基于幾何形態學影響的集料建模及評價方法

尹海鵬，李有堂，黃 華

（蘭州理工大學機電工程學院，甘肅 蘭州 730050）

顆粒復合材料是典型的非均質、多相、多尺度復合材料，廣泛應用于工程領域.集料是顆粒復合材料的重要組成部分和主要承力結構，其幾何形態學特性，如形狀、棱角性、表面紋理等具有顯著的不規則性、無序性和自相似性，并影響集料的空間骨架、級配、空隙及多相間相互作用，進而影響復合材料宏觀力學性能[1]、疲勞斷裂特性[2-3]等.顆粒復合材料[4]因動態性能穩定、熱穩定性好等優點在高速、高檔數控機床上得到大量應用，但受集料設計技術的影響，集料幾何形態引起的動力及隨機損傷演化[5]過程還缺乏研究，限制了該材料的進一步應用.

目前，研究中通常采用剛性球代替集料進行簡化分析，忽略了不規則集料的形狀和棱角引起的咬合互鎖效應.因此，尹紀財[6]在二維層面將盤狀顆粒簡化為正多邊形，驗證了集料形狀對阻裂作用和強度的影響，但忽略了集料幾何形態學特性的不規則性和無序性.超二次曲面法[7]、B樣條曲線法[8]雖能夠創建無序、不規則的卵石類集料，但難以創建破碎類集料的棱角性和紋理特性，而顆粒捆綁法[9]、球體切割法[10]、立方體切割法[11]、六面體切割法[12]、凸包算法[13]雖然綜合考慮了集料形狀和棱角性，但仍忽略了集料的紋理特性.針對該問題，Markauskas等[14]用多球體接觸間隙代替集料表面紋理，一定程度上能滿足對集料紋理特性的研究，但對集料紋理的無序性缺乏研究.張徐等[15]借助激光掃描儀捕獲集料表面上的點云數據來重構天然破碎集的紋理特性，但受設備分辨率所限，仍難以構造出的0.1 mm以下的集料表面紋理[16].在此基礎上，利用光學顯微鏡[17]或者基于工業CT掃描和圖像處理[18]雖然能夠創建足夠精細的數字集料，但對設備要求較高，不具有普適性.另一方面，為了控制數字建模成本，秦雪[19]用磨削技術代替工業CT斷層掃描，但該方法創建的數字集料精度受磨削厚度影響較大，且隨磨削厚度的減小或集料粒徑的增大其應用更加局限.

集料的幾何形態學特征對顆粒復合材料宏、細觀性能的影響顯著，亟需開發低成本、高精度的數字集料設計技術.但現有的集料建模技術仍存在以下問題：1）缺乏高效率、高精度、低成本并能兼顧集料的形狀、棱角性、紋理特性的集料設計技術；2）考慮到顆粒復合材料的隨機性和無序性，采用逆向重構技術“精確還原”單一集料的幾何形態學特征或顆粒復合材料的細觀參數，使之應用于其他模型，但缺乏必要性和合理性；3）獲取的幾何形態學參數隨機性較大，缺乏可重復性，很難定量考察幾何形態學特征單一變量對復合材料宏觀性能的影響.因此，本文提供一種考慮集料的微、細觀特征單一集料建模技術，采用“顆粒替換法”生成宏觀顆粒復合材料數字模型，并進一步討論3D Max中幾何形態控制參數對幾何形態學評價指標的影響，創建的高精度集料及顆粒復合材料數字模型為深入研究集料幾何形態學參數提供基礎.

1 集料幾何形態學特征評價

集料在顆粒復合材料內質量分數高達80% ～90%，其理化特性、形態學特性、破碎方法、尺寸效應等很大程度上決定了顆粒復合材料的綜合性能，其中尤其以形態學特性最為重要.量化集料的形態學特性是研究形態學參數對顆粒復合材料動力過程和損傷演變的前提，本文從形狀、棱角、紋理和集料系統方面對集料進行評價.

1.1 形狀評價

形狀特征反映集料宏觀整體的變化，通常采用圓形度、球形度、細長比、扁平度[20]來量化評價集料的形狀.

圓形度R由式（1）定義.

式中：L為集料在空間三個投影視圖上的輪廓周長；S為投影輪廓區域面積.

