基于頻域平穩性的高速機車懸掛參數優化匹配

姚 遠，任鋮銘，陳相旺，劉曉雪

（1.西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031；2.大連交通大學機車車輛工程學院，遼寧 大連

116028）

懸掛參數優化是機車車輛動力學性能設計的重要環節，是保障列車穩定、安全和平順運行的重要措施.近年來，廣泛研究利用主動或半主動控制以及新型懸掛元件可以有效提升并實現兼顧車輛橫向穩定性和曲線通過等動力學性能[1-5]，但仍因其成本和可靠性問題并未進行廣泛的應用.針對傳統的被動懸掛參數進行系統優化仍是提升機車車輛動力學性能的有效方法.機車車輛橫向動力學性能包括直線穩定性、平穩性和曲線通過性能，傳統的懸掛參數優化工作較多體現在依賴豐富的工程設計經驗通過多次單參數優化以選取具有矛盾對立性的動力學性能指標，如直線穩定性與曲線通過能、車體平穩性與懸掛元件撓度等等，兼顧各方面性能、折衷選取合適的懸掛參數.近年來，隨著運行速度提高和輕量化設計，高速機車在實際運用中出現了低輪軌接觸等效錐度導致的低頻晃車現象和高錐度引起的高頻抖車現象，兩種狀態下對橫向穩定性的不同要求導致在懸掛設計時參數出現一定矛盾性，需要折衷選取合適的參數[6].另外，機車車輛動力學性能受多個懸掛參數的影響，在懸掛參數優化設計時需要考慮到各參數之間的協同優化匹配[7].

近年來，多參數多目標優化方法開始應用到機車車輛的懸掛參數設計中[8-14]，采用如遺傳和粒子群等優化算法實現對多個懸掛參數的同時迭代運算，自動朝著多個指定的動力學性能指標進行優化，然后分析人員可以從優化結果中人為選取需要的目標性能指標及其對應的懸掛參數，采用該方法可以系統地實現懸掛參數優化和車輛系統動態性能設計，減少傳統優化設計方法對車輛系統動力學分析經驗的依賴.

1 頻域平穩性與虛擬激勵法

1.1 動力學模型

根據國內某時速160 k m的高速機車結構參數建立如圖1所示的機車橫向動力學模型，圖中：kpy、kpx分別為輪對與構架之間一系懸掛橫向、縱向定位剛度；ksy、ksx（csy、csx）分別為車體與構架之間設有的橫向、縱向二系懸掛剛度（阻尼）；kny、knx（csy、csx）分別為抗蛇行減振器和二系橫向減振器剛度（阻尼 ）；kmy、cmy分別為電機彈性架剛度和阻尼 ；kmc為聯軸器橫向剛度 ；其余主要結構參數見表1.該模型包括1個車體、2個構架、4個輪對、4個橫向彈性懸掛電機，共11個剛體.車體和構架具有橫向、搖頭和側滾自由度；輪對具有橫向和搖頭自由度；電機具有橫向自由度.同時根據當前高速機車實際結構，考慮到了兩種不同的抗蛇行減振器布置方式及其與車體縱向中心線的安裝角度α，如圖2中mode 1和mode 2所示：mode 1 表示兩側抗蛇行減振器與轉向架連接端靠近構架近車體中心的端部，稱之為同側內置；mode 2表示兩側抗蛇行減振器與轉向架連接端靠近構架中心斜對稱布置在構架兩側，稱之為斜對稱布置.

表1 模型部分參數Tab.1 Partial parameters of model

圖1 機車橫向動力學模型Fig.1 Lateral dynamics model of locomotive

圖2 抗蛇行減振器兩種布置方式Fig.2 Two arrangement modes of yaw damper

本文針對機車進行線性穩定性和基于線性系統隨機振動響應的頻域平穩性分析，動力學模型采用線性結構參數，輪軌接觸幾何采用等效錐度來表示，輪軌切向力采用Kalker線性理論計算，機車動力學模型為

式中：y為系統的自由度矢量；M、C、K、Q分別為系統的質量、阻尼、剛度、激勵矩陣；f(t)為激勵向量，t為時間.

