動靜態軌道不平順評價差異及動態弦測法特性

楊 飛，孫憲夫，譚社會，趙文博，魏子龍

（1.中國鐵道科學研究院集團有限公司基礎設施檢測研究所，北京 100081；2.中國鐵路上海局集團有限公司工務部，上海 200071）

軌道不平順是加劇輪軌作用力和列車振動的重要誘因.高速行車條件下，軌道不平順不僅降低旅客乘坐舒適性，還會加劇軌道結構的疲勞傷損，降低線路使用壽命，甚至造成列車脫軌等安全事故[1].因此，保持線路的高平順性，是高速列車安全平穩運行的重要保障.

我國高速鐵路堅持“動態檢查為主，動靜態檢查相結合”的原則.動態檢測以綜合檢測列車檢測結果為主要依據，使用巡檢設備、車載式線路檢查儀和添乘檢查作為輔助手段.發現問題時，結合現場靜態復核，全面分析原因，合理確定維修方案和計劃[2].諸多軌道不平順指標中，軌距、水平、三角坑動靜態檢測原理基本一致，但軌向、高低動靜態檢測原理卻并不相同.具體來說，軌向、高低動態檢測是基于慣性基準的偏差量，而靜態檢測主要采用中點弦測法和矢距差法得到的偏差值.在關聯性分析方面，楊飛等[3-4]通過車線動力學仿真提出了基于10、20、60 m中點弦測法的軌道不平順評價方法，并利用5 m中點弦測法評價軌道板周期性不平順.相比于動態空間曲線，中點弦測法可以通過改變弦長，更有針對性地評價對行車安全性和舒適性影響顯著的軌道不平順波段.此外，部分學者還基于中點弦測法和三點偏弦法將平順性指標逆向還原真實軌道不平順[5-7]，為評價軌道不平順提供了新的途徑.相比而言，矢距差法則有一定的局限性，魏暉等[8]推導了中點弦測值轉換成矢距差的計算通式，借助矢距差法傳遞函數可以驗證其不適用于高速鐵路軌道長波不平順的靜態測量[9-10].綜上，中點弦測法具備物理意義明確、不存在里程相位差、與車輛動力響應的匹配性更好等諸多優勢，更利于進行軌道不平順動靜態關聯性分析，指導現場養護維修作業.

目前，對軌道平順性的靜態檢查主要依靠軌道測量儀、軌道檢查儀或弦線、道尺等設備，受限于天窗時長、測量效率等因素制約，難以實現動靜態檢查有效結合.為此，提出基于動態檢測數據的動態弦測模型，建立動態不平順與靜態不平順的映射關系，對于發揮動態檢測數據功能，減少靜態測量工作量，更好地指導軌道養護維修具有理論價值和現實意義.

1 動態弦測法原理

軌道動態不平順是在列車荷載作用下，通過軌道檢查車或綜合檢測列車測得的軌道不平順.我國GJ-6型軌道檢測系統采用慣性基準法[11]，以高低不平順檢測原理為例，見圖1.車體相對于慣性基準和軸箱的垂向位移分別為Z和W，車輪徑為R，車體垂向加速度a經過二次積分，得到車體相對于慣性基準的垂向位移變化量 ?Z，用位移計測量車體與軸箱的相對垂向位移變化量 ?W，軌檢系統所在輪對的車輪徑跳值 ?R相對于軌道不平順可忽略不計，軌道動態高低不平順F的計算簡化為

圖1 慣性基準法原理Fig.1 Principle of inertial reference method

式中：t為時間.

對垂向位移變化量 ?W和 ?Z進行高通濾波，剔除無用的長波成分，從而準確測量指定波長范圍內的動態高低不平順.軌向不平順的檢測原理與之類似.

軌道靜態不平順是指在無列車荷載作用下測得的軌道不平順，其中，靜態高低不平順和軌向不平順常采用中點弦測正矢或矢距差進行描述[12].在軌道靜態不平順容許偏差管理中，高低偏差和軌向偏差為10 m弦測量的正矢值；在軌道靜態不平順長弦測量作業驗收中，采用5 m/30 m和150 m/300 m矢距差進行管理；而對于曲線正矢則采用20 m弦測正矢值進行管理[13-14].