顯然，R越接近1，集料的投影輪廓越接近于圓；R越接近 1/π2，集料越接近于針狀.

球形度D用式（2）定義.

式中：Dmax、Dmin和Dmid分別為集料空間最小包圍六面體三邊尺寸

的最大值、最小值和中間值.

D越接近1，說明集料越接近于等維，并且隨表面面數的增加集料越接近球狀.

細長比Er和扁平比Fr分別為

Er越接近0，說明集料越接近于條狀；Fr越接近0，說明集料越接近于片狀；Er、Fr同時越接近1，說明集料越接近等維.

1.2 棱角性評價

棱角性反映集料細觀局部的變化，對于輪廓參數相同的粗集料，其表面積、體積很大程度上取決于集料的棱角性，故可以用投影面周長與等效橢圓或最小包絡橢圓周長差異評價集料的棱角性，基于周長的棱角性評價指標Ac[20]定義為

式中：Pc為包絡凸面周長；Pe為等效橢圓周長，其值等于式（2）中長軸為Dmax、短軸為Dmin的橢圓周長.

考慮到粗集料棱角性的本質是集料輪廓線上各點半徑變化引起的，也可根據給定局部角度變化范圍內投影面輪廓半徑和等效橢圓半徑差異來評價棱角性，基于半徑的棱角性評價指標Ar[20]可用式（6）定義：

式中：Rθ為集料投影面輪廓上任意角度 θ時的半徑；Reθ為集料等效橢圓上角度 θ時的半徑；?θ為相鄰兩測量之間的角度差.

顯然，基于半徑的粗集料棱角性精度取決于 ?θ的取值，?θ越大，越不能對集料的棱角性做出準確評價，?θ越小，需要處理的數據越多.式（5）、（6）中參數示意如圖1所示[20].

圖1 集料等效橢圓和包絡圖面示意Fig.1 Equivalent ellipse and envelope diagram of aggregate

1.3 表面紋理評價

表面紋理反映集料表面微觀結構的變化，集料表面的紋理可視為隨機變化的分形波，如圖2所示[17].與光滑紋理的骨料相比，帶有粗糙紋理的骨料可提高顆粒復合材料宏觀力學性能[21]，相較于形狀和棱角性，集料紋理的評價更復雜，一般有兩類：1）視集料表面紋理為隨機分形波，基于波形參數評價；2）基于紋理變化引起的表面積或體積變化評價.

圖2 集料表面紋理特性示意Fig.2 Texture characteristics of aggregate surface

對形狀和棱角性參數相同的集料，其表面積和體積很大程度上取決于集料表面紋理的粗糙程度，故采用數字集料包絡網格的表面積和體積比量化表面紋理，紋理評價指標T為

式中：Vw為數字集料包絡網格的體積；Sw為數字集料包絡網格的表面積.

1.4 集料系統評價

僅考慮單個集料的幾何形態學特性缺乏現實意義，同一粒徑下單個集料幾何形態學特征的顯著變化一般不會影響顆粒復合材料宏觀性能，因此，考慮集料系統的評價更為重要.但傳統的幾何學難以對多級級配組成的顆粒復合材料骨架系統進行描述，而分形幾何[20]被廣泛用于研究多尺度、不規則、不連續、自相似的對象，雖然分形理論常被用來研究顆粒復合材料集料級配方案[4]，但將集料系統的幾何形態學特性作為顆粒復合材料評價指標的研究相對較少.進一步考慮到同一產地、同一加工方式形成的集料在形狀、棱角性和紋理特性在統計學上有顯著的自相似性，因此，可定義某一篩孔直徑下的集料質量分布的分形函數[4]為

式中：x為集料粒徑；mx為集料粒徑小于x時的集料質量；M為集料系統的總質量；xmax、xmin分別為集料系統中最大、最小集料粒徑；F為分形維數.

骨架型結構的集料系統造成的空隙是由粉末狀填料和流體狀樹脂膠填充，微觀尺度上存在最小粒徑無限接近0的顆粒，因此，可假設xmin=0，故式（8）可簡化為

等式兩邊取對數，整理得：

式中：α=(F?3)lgxmax.

