火炮彈丸落點散布的區間多目標優化設計

佟妮宸,吳興富,劉啟明

(1.河北工業大學 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室, 天津 300401；2.河北工業大學 機械工程學院, 天津 300401； 3.湖南大學 機械與運載工程學院, 長沙 410082)

1 引言

火炮屬于火力壓制武器，因具有結構可靠、技術成熟、彈藥充足、殺傷威力大等諸多優勢，在現代戰場中處于不可替代的位置[1-2]。射擊精度是當前火炮研究和設計所涉及的重要技術指標，對彈丸落點散布程度進行優化，縮小彈丸落點散布范圍是提高火炮射擊精度的重要內容。

近年來，學者們在降低彈丸落點散布程度，提高火炮射擊精度問題上做了大量研究。王麗群等[3-4]基于隨機模型和RBF神經網絡模型，開展了隨機參數的變化與火炮射擊密集度之間關系的研究，并獲得了各因素對射擊密集度的影響規律。雷曉云等[5]基于Monte-Carlo法對影響火炮射擊精度的因素進行研究，得到了各因素的變化對彈丸落點散布程度的影響。柏迅等[6]應用Monte-Carlo法對火炮外彈道仿真模型進行了彈丸落點分布的統計與分析，為后續對彈丸落點散布問題進行優化提供了理論支撐。Durson[7]借助PRODAS彈道軟件分析了影響彈丸落點散布的關鍵參數對彈丸落點散布產生的影響，為后續開展彈丸落點散布的區間優化提供了數據保障。在火炮外彈道優化過程中，很多研究人員通過建立代理模型來描述參數與彈丸落點散布之間的映射關系，用高效的代理模型取代復雜而耗時的仿真模型[8-11]，并基于代理模型對火炮系統進行多目標優化設計。常見的代理模型有多項式回歸模型[12-13]、Kriging模型[14]、徑向基函數模型[15-16]等。劉朋科等[17]結合了Kriging模型和NSGA-Ⅱ優化算法，對坦克的結構參數進行優化設計，改善了炮口的響應狀態。侯捷等[18]基于徑向基函數神經網絡建立火炮底架各結構參數的代理模型，并應用MOGA和SQP的組合算法對代理模型進行優化計算。

盡管學者們圍繞火炮結構優化、代理模型構建等方面開展了很多工作，但在不確定性條件下開展火炮外彈道彈丸落點散布的優化研究還鮮有提及。為解決這一問題，本文中建立了火炮外彈道不確定參數與彈丸落點散布的映射模型，并基于該模型，在不確定條件下對彈丸落點散布進行區間多目標優化設計，從而降低彈丸落點的散布程度，提高火炮的精確打擊能力。

2 基于外彈道理論的彈丸運動軌跡數值仿真模型

由于火炮實驗存在成本高昂、條件苛刻、設備特殊等難題，通過實驗手段獲取火炮實驗數據效率低、效果差，而數值模擬是一種有效的分析手段，在火炮外彈道領域受到廣泛應用。本節基于外彈道理論建立了非標準彈道、氣象和地形地球條件下的彈丸質心運動微分方程組，并通過龍格庫塔數值算法對方程進行解算，得到了彈丸運動軌跡的仿真模型。考慮到彈丸在外彈道運動過程中，攻角δ很小，即認為δ≡0；另外，考慮到彈丸外形不對稱或者由于質量分布不對稱造成質心不在彈軸上，也會產生對質心的力矩，使得彈丸產生圍繞質心的自轉運動。為了簡化彈丸在火炮外彈道復雜的運動過程，現做以下基本假設：

1) 在整個彈丸運動過程中，攻角為零，即δ≡0；

2) 彈丸的外形和質量分布關于縱軸呈軸對稱的。

基于以上基本假設，在建立火炮外彈道數值仿真模型時，可以將彈丸視為質點再研究其運動狀態。考慮到初速、彈重、藥溫、氣象條件、地理緯度在內的諸多因素都會對彈丸運動產生影響，并且這些因素在模擬戰場或者實際戰場中各不相同，為了研究和比較不同條件下彈丸的運動情況，依據3種國家標準條件(標準彈道條件，標準氣象條件，標準地形、地球條件)[19]，依次探究彈丸在不同條件下的運動響應。基于此，在外彈道理論的基礎上，建立非標準彈道、氣象和地形地球條件下彈丸質心運動微分方程組為：

(1)