動態高低不平順和軌向不平順是相對于慣性基準的偏差數據，而靜態高低不平順和軌向不平順最常用的是中點弦測矢度值，二者在評價結果上存在顯著差異[15].為建立動態不平順與靜態不平順的關聯關系，將動態高低不平順和軌向不平順按中點弦測法輸出，從而轉換成與靜態檢測結果一致的弦測值，命名為動態弦測值，記作Q，如圖2所示，圖中：l為半弦長；vi為第i點的靜態高低不平順；fi為第i點的動態高低或軌向不平順幅值；fi?r和fi+r分別為第i點所在弦的起點和終點處動態高低或軌向不平順幅值，r為中點矢距的采樣間隔；qi為第i點的中點矢距，如式（2）所示.

對式（2）進行傅里葉變換，得到中點弦測法的幅度譜 |Hq(ω)|和相位譜 φq(ω)如式（3）所示.

式中：ω=2π/λ為空間角頻率，rad/m；λ為軌道不平順波長，m.

由式（3）可知，中點弦測法的幅值增益與弦長、不平順波長有關，在0 ～ 2之間波動，相位偏差恒為0，相頻無時延和失真[16].圖3繪制了中點弦測法的幅頻特性，將幅值增益不小于1視為有效檢測，可以得到10、20、30、40、50、60 m弦對應的有效檢測波段分別為7 ～ 20、13 ～ 40、20 ～ 60、27 ～ 80、33 ～ 100、40 ～ 120 m.動態高低和軌向不平順原始信號經過數字高通濾波器濾除無用的長波成分，準確截取有效的波長成分，使通帶內的幅值增益近似為1[17].當弦測法的有效檢測波段超出高通濾波截止波長時，低頻（長波）成分經高通濾波后衰減，動態弦測值與真實靜態弦測值相比會產生較大差異，從而使動態弦測結果長波成分嚴重失真.因此，動態弦測法應有最大合理弦長的限制.我國軌道動態不平順最大截止波長主要分為42、70、120 m，對于理想濾波器而言，最大截止波長分別42、70、120 m的高通濾波器分別能夠覆蓋最大弦長為20、30、60 m的有效檢測波段.由于并不存在絕對理想的濾波器，且軌道不平順是由不同波長、不同幅值和不同相角的簡諧波疊加而成的復雜隨機波，實際覆蓋的最大弦長將會低于這些波段.

圖3 弦測法幅頻特性Fig.3 Magnitude characteristic of chord measurement

2 動態弦測法特性分析

2.1 動、靜態軌道不平順的差異性分析

根據國外研究經驗，可運用單波軌道不平順分析帶通濾波、中點弦測法和偏弦測法對波形扭曲的影響[18].同理，為研究動態和靜態檢測傳遞特性，可將單波余弦型不平順作為分析對象.不平順波形如圖4所示，λ由5 m遞增至300 m，波幅A0恒為100 mm.分別采用截止波長為42、70、120 m的高通濾波器對構造不平順濾波，模擬得到軌道動態不平順.采用弦長為10 ～ 60 m的中點弦，弦長步距10 m，輸出構造不平順的中點弦測值，模擬得到軌道靜態不平順.

圖4 單波余弦型不平順Fig.4 Irregularity of a singular cosine wave

圖5繪制了波長為5、50、100 m的動態和靜態檢測波形.可以看出，單波余弦型不平順經過高通濾波或中點弦測法處理后，原始波形的形狀和幅度都被扭曲，均呈現出中間“下凹”、兩側“上凸”的特征，并且隨著截止波長或弦長的增大而增大，影響范圍也逐漸向兩側延擴.中點弦測法具有線性相位特性，“下凹”最低點的所在位置與原始波形的一致.軌檢系統的高通濾波器由于具有良好的相頻特性，“下凹”最低點的所在位置也與原始波形相差不大.

圖5 部分典型余弦型不平順動、靜態波形Fig.5 Dynamic and static waveforms of some typical cosine irregularities

圖6繪制了原始不平順波幅為100 m的動態和靜態不平順“下凹”峰值隨不平順波長的變化規律.從動態檢測結果來看，同一不平順波長條件下，高通濾波幅值隨著濾波器截止波長的增大而增大.同一截止波長條件下，動態檢測幅值隨著不平順波長的增大而降低，并分別在各自截止波長42、70 m和120 m處存在拐點，超過截止波長后變化趨于平穩，并逐漸降至0.從靜態中點弦測結果來看，同一弦長條件下，當不平順波長小于等于弦長時，靜態弦測值幅值基本保持在原100 mm不變；當不平順波長超過弦長時，靜態弦測值幅值降低，然后逐漸趨于平穩.當不平順波長超過各自弦長時，同一不平順波長條件下，弦長越長，靜態弦測值幅值越大.