由式（10）可知：對數坐標下 lg (mx/M) 與 lgx存在線性關系，即給定分形維數，必然有確定的集料系統與之對應；反之，給定集料系統必然有滿足該集料系統的分形維數，因此，采用分形維數評價骨料系統有穩定性和可行性.

2 含幾何形態特征的數字集料設計

不規則集料間的動力過程、低流動性和咬合互鎖效應顯著影響顆粒復合材料的宏觀力學性能[8]，集料幾何形態的量化評價為集料的合理分類和質量控制提供了依據，但對不規則集料幾何形態特征的精細設計仍是細觀力學研究的重要問題.目前，常用的集料建模技術效率較低或精度不足，而基于3D Max設計不規則集料幾何形態具有顯著優勢，如圖3所示.

圖3 3D Max中集料幾何特征的實現Fig.3 Realization of geometric characteristics of aggregate in 3D Max

3D Max中細觀層面上的形狀和棱角性可以通過基體尺寸、基體分段數（number of subsections of element edges,Ns）、球形化指數（spherify,Sp）、置換強度（displace,Di）、自由變換（free form deformation,Ff）等修改參數實現；微觀層面上的紋理特性可通過渦輪平滑迭代次數（turbine smoothing,Ts）、噪波強度（noise,Ni）、噪波粗糙度（roughness,Ro）等參數修改.因此，靈活應用上述微、細觀特征修改參數，可設計任意不規則集料幾何形態特征.

針對破碎類集料明顯的不規則形狀、棱角性和表面紋理，用圖4（a）的步驟設計，而卵石類集料可忽略棱角性和表面紋理，用圖4（b）的步驟設計.專業優化（Op）修改器可在保證集料表面積和體積不變的情況下，以犧牲紋理特征為代價對集料的包絡網格控制點進行優化，如圖5所示.

圖4 不規則集料在3D Max中的創建步驟Fig.4 Steps of creating irregular aggregate in 3D Max

圖5 3D Max優化工具對集料控制網格的影響Fig.5 Influence of 3D Max optimization tool on aggregate wrap mesh

3 顆粒復合材料數字建模技術

單一集料數字模型在離散元軟件中裝配后獲得顆粒復合材料數字模型，裝配空隙率直接影響裝配顆粒的數量、顆粒配位數、仿真時間和數值分析結果等.但同一集系統的實物模型和數字模型空隙率差異較大，這主要是因為數字模型通常只考慮集料骨架系統建模，而實物模型集料骨架系統造成的空隙由填料和黏結劑填充.另外，最小顆粒粒徑差異也可能引起兩種模型空隙率的不同.因此，研究兩種模型空隙率轉化關系創建精細顆粒復合材料數字模型更重要.

3.1 數字模型的空隙率

集料形狀和棱角性是集料骨架形成空隙的決定因素，對顆粒復合材料的宏觀性能有重要的影響.已有研究表明：顆粒復合材料集料系統形成的空隙、集料的表面積、集料系統的體積也具有分形特性[22-23]，并且集料系統的分形維數與空隙率的分形維數之間存在必然的內在聯系[24].根據分形定義，集料系統引起的體積分形可表達為[23]

式中：Vx為粒徑小于x時集料的分形體積；V為集料系統的分形總體積；Fv為體積分形維數.

集料粒徑在(x,x+dx)區間上的分形體積為

由實體體積定義：

式中：ρ為集料表觀密度.

聯立式（8）、（12）、（13），并在集料粒徑區間(xmin,xmax)上積分，得任意粒徑x時的分形體積Vx為

由空隙率p的定義知：

式中：Vtot為建模體積.

集料系統形成的空隙率只與最大粒徑xmax、最小粒徑xmin、集料的質量M、表觀密度 ρ、建模體積Vtot以及集料級配分形維數F、體積分形維數Fv有關.考慮到離散元模型中，集料最小粒徑xmin是一個不能忽略的確定值，故式（15）為創建離散元模型時的空隙率提供了可靠的理論支撐.同理，令xmin=0，式（15）可簡化為

式中：pd為顆粒復合材料空隙率的理論值.

顆粒復合材料空隙率的實際值pt為

式中：Vair為實物模型空隙體積；ρe為顆粒復合材料的等效密度；ρr為各項相材料總質量與顆粒復合材料體積的總比值.