采用復模態計算方法，將式（1）整理成狀態空間形式進行線性系統穩定性分析.系統矩陣的每一對共軛復特征根實部與模之比為負值時表示穩定模態，其負值對應該模態的阻尼比ζ，ζ為正時表明該線性系統是穩定性.當系統只要存在實部為正數的特征根，表明該系統不穩定.對于軌道車輛系統，與運行速度相關的振動模態稱之為蛇行模態，通常低頻的蛇行模態決定了系統穩定性.本文選取較小值作為優化方向，故定義ζ為負值時系統為穩定狀態，蛇行模態最大阻尼比ζmax決定了系統的穩定性，定義ζmax為系統線性穩定性指標.

1.2 頻域平穩性

平穩性指標是度量機車懸掛系統性能的一項重要指標，較為常用的Sperling指標為

式中：Ai為頻率fi下的振動加速度最大值（cm/s2），fi為第i級振動頻率（Hz）；F(fi)為頻率加權系數.

對于實際列車運行過程連續的隨機振動信號，可以采用頻域法計算平穩性指標W.頻域法平穩性計算公式是對Sperling公式的一種改進運算，如式（3）.

式中：f為功率譜函數的頻率值；G1(f)為加速度時間歷程樣本的功率譜密度函數；C1對于橫向平穩性計算取0.83；B1為頻率加權函數[15].

本文通過虛擬激勵法求得車體橫向振動在隨機軌道不平順的頻響函數，再利用頻響函數求得機車相關部分的虛擬位移響應及相應的功率譜密度，并代入式（3）計算車體平穩性指標.頻域平穩性指標計算因不需對動力學模型進行時域仿真而具有計算速度快的優點，有利于后文對機車懸掛參數的多目標多參數優化分析.

1.3 虛擬激勵法

隨機振動響應的分析過程中，傳統的CQC（complete-quadratic-combination）、SRSS （squareroot-sum-square）方法計算量龐大，且精度無法得到充分保證.虛擬激勵法是近年由我國學者提出用于結構系統隨機振動分析新方法，它以簡諧振動代替平穩隨機振動過程，以逐步積分代替了非平穩隨機振動，將復雜的隨機響應分解為這兩種形式的耦合，從而通過較為簡單的方法以及顯著減少的計算量來高效解決平穩及非平穩隨機振動響應的問題[16].假定線性時不變系統受到的外界激勵為x(t)，其自譜密度為Sxx，根據隨機振動理論的公式可知響應的自譜密度為

式中：H(ω)為頻響函數.加入系數，即構造虛擬激勵

當以簡諧激勵x(t) = eiωt作為外界激勵時，其響應y=H(ω)eiωt，對比式（4），可以在簡諧激勵x(t)中

則其響應為

進一步運算可得

由于隨機振動理論核心公式可以方便地在自譜與互譜直接轉換，因此可以通過虛擬激勵法快速靈活地得到所需的功率譜.

對于機車模型而言，輪對與軌道存在n個接觸點，這些接觸點僅有時延上的差別，激勵向量為

式中：aj（j=1，2，…，n）為激勵強度的常數；Fr為激勵函數；tj為各點激勵的時延.

已知軌道不平順的自譜密度為SFF，則構造的簡諧激勵為

進一步構造的虛擬激勵為

將虛擬激勵代入式（1）后，得到虛擬位移響應為

根據式（7）可得虛擬位移響應的自功率譜為

近年來，在輪軌交通系統動力學領域有較多文獻利用虛擬激勵法進行車、線、橋和隧道系統的垂向隨機振動和動態載荷等研究[17-18]，但在車輛系統橫向動力學領域還未見報道.本文采用德國高干擾軌道譜作為軌道軌向不平順激勵，根據虛擬激勵法對機車橫向動力學系統計算虛擬位移響應及虛擬加速度響應，從而得到機車前、后司機室橫向平穩性指標Wf和Wb，并依此作為高速機車橫向動力學性能指標對機車懸掛參數優化匹配進行研究.

