破口進行解答等.這種解題的方法需要教師有耐心地引導，培養學生對于切入點有著很強的敏感度，看到什么圖形就可以想到對應的解題切入點，當學生對于切入點可以準確地把握時，解題的技巧也就得到了提升，解題的難度也就會隨之下降，動點問題的難度就會有了明顯的降低.

2.4 建立變量的函數關系

依據前面動靜結合的思路，學生在做題的過程中接觸的做題方法主要是利用函數圖象來展現動點的變化行跡，以此來建立變量之間的函數關系，通過圖形表現出來.這里對變量的研究我們可以采用發展的觀點去看待，使得問題解決起來更加順利.例如：一只小老鼠從A點出發，沿著扇形APE(圖1所示)的邊緣部分勻速的移動一周，設小老鼠移動的時間為t，小老鼠到A點的距離為S.試求S關于t的函數圖像.

圖1

分析小老鼠從A→P的移動過程中，小老鼠到A點的距離會隨著它的移動時間t的增大而增大，小老鼠從P→E的移動過程中，它到A點的距離S基本保持不變，小老鼠從E→A的運動過程中，小老鼠到A點的距離S會隨著時間t的增大而減小，因此S關于t的函數圖象就可以展現出來.通過對這個問題思考與分析，在解決相似類型的題目時，學生就會有了一定的解題思路，不再手足無措.

3 函數動點問題典例分析

動點在函數中的運用屬于比較困難的一類問題，并且在近些年的中考中出現的頻率也有所提高，這無疑提高了解題的難度，所以在教學活動中，教師與學生也要將此類問題重視起來，下面通過一道例題進行淺析.

如圖2(a)，拋物線y=-x2+bx+c交x軸于點A(-3, 0)和點B,交y軸于點C(0, 3).

圖2

(1)求拋物線的函數表達式;

(2)若點P在拋物線上，且S△AOP=4S△BOC, 求點P的坐標;

(3)如圖2(b),設點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D,求線段DQ長度的最大值.

解答思路：(1) 把點A、C的坐標分別代入函數解析式,得出關于系數的方程組，通過解方程組獲得系數的數值.

(2)設P點坐標為(x，-x2-2x+3)，根據S△AOP=4S△BOC列出關于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標.

(3)先運用待定系數法求出直線AC的解析式為y=x+3,再設Q點坐標為(x,x+3) ，則D點坐標為(x,-x2-2x+3)，然后用含x的代數式表示QD,根據二次函數的性質即可求出線段QD長度的最大值.

關于函數中的動點問題，學生要打好堅實的基礎，老師再進行有針對的指導，共同攻克這一難題，提升學生對于動點函數問題的解答能力.

總之，初中階段的動點問題是難度較大的，并且在初中階段所占的比例也比較大.想要突破性的解決動點問題，學生必須要學會相對應的學習技巧與解題思路，學會將動態問題化作靜態問題進行解答，降低問題的難度.教師在教學過程中也要有意識地培養學生解答動點問題的解題思維，準備大量的練習題，讓同學們在總結中成長，在實踐中鍛煉自己的解題能力，從而在應對動點問題時可以做到“手到擒來”.