一類(lèi)變指標(biāo)四階退化拋物方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為和穩(wěn)定性

蘇彩月,汪穎

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116021)

近年來(lái)，高階非線性拋物型方程的研究發(fā)展日益豐富，主要針對(duì)解的存在性、唯一性及解的爆破理論的研究.其中，非線性擴(kuò)散方程更是一個(gè)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題,比如相變理論、滲透理論、生物化學(xué)等領(lǐng)域都有涉及，特別是退化和奇異的非線性拋物方程,它們?cè)谀撤矫娓芊从硨?shí)際物理意義,如擾動(dòng)傳播的有限性、薄膜方程等.對(duì)于這類(lèi)方程的系統(tǒng)論述Wu等[1]全面介紹了有關(guān)退化的非線性擴(kuò)散方程的基本問(wèn)題、典型方法以及主要結(jié)果等等.本文主要討論以下四階變指數(shù)退化拋物問(wèn)題：

(1)

u=Δu=0,x∈?Ω,t>0

(2)

u(x,0)=u0(x),x∈Ω

(3)

Δ(Δup-2Δu)=λf(x,u)+μg(x,u),x∈Ω

u=Δu=0,x∈Ω

至少有三個(gè)弱解的存在性，但關(guān)于p-雙調(diào)和拋物型方程的文獻(xiàn)比較少.而本文所討論的方程類(lèi)似于發(fā)展的p-Laplace方程,有關(guān)p-Laplace方程的相關(guān)性見(jiàn)文獻(xiàn)[3-4].此外，Carrillo和Toscani用熵泛函方法[5]研究了溶液的長(zhǎng)時(shí)間行為.本文是在郭金勇等[6]研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究有關(guān)解的長(zhǎng)時(shí)間行為和穩(wěn)定性.由于退化,問(wèn)題(1)～(3)不再具有通常意義下的古典解,因此本文定義如下弱解.

1 主要內(nèi)容

定理1函數(shù)u(x,t)稱(chēng)為問(wèn)題(1)～(3)的弱解，若其滿(mǎn)足以下條件

(4)

(3)在L2(Ω)意義下，u(x,0)=u0(x).

定理2設(shè)u為滿(mǎn)足問(wèn)題(1)～(3)的弱解(長(zhǎng)時(shí)間行為)，則有

證明 首先選擇φ=u作為式(4)的檢驗(yàn)函數(shù)，有

(5)

于是

(6)

接下來(lái)定義熵泛函

很容易得到

(7)

若λ>0,則有

通過(guò)求解常微分不等式f′(t)≤-C1f(t)可知

即結(jié)論(1)成立.

若λ=0,根據(jù)式(7)可知

由于f′≤0,f為遞減函數(shù)，不妨設(shè)f(0)<1,利用嵌入定理可知

因此

即有

定理2證明完成.

則有

證明 由于u和v是問(wèn)題(1)～(3)的兩個(gè)弱解，利用解的定義，可以得到

對(duì)固定的s∈[0,T]，取φ=χ[0,s](u-v)作為上式的檢驗(yàn)函數(shù)，其中χ[0,s]是[0,s]上的特征函數(shù)，則

利用事實(shí)不等式(|s|p(x)-2s-|t|p(x)-2t)(s-t)≥0,s,t∈R.

設(shè)λ≥0可知

即證.

2 結(jié)論

本文主要研究了變指標(biāo)四階退化拋物方程問(wèn)題,其存在性采用時(shí)間離散化技術(shù)，通過(guò)構(gòu)造逼近解，結(jié)合能量估計(jì)獲得一致性估計(jì),進(jìn)而得到存在性結(jié)果.在存在性基礎(chǔ)上，利用熵泛函方法，得到解基于熵的能量估計(jì)，給出解的長(zhǎng)時(shí)間行為，進(jìn)而又獲得解的穩(wěn)定性.