圖6 動、靜態不平順峰值隨波長的變化規律Fig.6 Variation of peak values of dynamic and static irregularity with wavelength

從動、靜態檢測結果對比來看，42 m和70 m濾波幅值分別與10 m和20 m弦測值變化規律基本對應；當不平順波長大于70 m時，120 m濾波幅值與40 m弦測值變化規律基本對應，這說明動、靜態的軌道平順性評價在一定程度上是等價的.對于現場常見的單峰型不平順，當弦長大于不平順波長時，中點弦測法能夠準確測量不平順的真實幅值，而高通濾波會削弱不平順幅值測量結果.考慮到軌道動態不平順是在有載條件下測得的，更契合列車運營實際情況.因此，將動態弦測法作為動態檢測補充輸出方式十分必要.

2.2 動態弦測法檢測精度的影響因素

圖7繪制了截止波長為42、70 m和120 m動態檢測波形經過中點弦測法處理后的動態弦測結果.相比于高通濾波后的波形，動態弦測波形中間“下凹”、兩側“上凸”的特征變化規律與不平順波長密切相關，但同樣也隨著弦長的增大而被放大.

圖7 部分典型余弦型不平順動態弦對比Fig.7 Comparison of dynamic chords with some typical cosine irregularities

圖8繪制了動態弦測和靜態弦測結果“下凹”峰值隨不平順波長的變化規律.動態弦測幅值的變化規律與靜態弦測相近，呈現出先緩慢降低，后迅速降低并逐漸變緩的趨勢，當弦長超過40 m時，不平順波長與弦長一致時，會存在明顯的拐點.同一弦長條件下，高通濾波截止波長越大，動態弦測幅值越接近真實的靜態弦測值.隨著弦長的增大，高通濾波截止波長越小，會使動態弦測幅值與真實的靜態弦測值之間的差距越來越大.為了保證某一弦長的動態弦測精度，必須要求高通濾波的截止波長足夠大，也就是說，為了保證某一截止波長的動態弦測精度，必須保證弦長取值應在合理的范圍內.

圖8 動態弦測峰值隨波長的變化規律Fig.8 Variation of dynamic chord peak value with wavelength

無論是高通濾波、中點弦測還是動態弦測，輸出結果的幅值隨輸入不平順幅值是線性變化的，因此，其他波幅的變化規律與波幅為100 mm的結果是一致的.為了進一步定量分析任意固定截止波長條件下弦長的合理取值范圍.計算了不同弦長條件下，真實的靜態弦測值與各個截止波長的動態弦測幅值之差占原始不平順幅值（100 mm）的百分比，可以將其描述為動態弦測法的誤差，見表1.將20%作為誤差閾值，誤差超過閾值則可認為動態弦測法的精度已經不能達到要求.

由表1得出，截止波長為42、70 m和120 m的動態弦測法最大合理弦長可以分別取為20、30 m和50 m.考慮到120 m長波不平順與車輛運行姿態密切相關，測量精度會受到一定影響；但更長波的不平順幅值往往更大，需要適當降低誤差閾值.因此，將截止波長為120 m的動態弦測法最大合理弦長降為40 m.在上述各截止波長與合理弦長組合的范圍內，同一弦長條件下，動態不平順截止波長越大，動態弦測法的誤差就越小，用最大截止波長為120 m的動態不平順弦測值來替代靜態弦測值的精度更高.

