學科交叉背景下數值優化課程教學改革探索

徐麗君，王志平

（大連海事大學理學院 遼寧 大連 116026）

2020 年，教育部聯合國家發改委等多部門共同發布了有關新時代教育教學改革的意見，會上提出了促進學科交叉融合發展的重要性，鼓勵探索交叉學科中的關鍵問題，設立一批交叉學科研究中心，培養擁有核心技術的高精尖人才。根據統計（截至2019 年5 月31 日），高校自設交叉學科名單中，涉及數學學科的有數據科學、金融工程、工業與系統工程、數理經濟、生物信息學、醫學生物信息學、計算材料物理學、信息處理及智能控制、計算科學等。

“數值優化”課程源自傳統的“優化方法”課程。優化方法課程是目前數學類、統計學、人工智能等專業本科或研究生階段最基本、最重要的一門課程[1-2]，是一門理論性和實用性很強的專業課程，在交通運輸、生產實際、金融經濟、工程技術及軍事等領域都有非常廣泛的應用[3-4]。根據課程教學內容的側重點不同，各高校設置的課程名稱也略有不同，比如大多數高校開設的課程名稱為最優化方法、最優化理論與方法等[1-6]。

以大連海事大學（以下簡稱“我校”）為例，數學學科研究生招生目錄中有四個研究方向，即數據科學中的數學方法，組合數學及其應用，優化方法及其應用，微分方程及其應用。具體的研究內容包括生物統計、機器學習、人工智能、組合優化、神經網絡、反問題等不同領域，問題背景源自多個交叉學科。根據前期調研和多年的研究生培養經驗，四個研究方向都需要用到一些優化方面的理論和算法，因此在我校2018 年研究生培養方案修訂工作中，將“數值優化”新增為數學學科碩士研究生的專業必修課之一。實際上，該課程也適用于對優化算法有需求的其他交叉學科相關專業，是一門應用廣泛的課程，兼具數學學科的嚴謹性及相關交叉學科的實用性、實踐性。隨著社會高速發展、眾多學科交叉融合問題的出現，比如計算機圖像處理中的壓縮感知、人工智能中的機器學習算法、現代醫學中的數字影像處理和大數據分析等，對“數值優化”這門課的教學內容、理念、方法等方面提出了更高的要求，本文以此進行教學改革探索，具有一定的實際意義。

1 研究現狀分析

目前國內許多大學開設優化方面的課程，常見的課程名稱為“最優化方法”或“優化理論與方法”等，以“數值優化”作為課程名開設的學校較少。常見的課程內容基本以經典的優化理論和方法為主，比如無約束最優化、約束優化的最優性條件及求解方法等。教學內容主要包括一些最基本和實用的經典優化方法和簡單算例。學生可以學到這些優化方法的理論依據、算法框架、收斂性質等。但是，隨著學科交叉融合時代的到來，本課程不僅需要上面所列舉的理論知識，還要求在數值上高效近似地進行求解。然而，目前采用的教材都是偏重于理論知識，并且內容比較陳舊，缺乏一些前沿的數值優化算法和技巧方法。

實際上，研究生數學基礎各異，研究方向交叉融合。許多院校沒有針對此問題開展相關教學內容、方法等方面的改革，而部分院校僅針對特定的二級學科研究方向開設此課程。因此，針對交叉學科背景下的“數值優化”課程一系列教學工作亟須改革，確保研究生在今后的學習和工作中能夠學以致用。另外，在課程資源方面，目前沒有一個全面系統的資源網站供學生進行自我學習和交流，尤其是本課程側重的用于數值計算的實際案例資源。

2 教學改革探索

在教學內容方面，課程的教材內容應圍繞優化算法，簡要討論優化問題基本概念、無約束優化基礎，著重討論線搜索方法、信賴域方法、共軛梯度法和擬牛頓法的聯系與不同，以及約束優化算法。在已有教材內容的基礎上增加目前交叉學科背景下廣泛應用的大規模優化算法、無導數優化算法、稀疏優化算法和非光滑優化算法的教學，比如LASSO、交替方向法、鄰近梯度法、深度學習算法等等。同時及時了解數值優化的發展現狀和研究趨勢，結合最新研究成果和教學實際，逐步增加新的知識內容，完成教學內容的改革（比如參考書籍《機器學習中的優化理論、算法及應用》）。同時根據需要，逐步修訂與完善教學大綱。教學內容應強調算法的收斂性、復雜性和數值穩定性分析，注重討論優化算法的基本原理與數值計算技巧，體現出應用問題的編程需要，并力圖反映交叉學科領域的最新成就與發展前沿。

在教育理念方面，為培養學生的創新能力，加強數學思想的傳授，由過去的單純傳授理論知識逐步轉變為理論知識與思想傳授相結合。該課程一方面體現其工具性，通過講授優化的基本方法及理論，使學生掌握實用的數值方法，從而能夠解決某些或某類具體的問題。另一方面體現其培養性，通過系統地傳授優化方法的理論、算法和應用，舉一反三，培養學生的創造性思維，當遇到新問題時能夠應用已有方法或對已有方法進行改進，甚至設計新的方法求解。最后一方面是科研訓練，在本課程中針對不同學科方向的研究生進行科研論文研討，結合所學優化算法，交流科研論文中的方法，幫助研究生進入科研狀態。