2 懸掛參數多目標優化

2.1 多目標優化方法

多目標優化區別于單目標優化問題，對于單目標優化能夠尋找到確定的一個或一組最優解，使目標達到最優值，而多目標優化的理想情況是令所有目標達到最優值，但就一個整體的系統來說，這種情況難以實現，因此需要選擇能夠同時兼顧多個目標的折中方案.多目標優化問題通常存在著一個解集，稱為Pareto最優解，其在目標函數空間中的像被稱為Pareto前沿.Pareto前沿為優化后的目標值，每個點都具有其他點所不具有的優勢，可以從中尋找規律，根據設計側重點的不同，可以人為在Pareto集中選取滿足性能要求的優化解.NSGA-Ⅱ算法（nondominated sorting genetic algorithm-Ⅱ）能夠保持類群的多樣性，提高計算效率，是目前解決多目標優化問題常用的一類有效的算法[19].本文選用帶有精英策略的快速非支配排序遺傳算法NSGA-Ⅱ進行多目標優化設計.針對機車橫向動力學性能進行優化，以ζmax和Wf、Wb為優化目標.優化問題可表示為 min{Wf,Wb,ζmax}.

根據現有機車實際結構參數，其二系水平剛度調整范圍有限.本文針對機車直線平穩性和穩定性進行優化設計，因此針對該優化問題選取kpx、kpy、csx、csy、抗蛇行減振器串聯剛度kncsx以及α作為優化參數，根據實際機車較為常用的懸掛參數取值，具體的優化范圍見表2.

表2 懸掛參數優化范圍Tab.2 Optimization range of suspension parameters

2.2 多目標優化結果

以國內某型高速機車為研究對象，對以上6個懸掛參數進行多目標多參數優化，通過不斷迭代和更新懸掛參數以獲取針對優化目標更佳的機車動力學性能，得到關于此多目標優化問題的Pareto前沿和Pareto參數集.圖3為兩種抗蛇行減振器布置方式（mode 1和mode 2）對應的Pareto優化目標前沿.基于機車在實際運用過程中出現的因較小輪軌接觸錐度引起的低頻晃車問題和因較高輪軌接觸錐度引起的高頻抖車問題，分別選取等效錐度λ為0.05、0.30和0.60 的情況進行分析及對機車動力學性能優化.圖中：Wf、Wb數值越小代表平穩性越好，圖中點顏色越深表示機車橫向穩定性指標ζmax值越小，表明系統越穩定.

圖3 動力學性能多目標優化Pareto前沿Fig.3 Pareto frontier of multi-objective optimization

由圖3可知：1）當λ ≥0.30的高錐度工況時，在給定懸掛參數優化范圍內通過遺傳算法優化，兩種抗蛇行布置方案機車的可實現ζmax可達 ?0.34；λ=0.05低錐度工況時，可實現最優的ζmax為 ?0.15，表示機車在低錐度下穩定性較差；針對mode 2在低錐度工況，Wb要顯著劣于Wf，高錐度工況則不存在該現象；對于mode 1，3種錐度工況可實現的Wb與Wf相當，與兩種抗蛇行減振器布置方式的機車在實際運用過程中的表現一致.由此證明了抗蛇行減振器布置方式是形成該兩款機車前后橫向平穩性差異的主要原因，也驗證了所建機車橫向動力學模型的合理性.

