初中數學動點問題解決策略研究

吳麗蓉

(福建省漳州市第三中學 363000)

1 初中數學動點問題概述

動點問題又被稱之為“幾何動態”題目，通常是指在一個幾何圖形中，存在某一個動點，這些動點可以沿著特定的方向，或者在特定的范圍內進行移動.在此基礎上，結合動點的運動特點，對幾何圖形的變化規律展開探究.與其他的題目類型相比，動點問題更具有綜合性，是對基礎知識的升華.學生在進行解答的過程中，常常需要包攬所有的數學知識點，要具備很高的知識掌握水平、數學理解能力、知識遷移和應用能力等.可以說，動點問題具備一定的選拔性，在中考等選拔性考試中尤為常見.

2 初中數學動點問題解決策略研究

2.1 單動點問題解決策略

單動點數學問題，顧名思義就是只有一個運動的點.通常，這一類題目常常出現在“平行四邊形性質和判定、特殊三角形的性質和判定、勾股定理、函數圖像”等知識點的綜合考查中.在對這一類動點問題進行解決的過程中，對其進行分析和轉化，找出具體的解題思路，是唯一的方法.

2.1.1 點在直線上運動

例1如圖1所示：牧馬人從A地出發，走到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人找到河邊的什么地方飲馬？可使得其所走的路程最短？

圖1

這一道數學題目，實際上就是考查了“點在直線上運動”，即在直線l上確定點C，使得其滿足題意.學生在對其進行解答的時候，可先作出點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′，線段AB′與直線l的交點C即為所求.可以說，這一道數學題目就是典型的單動點問題，運用到的基本數學思路是：利用對稱，把直線同側兩點轉化為在直線兩側的兩點.兩個定點分別在已知直線的兩側，如何在直線上求一個動點，使其達到這兩個點的距離最短.

2.1.2 點在數軸上運動

數軸是初中數學中最為重要一個部分內容，也是一種特殊的工具.將幾何和代數結合起來,動點在數軸上的運用也比較常見，不僅是學生學習的重難點，也是發展學生數形結合思想的關鍵.例如，在數軸上有三個點，分別為A、B、C，其中點A表示的數為1，點B表示的數為-5.點C為數軸上的動點.如果C到A的距離等于2倍的C到B的距離，求C表示的數？

在這一題目解答的過程中，學生需要運用到分類討論的思想，先結合題目中給出來的已知條件，設C表示的點為X，并從題目中得出AC=2BC.之后，開展分類討論，得出最終的正確答案.在對這一類數學題目進行解答的時候，分類討論是關鍵，必須要明確不同的情況，并圍繞其展開討論，最終得到相應的解決方案.

2.1.3 等角形問題

在初中數學學習中，等角形問題主要是動點與角有關的問題.通常情況下，在這一類型的數學題目中，常常要求學生在給出來的數學圖形上，或者某一個區域中確定一個或者幾個以動點作為定點的角，使其于已知的角相等.例如：如圖2所示，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A、B兩點，其中，A(1，0)、B(4，0)；與y軸相交于點C(0,2)，連接AC、BC.求：拋物線的解析式；如果點P在拋物線的對稱軸上運動，要使∠CPB=∠CAB，求P點的坐標.

圖2

這就是一道十分典型的等角形問題，在對這一題目解決的過程中，我們常常需要借助待定系數法，由問題中給出的條件∠CPB=∠CAB，可知角的兩邊都要經過B、C兩點，進而逐漸聯想到“同弧所對的圓周角相等”這一數學定律，并由此想到：只要將△ABC的外接圓做出來，使其與對稱軸相交于兩個點.之后，學生就可輕松利用第一問的解析式，采用分類討論的方式，圍繞當點P位于BC下方、當點P位于BC上方的時候，分別進行討論，并做出相應地解答.