令pd=pt，聯立式（10）、（16）、（17）得到集料的體積分形維數Fv.進一步將集料系統的分形維數F、體積分形維數Fv、建模時最大粒徑xmax和最小粒徑xmin代入式（15），可獲得顆粒復合材料創建離散元模型時的空隙率p.

3.2 顆粒復合材料數字模型創建技術

空隙率p為采用顆粒流程序（particle flow code，PFC）命令流ball distribute生成顆粒復合材料離散元模型提供可靠的理論依據，但相較于球形顆粒，不規則集料的形態特征引起的細觀動力過程更復雜，在采用第三方建模軟件生成的不規則集料時很難滿足平衡條件.因此，采用“顆粒替換法”生成顆粒復合材料數字模型，顆粒間設置平行黏結接觸并計算平衡，具體步驟如下：

1）按級配方案生成球狀顆粒，計算至平衡；

2）按粒徑范圍遍歷要替換的球狀顆粒的質心位置、體積、密度、半徑；

3）在球狀顆粒的同一位置生成等體積、等密度的不規則顆粒，并刪除球狀顆粒；

4）利用隨機函數使不規則顆粒在同一位置轉動任意角；

5）根據接觸條件搜索懸浮顆粒，利用逐步膨脹法分步放大懸浮顆粒粒徑直到滿足配位數要求并重新計算至平衡.

該方法可在同一顆粒復合材料數字模型中生成多種不規則顆粒，有效降低不規則顆粒的接觸動能，并快速達到初算平衡.基于分形理論，F=2.6，粒徑分布為(0, 0.30]、(0.30, 0.60]、(0.60, 1.18]、(1.18, 2.36]、(2.36, 5.00]mm，實際空隙率為16.0%，修正空隙率為35.8%，用同一種不規則顆粒替換x≥ 1.18 mm時的顆粒，復合材料三維離散元模型如圖6所示.

圖6 顆粒復合材料數字模型Fig.6 Discrete element model of particle composite

4 討 論

4.1 建模參數變量對集料精度的影響

基體分段數、渦輪平滑迭代次數和PFC 3D剛形顆粒簇建模參數是影響集料精度和數值分析時間成本的主要因素，集料精度試驗方案參數設置如表1所示.在顆粒重疊量（distance）為130、填充顆粒最大與最小粒徑比（ratio）為0.5時，考察顆粒簇包絡網格導入PFC創建剛性顆粒簇的時間成本.如圖7所示，隨著基體分段數和渦輪平滑迭代次數的增加，集料包絡網格控制點數量增大，并且渦輪平滑迭代次數引起的網格控制點增加速度更明顯.

表1 集料建模精度試驗方案Tab.1 Accuracy test schemes of aggregate modeling

圖7 基體分段數和渦輪平滑迭代次數對顆粒簇包絡網格節點的影響Fig.7 Influence of numbers of segments and turbo smooth iterations on wrap mesh nodes

網格控制點影響顆粒簇包絡網格導入PFC的效率，如圖8所示，網格控制點數量與導入時間成本正相關，填充顆粒簇包絡網格的球狀顆粒數量與集料紋理特性沒有關系.進一步研究表明，創建PFC 3D顆粒復合材料數字模型時，Ns=3段，Ts=3次是創建顆粒簇包絡網格的一個理想參數，優化網格控制點可在不影響顆粒填充效果的情況下顯著提高數值分析效率.

圖8 不同試驗方案下的集料精度和數值分析效率Fig.8 Aggregate accuracy and numerical analysis efficiency under different test schemes

4.2 建模參數對集料表面積和體積的影響

以Ns=3段，Sp=100%，Ts=3次，Di=2.0mm，Ni=0.1mm為對照參數創建數字集料模型，討論單一建模變量對數字集料模型體積和表面積的影響.如圖9所示，集料的建模參數中，基體分段數、球形化指數、置換強度對集料表面積和體積的影響相較于渦輪平滑迭代次數、噪波強度、噪波粗糙度更加敏感，并且渦輪平滑迭代次數、噪波強度、噪波粗糙度對集料表面積的影響相對于其對集料體積的影響更加敏感.研究表明，基體分段數、置換強度、球形化指數對集料空間尺寸影響較大，主要用于構造如集料的輪廓、形狀、棱角性這些細觀幾何形態學特征，但渦輪平滑、噪波強度、噪波粗糙度對表面紋理影響較為顯著，主要用于構造集料的微觀幾何形態學特征.另外，隨著基體分段數和置換強度的增加，集料的表面積和體積均增加，但球形化指數增加導致集料的表面積和體積減小，這是因為基體分段數和置換強度主要通過拉伸網格控制節點來增大基體空間，進而構建棱角分明的集料，而球形化修改則主要用于弱化集料的棱角，并使集料盡可能扭曲為球狀顆粒.