2）對于低錐度工況，兩種抗蛇行布置方案對應車體橫向平穩性與機車穩定性的相關性要顯著強于高錐度工況計算結果，ζmax= ?0.30時，其車體橫向平穩性反而明顯劣于ζmax= ?0.15時的結果.因此，對于低錐度工況，為了保證能迅速衰減機車橫向振動，需要提高蛇行模態阻尼比，機車動力學性能設計更需要關注其橫向穩定性；而對于高錐度工況，機車蛇行模態阻尼比在滿足一定條件時更需關注其橫向平穩性.

根據計算結果，對于3種輪軌接觸等效錐度工況，選取ζmax＜?0.15，Wb和Wf同時小于2.5作為符合機車動力學性能的條件，對應于圖3中紅色圓圈部分，根據該范圍可以提取對應的懸掛參數，從而分析相應錐度工況機車最優懸掛參數的優化匹配規律.

2.3 最優懸掛參數分布

兩種抗蛇行減振器布置方式機車對應3種輪軌接觸等效錐度工況，符合各個動力學性能條件的最優懸掛參數分布如圖4和圖5所示，其對應動力學性能指標見圖3中紅色圓圈范圍.不同λ對應懸掛參數分布有所不同，從圖中能夠反應高低錐度工況所對應最優懸掛參數分布規律與差別.

圖4 最優懸掛參數分布（mode 1）Fig.4 Distribution of optimal parameters (mode 1)

圖5 最優懸掛參數分布（mode 2）Fig.5 Distribution of optimal parameters (mode 2)

由圖4、5可知：1）對于兩種抗蛇行減振器布置方式mode 1和mode 2，兩者在低錐度工況，一系縱向剛度kpx和抗蛇行減振器阻尼csx分布較為集中，并且取值較小，接近參數優化范圍下限，表示較小的kpx和csx有利于機車低錐度穩定性；隨著錐度λ的增加，兩者優化的kpx、kpy和csx取值增大；對于mode 1，在不同錐度工況下csy和kncsx取值都較小；對于mode 2，優化的csy和kncsx隨著等效錐度的增加而增加.2）兩種抗蛇行減振器布置方式最大區別體現在減振器的最優安裝角度α，在低錐度工況，二者對應α分布較寬，即α對低錐度機車橫向動力學性能影響不敏感；而對應高錐度工況，抗蛇行減振器同側內置（mode 1）需要較大的安裝角度，抗蛇行減振器斜對稱布置（mode 2）對安裝角度不敏感.

3 懸掛參數匹配

3.1 參數篩選法

第2節采用多目標優化方法分析了不同輪軌接觸等效錐度工況對應符合機車橫向動力學性能的懸掛參數分布規律.實際運用過程中隨著輪軌型面磨耗和線路條件的變化，機車動力學性能設計需考慮到機車較寬的服役條件，兼顧不同輪軌接觸狀態的機車動力學性能，因此需同時考慮到高低輪軌接觸狀態對機車懸掛參數進行優化匹配.

針對該6項懸掛參數在計算范圍內形成隨機組合的隨機參數集，并依次賦給機車動力學模型進行動力學性能計算，將符合條件的參數組保留并進行匹配規律分析.選取高低3種不同輪軌接觸等效錐度狀態下機車的穩定性指標ζmax和前、后司機室橫向平穩性指標Wf、Wb作為動力學性能的篩選條件，表3中給出了3種工況下該3個橫向動力學性能指標的閾值.本文針對該6個關鍵懸掛參數生成含有200000組均勻分布隨機參數的矩陣，逐組賦值給機車動力學模型進行橫向動力學性能指標計算，通過對計算結果的篩選，最終從大量隨機參數組中得到滿足全部性能指標要求的懸掛參數組合.