表1 動態弦測誤差Tab.1 Dynamic chord measurement error%

2.3 動態弦測值與原始動態不平順的關系

計算某高鐵線路路基和簡支梁區段120 m長波高低不平順的動態弦測值，弦長取10 ～ 60 m.統計得到實測高低不平順峰值和不同弦長動態弦測峰值10% ～ 100%分位數對應的幅值，兩者的對應關系如圖9所示，圖中橫軸x為120 m長波高低不平順的各百分位值，簡稱“高低不平順峰值”，縱軸y為動態弦峰值的各百分位值，簡稱“動態弦峰值”.同一弦長條件下，動態弦峰值與高低不平順峰值呈線性關系.從圖9（a）看出：路基區段10 m和20 m動態弦峰值小于高低不平順峰值，其余弦長均大于高低不平順峰值；隨著弦長的增大，動態弦峰值逐漸增大，且增速越來越慢，30 ～ 60 m動態弦峰值相差不大.從圖9（b）看出：對于簡支梁區段，30 m和40 m動態弦峰值最大，這是由于這2個弦在高低不平順1階主波長32 m處的幅值增益大于1，主波長32 m的幅值被充分放大；而10 m和60 m動態弦峰值小于原始值，因為60 m弦在32 m處的幅值增益小于1，導致60 m動態弦峰值偏小.綜上所述，動態弦峰值與高低不平順峰值的各百分位值呈線性關系，但由于路基和簡支梁區段不同波長的動態幅值分布規律大不相同，因此，擬合系數在兩種基礎結構的檢測結果存在較大差異.

圖9 動態弦與原始動態高低不平順峰值的關系Fig.9 Relationship between dynamic chord and original dynamic longitudinal level peak

基于某高速鐵路全線動態檢測數據，每200 m作為1個計算單元，逐個計算動態弦測值與動態原始值的相關系數，并作累計分布如圖10所示.可以看出：不同截止波長的相關系數分布規律不同；截止波長為42 m的高低不平順，20 m動態弦測波形與其相關性最優，50 m動態弦測波形與其相關性最差；截止波長為70 m的高低不平順，30 m和40 m動態弦測波形與其相關性最優，10 m動態弦測波形與其相關性最差；截止波長為120 m的高低不平順，30 ～ 60 m動態弦測波形與其相關性比較接近，10 m動態弦測波形與其相關性最差.

圖10 動態弦與實測動態高低不平順相關性Fig.10 Correlation between dynamic chord and measured dynamic longitudinal level

3 動態弦測法驗證及其應用

3.1 路基沉降區段檢算

以某高鐵線路路基區段檢測數據為例，靜態高程偏差如圖11所示，圖中，區段A為沉降起始點，B為沉降點，區段C中，C-2處為沉降點，C-1和C-3處則為兩側的沉降區段起終點.實際線位與設計線位的最小高程偏差為 ?413 mm，最大高程偏差達到?633 mm，該區段整體沉降較為顯著.分別采用軌檢系統截止波長為42、70 m和120 m高通濾波器對靜態高程偏差進行濾波，與動態高低不平順的對比如圖12所示.可以看出：3種截止波長條件下，動、靜態數據均吻合很好，驗證了該區段動靜態檢測數據的有效性.

圖11 靜態高程偏差Fig.11 Static elevation deviation

圖12 動靜態檢測結果對比Fig.12 Comparison of dynamic and static detection results

分別將該區段截止波長為42、70 m和120 m的實測動態高低不平順，按10 ～ 60 m動態弦重新輸出.同時，將實測靜態高程偏差同樣按10 ～ 60 m中點弦測輸出，計算靜態高程偏差的弦測值.各個弦長對應動、靜態弦測值如圖13所示.可以看出：當弦長為最短的10 m時，靜態高程偏差弦測值與截止波長為42、70 m和120 m動態弦測的波形重合性均非常好.說明這3種截止波長的動態高低不平順按10 m弦測重新輸出后，均可以準確表達靜態的10 m弦測值.但隨著弦長的增大，靜態弦測值的長波成分逐漸顯現出來，動態弦測值與靜態弦測值間在其中3個區段的差距越來越大，分別位于K13 + 500—K13 +600、K13 + 900—K14 + 000和K14 + 400—K14 +600，其余區段動靜態重合性依舊很好.從圖13中還可以看出：對于上述3個區段，在同一弦長條件下，動態高低不平順的截止波長越短，它所包含的長波成分就越少，因此，其動態弦測值與靜態弦測值間的差距也越大.

上述3個差異較大區段動、靜態弦測值的峰值差如表2所示.參考《鐵路基礎設施動態檢測——軌道幾何檢測系統（Q/CR 751—2020）》[19]對中高速軌道幾何檢測系統檢測技術指標的規定，截止波長為42、70、120 m對應的最大允許誤差分別為 ±1、±2、±3 mm.利用該標準評價動態弦測值是否滿足精度要求.截止波長為42 m時，當弦長為20 m時僅有1處超限，弦長大于20 m時3處均超限，因此，最大合理弦長可取為20 m.截止波長為70 m時，當弦長小于等于30 m時均未超限，弦長大于30 m時均超限，因此，最大合理弦長可取為30 m.截止波長為120 m時，當弦長小于等于40 m時均未超限，弦長大于40 m時有2處超限，因此，最大合理弦長可取為40 m.該結論均與2.2節中得到最大合理弦長一致，驗證了最大弦長的合理性.