式(1)中：c=id2×103m-1Z；H(y)=ρ/ρ0N；ρ=p/Rτ；G(vr,cs)=4.737×10-4cx0N(Ma)v；Ma=v/cs；Λ為緯度；Ω為地球自轉角速度；α為x軸與正北方向的夾角；wz為橫風，其方向平行于射擊平面；wx為縱風，其方向垂直于射擊平面。

通常無法直接求得這類非線性微分方程組的解析解，所以在綜合考慮誤差、精度、穩定性等方面后，采用4階Runge-Kutta數值算法[20-22]對火炮外彈道彈丸質心運動微分方程組(1)進行求解，Runge-Kutta算法是一種在工程上應用十分廣泛的高精度單步算法，主要用于數值求解微分方程組。應用Runge-Kutta算法對該方程組進行求解的微分初始條件為：vx=0=v0cosθ0,vy=0=v0sinθ0,vz=0=0。應用于火炮外彈道微分方程組的4階Runge-Kutta算法的推導見附錄1。基于MATLAB編程得到彈丸在火炮外彈道的運動軌跡，如圖1所示。

圖1 火炮外彈道運動軌跡示意圖

3 基于AHDMR的彈丸落點散布映射模型

影響火炮外彈道彈丸落點散布的參數有很多，這些不確定參數與彈丸落點散布之間的映射關系比較復雜。應用傳統的代理模型，難以對火炮外彈道這類高非線性問題的不確定參數與彈丸落點散布之間復雜映射關系進行表達，為了描述二者之間復雜的映射關系，本節基于近似高維模型表達 (approximate high dimensional model representation,AHDMR) 建立了彈丸落點散布的映射模型，應用基于AHDMR的代理模型構建方法，在不確定性條件下對火炮外彈道彈丸落點散布進行優化設計，適應于傳統代理模型難以處理的炮口狀態參數、彈丸特征參數和空氣動力學參數等不確定參數與火炮外彈道彈丸落點散布之間高非線性映射關系的問題。

3.1 基于近似高維模型表達的代理模型算法推導

假設系統的輸入變量x=(x1,x2,…,xn)∈Mn，輸出響應f(x)平方可積，則可以將輸入變量與輸出響應之間的映射關系寫成高維模型表達(HDMR)[23,24]的形式,即：

(2)

HDMR的各階函數子項可以通過積分計算得到，有：

(3)

式(3)中：f0是一個常數，表示函數的期望；fi(xi)、fij(xi,xj)、fijk(xi,xj,xk)分別表示1階、2階和3階函數子項；dx～i表示除了變量xi之外所有變量的微分；dx～ij表示除了xi,xj之外所有變量的微分；dx～ijk表示除了xi,xj,xk之外的所有變量的微分。

高維模型中各階函數子項具有以下性質：

s∈{i1,i2,…,im}

(4)

(5)

高維模型中各階函數子項都是通過積分運算進行獨立求解的，然而對于火炮外彈道這類高非線性問題，其概率密度函數和函數表達式都是未知的，通過積分手段難以對各階函數子項進行計算。

因此，引入系數和正交基函數，來近似表示高維模型中的各階函數子項，代替積分求解函數子項的方式。近似表示的低階函數子項以及高階函數子項共同組成了近似高維模型表達(AHDMR)，其特點是各階函數子項對系統響應的貢獻程度隨階次的升高而降低。對于一般非線性問題，近似高維模型表達的函數子項最高階次取2～3，即可獲得較好的精度。

在構建近似高維模型表達時，首先對式(2)中各階函數子項進行近似表示，有：

(6)

(7)

表1 均勻分布和高斯分布下基函數

因此，AHDMR的表示形式為：

(8)

(9)

根據上述推導，可以將AHDMR 2階代理模型表示為：

(10)

AHDMR 3階代理模型表示為：

(11)

以上即為基于AHDMR的代理模型構建過程，為了進一步論證所提代理模型構建方法的優勢，以下將通過2個數值算例對所建模型的準確性和適用性進行驗證。

3.2 數值算例

3.2.1算例Ⅰ

為了驗證所提代理模型構建法處理復雜非線性問題的能力，構造了一個含多變量交叉作用的非線性函數f(x)為：

f(x)=(x1·x2·x3)3,{x1,x2,x3}∈[0,1]

(12)