表3 橫向動力學性能指標閥值Tab.3 Threshold of dynamic performance index

為了將符合條件的6個關鍵懸掛參數在同一圖中表示，懸掛參數通過歸一化處理后其組合匹配規律如圖6所示.圖中同一條顏色的折線段表示同一組懸掛參數，縱坐標表示參數歸一化數據，其中1.0表示計算范圍內的最大值，0表示最小值.由圖6可知：該6個關鍵懸掛參數之間具有明顯的匹配規律，即某一個或幾個參數選擇較大值時，另外一個或幾個參數需選擇較小或適中的參數與之匹配；kpx、csx取值集中，接近相應的優化范圍下限，csy也集中在較小值，即滿足動力學性能指標要求對應的kpx、csx、csy需要取較小值；kpy、kncsx和α可選范圍較寬，在給定的參數優化范圍內都有取值；對于mode 1，其kncsx出現在偏小值范圍內次數較多，相應的α分布在較大值范圍內的參數出現次數比較多；mode 2，其kncsx出現在偏大值范圍內次數較多，α則分布得較為均勻，這與2.3節中優化懸掛參數分布規律一致.

圖6 符合條件的懸掛參數匹配Fig.6 Suspension parameters matching rules

3.2 相關性分析

針對以上生成的隨機參數集以及相應動力學性能指標的計算結果，依次對3種等效錐度工況下懸掛參數與性能指標進行 Pearson相關系數計算，分析懸掛參數對機車橫向動力學性能的影響趨勢.

圖7分別為兩種抗蛇行減振器布置方式在3種等效錐度工況的計算結果，在同一圖內體現6個懸掛參數和3個性能指標各自的相關性.圖中：ζ1、ζ2、ζ3為不同等效錐度下的穩定性指標；Rζ1為懸掛參數與ζ1所在工況的相關性；Rζ2為參數與ζ2工況的相關性，以此類推.柱狀圖為正時表示正相關，相反表示負相關，柱狀圖高度表示相關程度.

圖7 懸掛參數與ζmax相關性Fig.7 Correlation between suspension parameters and ζmax

由圖7可知：1）對于低錐度工況，機車橫向平穩性尤其Wb與ζmax具有強正相關性，kpx與ζmax正相關性較強，而其他參數相關性不明顯，因而低錐度工況減小kpx有利于機車穩定性進而對機車平穩性有利.2）對于高錐度工況，λ為0.30和0.60時的結果相當，機車橫向平穩性指標與機車穩定性指標正相關性不強，呈負相關性.

高錐度工況6個懸掛參數、Wf與Wb的相關性見表4，由表4可知：Wf、Wb具有高度的相關性，橫向平穩性指標與機車二系橫向減振器阻尼csy值強正相關，減小csy有利于提高車體橫向平穩性；減小kpx、csx、kncsx和增大kpy有利于機車橫向平穩性.

4 結 論

1）本文提出基于橫向平穩性和蛇行穩定性多目標性能的高速機車關鍵懸掛參數優化方法，針對線性系統模型，采用虛擬激勵法的頻域橫向平穩性指標計算具有計算速度快的優點，可以滿足基于遺傳算法的多目標多參數優化計算要求.

2）針對高速機車兩種抗蛇行減振器布置方式及不同輪軌接觸等效錐度工況進行懸掛參數優化匹配規律分析，低錐度工況機車穩定性較差且橫向平穩性與之強相關，尤其采用抗蛇行減振器斜對稱布置方式，機車后司機室橫向平穩性顯著變差.對于低錐度工況，需要以提高機車橫向穩定性為優化目標，而高錐度工況當蛇行模態阻尼比滿足一定條件時更需關注其橫向平穩性.

3）為了兼顧在不同輪軌接觸狀態時機車的橫向動力學性能，提高機車線路適應能力，機車的一系縱向剛度、抗蛇行減振器阻尼和二系橫向減振器阻尼值在文中給定的優化范圍內，應盡量選取較小值；對于抗蛇行減振器斜對稱布置方式，其水平面安裝角度對機車橫向性能不敏感，而同側內置布置方式，抗蛇行減振器安裝角度對機車橫向動力學性能的影響較為明顯.

致謝：牽引動力國家重點實驗室自主研究課題（2022TPL-Q02）.