圖9 建模參數對集料表面積和體積的影響Fig.9 Influence of modeling parameters on aggregate surface area and volume

4.3 紋理評價指標穩定性分析

如圖10所示，隨著噪波強度、噪波粗糙度、渦輪平滑迭代次數的增大，紋理評價指標均減小，但噪波粗糙度對紋理評價指標的影響最為顯著，這是因為噪波粗糙度的增加使集料網格控制節點的凸起或凹陷越明顯，即紋理分形波的振幅更加顯著.曲線的單調性表明，給出的式（7）評價集料紋理具有可行性和穩定性.

圖10 紋理構造參數對紋理評價指標的影響Fig.10 Influence of texture construction parameters on texture index

4.4 集料幾何形態特征對顆粒復合材料力學性能的影響

尹紀財[6]以“濟南青”花崗巖為試驗集料，用5級級配實驗了不同最大粒徑下的樹脂基顆粒復合材料（resin matrix composite, RMC）的單軸抗壓強度，本文以最大粒徑為5.00 mm時的最大抗壓強度116 MPa為參照，用平行黏結接觸模型考慮樹脂與集料的黏結作用，用“顆粒替換法”在參照樣本的同一位置用任意幾何學特性的不規則集料分別替換最大一級粒徑和最大兩級粒徑的圓形集料，考察集料綜合幾何學特性對RMC抗壓強度的影響.如圖11所示，用不規則顆粒替換x≥ 2.36 mm的球形顆粒，可使RMC的峰值抗壓強度提高20.7%，且替換的球形顆粒越多，RMC的峰值抗壓強度提高越顯著，但顆粒復合材料內部集料的幾何學特性越復雜，壓縮破壞時峰值抗壓強度越不穩定，可能會出現多個局部峰值強度.研究表明，集料的幾何學特征能顯著提高集料之間的咬合互鎖效應，進而表現為單軸壓縮試驗中RMC抗壓強度的提高.

圖11 集料幾何學特性對RMC抗壓強度的影響Fig.11 Influence of aggregate geometric properties on RMC compressive strength

5 結 論

針對現有數字集料設計技術不足，基于3D Max和PFC聯合創建單一集料和顆粒復合材料的數字模型，量化并拓展了幾何形態特性評價指標，進一步研究了實物模型和數字模型空隙率轉化關系，主要結論有：

1）與現有方法相比，基于3D Max的數字集料設計技術能兼顧集料的形狀、棱角性和紋理特性，并具有參數可控、精度和效率高、適應性廣等顯著優勢.基體分段數、球形化指數和置換強度主要用于構造集料的宏-細觀幾何形態學特征，而渦輪平滑迭代次數和噪波參數則主要用于構造集料表面的微觀紋理特征.

2）提供了一種評價集料表面紋理的方法，豐富了集料紋理評價的數學模型.該數學模型能穩定地表征集料表面紋理；同時考慮宏、細觀辯證關系，利用分形維數評價顆粒復合材料骨料系統的方法，拓展了集料幾何形態學評價指標.

3）考慮顆粒復合材料數字模型與實物模型中最小粒徑的差異，基于分形幾何理論研究了顆粒復合材料數字模型的空隙率.同一粒徑分布區間下數字模型和實物模型空隙率存在較大差異，進而給出空隙率轉化的數學模型，為顆粒復合材料的精細建模提供可靠的理論依據.

4）采用“顆粒替換法”能全部或部分替換不同粒徑區間的球形顆粒，創建帶有幾何形態特征的顆粒復合材料數字模型，為集料幾何形態參數定向、定量研究提供了基礎，并有效提高數值分析效率.