2.1.4 動點與三角形相關的問題

在初中數學考試中，關于“動點和三角形相結合”的考查最為常見，主要包括：動點和特殊三角形、動點與三角形面積、動點與三角形周長、動點與相似三角形等.例如，已知線段AB，在平面上取一點P，使△PAB為直角三角形.這一數學題目就考查了構建直角，即動點與特殊三角形這一問題.在這一數學題目中，涉及到的基本原理主要包括兩個方面，即：如果線段AB為斜邊，那么點P必定在以AB為直徑的圓上；如果線段AB為直角邊，以點A為直角的頂點，則點P必然在過點A的AB垂線上；如果線段AB為直角邊，以點B為直角的頂點，則點P必然在過點B的AB垂線上；在這一道數學題目中，由于直角的位置不確定，學生必須要結合基本的定理，通過具體問題具體分析，結合不同的情況，運用不同的知識點進行求解.

2.1.5 動點與四邊形有關的問題

在初中數學教學中，動點與四邊形相關的問題也比較常見，主要體現在：面積最值問題、周長最值問題、構造特殊四邊形等問題.例如：如圖3所示，已知拋物線y=ax2+bx+c(a、b、c為常數，且a≠0)經過點A(-1,0)、B(5，-6)、C(6,0)，求拋物線的解析式；在直線AB下方的拋物線上是否存在一點P，使得四邊形PACB的面積最大？如果存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

圖3

學生在對這一數學題目進行分析的時候，可借助拋物線交點式，以及待定系數法進行解析；在對第二問進行求解的時候，可將平行四邊形面積進行轉化，使其成為求解三角形面積問題.在進行轉化的過程中，可指導學生分析題意，確定出△ABC面積，學生只需要將△ABP面積確定出來即可.由于這一道數學題目中，要想求出四邊形面積最大的動點坐標，可將其轉化為求△ABP面積最大時候的動點坐標.隨即，借助“切割法”的原理，學生只需要將切割線最大時的動點坐標確定出來即可.

2.2 雙動點問題解決策略

與單動點問題相比，雙動點問題難度比較大，對學生的數學基礎知識、思維、綜合能力要求相對較高.結合“雙動點”數學問題的內涵，在對其進行解答的時候，常?？赏ㄟ^四步進行，即：一判、二找、三分類、四計算.首先，判斷題目的類型，分析其屬于單動點還是雙動點的數學問題，明確題目中要求的數學問題是特殊的圖形，還是周長和面積等；其次，對題目進行分析，找出題目中給出的不變因素，以減少解題時候的分類討論情況，使得復雜的數學問題變得更加簡單、明了；再次，結合數學題目中的不變量、不變形進行作圖分析，再結合題目中所求的數學問題，展開分類討論；最后，利用所學的數學基礎知識，根據圖形中的幾何特征，展開解題計算.

鑒于雙動點數學問題的內涵，在對其進行解答的時候，常常要運用一定的化歸思想，將題目中的雙動點、多個動點進行轉化，使其成為單動點的數學問題.并且還要充分利用題目中的“不變性、不變量”進行轉化，旨在減少變量的效果；另外，鑒于數學雙動點考查的數學題目，常常要結合數學題目展開分類討論.在展開分類討論的時候，基本上都是結合題目中的“不變量”、“不變性”展開的.學生只要具備扎實的數學基礎知識、基本技能，即可在有效的分類討論中，完成雙動點數學問題的解答.

圖4

這是一道典型的雙動點數學問題，以三角形作為背景，題目中存在一個定點C，其余的兩點M、N均為動點.在對這一數學問題進行解決的時候，基本上都是遵循“化歸思想”，按照上述的步驟，利用“對稱性”的原則，將定點進行轉化，并得出“垂直線段最短”這一結論，進而解決所求的問題.

綜上所述，在初中數學題目中，動點問題尤為常見，且學生的失分率比較高.同時，動點問題不僅考查了學生的數學基礎知識，也融入了大量的數學核心素養.因此，初中數學教師在安排課堂教學時，不僅要關注數學動點問題，還應結合不同的動點問題，采取最佳的教學策略，引導學生在學習中，總結出數學動點問題的一般解題思路.