在教學方法和教學手段方面，由于本課程講授大量優化算法的理論以及它們之間的比較，非常適合將多媒體輔助教學方式引入課堂，使算法流程和比較結果直觀化。比如：線搜索方法和信賴域方法可以使用動圖對迭代點的尋找進行演示。因此，有效結合多媒體和動圖軟件技術，將其融入數值優化的課程教學中，是本課程的重要改革方向之一。此外，由“以教師為中心”向“教師-學生”研討式教學方式轉變，比如以學科方向分組進行課程內容的研討、報告和實驗等。另外，充分利用現代教學手段，增強課堂教學效果，使學生盡可能地理解并掌握優化算法的知識。例如：制作生動具體的PPT 課件，將抽象的概念利用圖片動態演示，將數值算法可視化，幫助學生理解算法的原理及不同算法的效率，同時節省課堂抄寫定理定義的時間，提高課堂效率；利用現有的數學軟件（如Matlab/R/Python等）驗證程序的正確性和可用性，加強了學生對知識的理解，提高了學生的學習興趣。

在課程考核方面，課程傳統的考核方式注重學生數學知識的掌握，忽略了對其創新能力、動手能力的要求。為了培養創新型人才，除了要求學生利用數學軟件或其他編程語言在實驗課上編寫程序這種常規做法外，還需要設計交叉學科方向的具有實際應用背景的、創新型試驗習題，讓學生利用計算機編寫軟件，此部分作為課程考核的補充部分。

在課程資源方面，整合學科交叉方向知識點的網絡資源，建設目前沒有的課程資源，不僅包括常規的教學課件、代碼等，還包括一些應用優化算法的實踐案例資源，是一些優化算法的前沿進展，便于學生學習、交流、研討。同時，讓同學們參與資源搜索、分享等工作，鍛煉搜索相關文獻資源的能力。

3 航運學科背景下的教學案例

我校作為航運特色高校，堅持航運特色，注重交叉融合，在數學學科建設過程中，重點圍繞我校一流學科“交通運輸工程”的幾個研究方向，例如船舶運輸安全保障技術、高效海運物流系統與運營管理技術、智能船舶開發及運用技術等。經過近年來多學科之間的交流探討，發現上述研究領域中用到很多數值優化方面的理論和算法。下面以如船舶智能配載中的優化問題為例，介紹本課程的教學改革成效。在貨船配載中需要考慮很多因素，比如裝船時間、船艙利用率、裝載效率、倒箱量等，這些因素可以作為優化問題中的目標函數；比如吃水深度、穩定性、船艙容量、堆裝規則以及客戶需求等可以作為優化問題中的約束條件。在本課程教學過程中，以此問題為背景，可以引出眾多優化子問題，比如船舶浮態平衡計算的優化問題、集裝箱裝卸中的整數規劃問題、裝卸貨物倒箱量極小化問題等。進一步講解其中將用到的一些算法，比如傳統的線搜索、信賴域等算法和遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法等啟發式算法。同時，課程中還引入了目前流行的神經網絡、深度學習、機器學習等方法，供同學們進行自由式、自主性探索。課程考核方面，讓同學們分組進行討論，針對某一子問題，通過文獻搜索、建模、設計算法、模擬實驗等步驟，完成一份科研報告或論文。在此過程中，既將本課程所學的優化算法進行了實際應用，又使得同學們在研一上學期鍛煉了基本的科研能力，對研究生系統科研素質的培養奠定了一定的基礎。有的研究生還以此為研究方向，繼續開展深入的研究，恰好符合了“以成果為導向”的OBE 教育理念。同時，本課程也實現了以教學促科研、以科研補教學的教學目標，尤其對于航海類方向的研究生，達到了因材施教，學以致用的教學目的。

4 實施教學改革遇到的問題

教學內容上要兼顧交叉學科不同研究方向的背景，新內容的引入給課堂組織和教學帶來了一定困難，需要在課程內容方面做好取舍，使學生掌握優化基本知識的同時，順其自然地涉獵新知識。

在開展課程教學的同時進行科研訓練，結合“教師-學生”研討式教學，需合理安排時間和教學進度。以我校數值優化課程為例，該課程總學時48 課時，根據近兩年的研討式教學經驗，研討式教學課時需控制在16 課時以內，并且課程內容要相對簡單，不能有過多的定理證明和推導等。

多媒體教學是把雙刃劍，一方面，大大提高了學生學習興趣，激發了學生的創新思維。另一方面，在教學過程中教師如果運用不當，也會造成一定的負面影響。多媒體教學信息量很大，相比于板書教學進程快，許多學生不能記筆記或者忙于記筆記，忽視了老師的課堂講解，不能很好地適應多媒體教學。因此，教師一定要采取板書和多媒體相結合的方式進行講授，比如算法的理論演示可以采用多媒體進行教學，而部分關鍵理論推導和算法框架可以采取板書教學，這樣能夠有效提高學生的課堂學習效率。

課程思政的融入是為貫徹習近平總書記有關“與思想政治理論課同向同行”的講話精神，也是目前很多高校課程面臨的問題。如何挖掘本課程中的思政元素，需要集思廣益，在課程教學過程中進一步交流探討。

5 結語

在交叉學科背景下，很多研究方向都需要優化的理論和算法，數值優化在其中扮演著重要的角色。本文通過對數值優化課程的教學改革，基于OBE 成果為導向的教育理念，將教學與科研融合，以教學促科研，以科研補教學。通過向“教師-學生”互動研討式教學方式轉變，結合專業方向的實際需求，達到因材施教、學以致用的目的。從而達到鍛煉研究生自主學習能力、增強其創新能力、提升其科研素養的目的，為培養適應科技發展的新時代人才奠定基礎。