表2 動態弦測值與靜態弦測值峰值差Tab.2 Peak value difference between dynamic chord measurement and static chord measurement mm

盡管弦長超過最大合理弦長時，動態弦測法的精度已經不能達到要求，但仍有實用價值.可在缺少靜態絕對測量數據的條件下，結合動態弦測數據和軌檢儀的靜態弦測數據識別沉降區段.對照圖13（f），C-1和C-3處靜態弦測值明顯朝正方向偏離動態弦測值，C-2處明顯朝負方向偏離動態弦測值.C處上述動靜態弦測值之差的變化趨勢與該處高程偏差變化趨勢特征一致.對比區段A、B和C可知，A處靜態弦測值明顯朝正方向偏離動態弦測值，B處明顯朝負方向偏離動態弦測值，C處整體要朝正方向偏離動態弦測值.并隨著弦長的增大偏離越大，弦長達到60 m時最顯著.對照圖11發現，A、B和C處整體的高程偏差變化趨勢同樣與上述特征一致，說明B處是沉降點，A和C-1處是兩側的沉降區段起終點.綜上，靜態弦測值明顯朝負方向偏離動態弦測值的處所為沉降點，相鄰兩側朝正方向偏離動態弦測值的處所為沉降區段起終點.

圖13 路基區段動態弦測與靜態弦測對比Fig.13 Comparison between dynamic and static chord measurements in subgrade section

3.2 簡支梁區段檢算

以某高鐵線路簡支梁區段檢測數據為例，動、靜檢數據對比如圖14所示，截止波長為42 m的高低不平順峰值達到 ?3.7 mm，靜態高程偏差最小達到?190 mm，最大達到 ?212 mm.

圖14 動、靜態檢測結果對比Fig.14 Comparison of dynamic and static detection results

圖15繪制了該區段動態弦測值與靜態高程偏差的弦測值的對比.弦長由10 m增至60 m，動態弦測值與靜態弦測值間波形和幅值的差異越來越大，動、靜態弦測值之差的95%分位數分別為0.9、1.4、2.0、2.1、2.2、2.3 mm.可見對于截止波長為42 m的動態高低不平順，當弦長增至20 m時，動、靜態弦測值之差95%分位數滿足小于2 mm要求.因此，同樣可以驗證截止波長為42 m的動態弦測法最大合理弦長取20 m.

圖15 簡支梁區段動態弦測與靜態弦測對比Fig.15 Comparison between dynamic and static chord measurements in simply supported beam section

4 結 論

1）由于動態高低和軌向不平順是相對于慣性基準的偏差數據，而靜態高低和軌向不平順最常用的是中點弦測矢度值，導致二者在結果上存在顯著差異.此外，動態是在有載情況下進行檢測，比靜態檢查貼合實際運行，為避免對現場維修造成困擾，采用動態弦測方法將動態高低和軌向不平順轉換為動態弦測值十分必要.

2）由動靜態檢測結果對比得出，42 m和70 m動態高通濾波幅值分別與10 m弦和20 m弦測值變化規律基本對應.當不平順波長大于70 m時，120 m動態高通濾波幅值與40 m弦測值變化規律基本對應.

3）動態弦測值與原始動態不平順的各百分位值統計上呈線性關系，但不同區段擬合系數存在較大差異；截止波長為42、70、120 m的原始動態不平順，分別與弦長為20、30 ～ 40、30 ～ 60 m的動態弦測波形相關性最優.

4）動態檢測的截止波長包括42、70、120 m，對應的動態弦測法最大合理弦長分別取為20、30、40 m，通過路基和簡支梁區段實測數據驗證了動態弦測法的合理性.

5）基于沉降區段實測數據分析得出，弦長為60 m時，靜態弦測值明顯朝負方向偏離動態弦測值的處所為沉降點，相鄰兩側朝正方向偏離動態弦測值的處所為沉降區段起終點，這可以用于沉降區識別和監控.

致謝：中國鐵道科學研究院集團有限公司科技研究開發計劃 （2020YJ048）項目支持.