基于2階AHDMR、3階AHDMR方法，以及2次響應面和3次響應面法[25]，分別建立近似模型，并驗證其模型精度，精度結果如表2所示。觀察表2中數據發現，4種近似模型的精度都隨著采樣數量的增加而增加；在樣本點數量相同時，AHDMR精度高于響應面法的精度；3階AHDMR精度高于2階AHDMR的精度，且在采樣點為2 000時，3階AHDMR精度較高，R2≈98%，RMSE≈0.01。從以上分析可以看出，相比其他近似模型，3階AHDMR模型具有較好的建模精度，且采樣數量越大，模型精度越高。為了更直觀地對4種方法的建模精度進行對比，圖2中詳細比較了500個采樣量的預測值與理論值之間的差異程度。對比結果表明，應用AHDMR方法對含多變量交互作用的函數建立代理模型，精度較高，尤其是3階AHDMR方法精度更好，匹配性更高。

3.2.2算例Ⅱ

為了進一步驗證AHDMR方法建代理模型的精確性和適用性，對含有多輸入變量的高非線性函數g(x)應用2階AHDMR、3階AHDMR、2次響應面和3次響應面法建立4種近似模型。函數g(x)表達式為：

(13)

計算4種方法建立的代理模型精度，計算結果如表3所示，從表3中數據對比可以看出，隨著采樣數量的增加，4種近似模型精度都隨之增加；在建模樣本點相同時，AHDMR法建模精度更好，且2階AHDMR的精度始終高于3階AHDMR的精度。通過圖3中樣本數量為500時4種方法的建模精度比較可知，2階AHDMR法具有更好的建模精度。對比結果再次表明，響應面法不適合用于高非線性問題；AHDMR 3階方法不適合解決高非線性問題，在對這類問題進行擬合時，容易出現過擬合現象，影響其建模精度，這時采用2階AHDMR方法進行模型構建，反而會得到一個較好的擬合精度。綜上所述，為保證代理模型精度，優先采用2階AHDMR構建高非線性問題的代理模型。

表2 算例Ⅰ的4種代理模型精度

圖3 算例Ⅱ中4種方法預測值與準確值曲線

表3 算例Ⅱ的4種代理模型精度

3.3 基于AHDMR的彈丸落點散布映射模型

影響彈丸落點散布的關鍵參數包括彈長d、彈徑L、彈重m、炮口初速度v0、發射角度θ、橫向風速wz和縱向風速wx，將其作為輸入變量，將x、z方向上彈丸的落點位置坐標作為2元輸出響應，用2元組[f(x),g(x)]表示彈丸落點的響應。在建立輸入參數與2元輸出響應的模型時，樣本的采取十分重要，它關系到代理模型的穩定程度，一般在建立代理模型時有4種較為常用的采樣方法，分別包括蒙特卡洛采樣法(monte carlo sampling)[26]、拉丁超立方采樣法(latin hypercube sampling)[27]、Sobol’采樣法[28]和Halton采樣方法[29]。用以上4種方法對影響彈丸落點散布的關鍵參數x=[d,L,m,v0,θ,wx,wz]歸一化后分別進行采樣，為了更加直觀清晰地對比各采樣方法的優勢，在圖4中展示了應用4種方法對變量d,L采樣的分布情況。由圖4可知，基于Sobol’采樣法得到的樣本點分布最均勻，故采用Sobol’法對影響彈丸落點散布的關鍵參數進行采樣。

圖4 4種采樣方法彈丸落點散布示意圖

根據公式(10)，構建包含2個響應的火炮外彈道彈丸落點散布近似模型如式(14)所示，x、z2個方向上的輸出響應分別用f(x),g(x)表示。

(14)

為了方便理解基于AHDMR彈丸落點散布映射模型的構建過程，現將其主要步驟進行總結，如圖5所示。

4 彈丸落點散布區間多目標優化

由于加工精度、測量誤差和認知水平的限制，導致彈丸落點散布程度不可避免地會受到不確定因素的影響，使得采用傳統的確定性方法無法對彈丸落點散布進行優化設計。因此本節將結合區間理論對火炮外彈道彈丸落點散布進行多目標優化設計，以降低彈丸落點散布程度，提高火炮精確打擊能力。優化火炮外彈道彈丸落點散布等不確定性問題[30]，通常將其先轉化為確定性優化問題，進而利用確定性優化方法進行求解。

確定性問題的多目標優化模型[31]表示為：

(15)

式(15)中：fi(X)表示優化目標函數；gj(X)表示優化約束函數；m,n表示目標函數和約束函數的個數；X表示多維設計變量。關于設計變量X的取值范圍，有2種表示形式為：

XI=[XL,XU]={X∈R|XI≤X≤XU}

(16)

XI=[Xc-Xr,Xc+Xr]=Xc+[-1,1]Xr

(17)

式(16)、式(17)中：XU,XL分別是區間數XI的上下界；Xc,Xr分別是區間XI的中心和半徑。

圖5 基于AHDMR的彈丸落點散布映射模型構建流程框圖

在滿足約束條件情況下，對式(15)多目標優化模型進行求解，可以得到設計參數最佳值Xopt和目標函數最優值fopt。然而通過確定性問題的優化模型難以對受不確定因素影響的彈丸落點散布程度進行優化求解，因此，針對火炮彈丸落點散布的不確定性優化問題，擬基于區間理論，建立其考慮不確定因素影響的區間多目標優化模型[32]，具體構建過程如下：

步驟1需要先將不確定因素加入到確定性優化模型中，建立不確定性區間優化模型，即：

(18)

步驟2不確定性優化目標轉化為2個確定性優化目標，即：

(19)

(20)

式(19)、式(20)中：ξ為區間設計變量的評價系數；γi為某一設計變量的不確定性水平。ξ的值增大，即區間內設計變量的不確定性水平在提高，進而表示允許出現的誤差越大，綜合成本相應會降低。

步驟3引入區間可能度p對約束條件進行不確定性轉換，有：

根據式(19)—(21)的計算，可以將不確定性優化模型式(18)轉化為：

(22)

式(22)中，λj表示約束條件的可能度系數。λj值越小，對約束條件的要求越低，滿足約束條件的可能性就越大，其計算公式為：

(23)

根據文獻[7]對影響彈丸落點散布參數的敏感性分析結果可知，彈長L、彈重m、發射角度θ的敏感性程度較高，故將其作為優化變量，而敏感性程度較低的變量d,v0設定為設計初值，風速wx,wz為不可設計變量。將彈丸落點射程和偏差的平均值xa,xz和公算偏差Ex,Ez作為對變量進行優化時的評價準則，關于4個評價準則Ex,Ez,xa,xz的計算公式分別為[19]：

(24)

(25)

式(24)、式(25)中：xi,zi分別表示n發彈中任意第i發彈的射程和側偏；xa,za分別表示n發彈的射程均值和側偏均值；Ex,Ez分別表示射程和側偏的公算偏差。

基于上述所構建的火炮外彈道彈丸落點散布近似高維模型，以彈丸落點在x、z方向上散布程度的評價指標Ex,Ez為優化目標，以xa,xz為約束條件，構建彈丸落點散布的區間多目標優化模型，即：

(26)

式(26)中：xa0為不確定性水平為0時，彈丸在x方向上的落點坐標xa0=14 233 m；xz0為不確定性水平為0時，彈丸在z方向上的落點坐標xz0=285.66 m；XU,XL分表表示區間的上下界；Xc,Xr分別表示區間中心和區間半徑。

基于非支配序列優化算法(NSGA-Ⅱ)對上述區間多目標優化問題進行優化求解，設置種群數目為200、迭代次數為200，迭代循環終止后，生成70個優化解集，從中選出10組優化數據進行分析，其數據如表4所示。

由表4中數據顯示，ξ的值不同時，各個設計變量區間中心和區間半徑的值也各不相同，且隨著評價系數ξ增加，設計變量的區間中心值在減小，區間半徑的值增加，即-ξ的減小會使設計要求降低。

表4 火炮外彈道系統區間多目標優化設計部分解集

圖6為火炮外彈道系統Pareto最優解對應的優化目標與評價系數的關系圖，由圖6可知，隨著評價系數的增加，優化目標的值Ex,Ez也隨之增加，即彈丸落點散布程度減小。

圖6 火炮外彈道系統的Pareto最優解示意圖

為了比較優化前后的變化，將火炮外彈道關鍵變量的初值作為優化前的參數設計，選擇評價系數ξ最大時，即對應優化結果的第10組數據作為優化后的參數設計。通過優化前后對比分析，Ex降低了11.4%，Ez降低了1.13%。在不影響射程的前提下，彈丸落點散布程度得以減小，彈丸擊打目標的精確性得到很好的改善。

5 結論

在火炮外彈道研究中，精準打擊能力是衡量火炮作戰能力的重要指標。然而由于不確定性因素的存在導致彈丸落點散布增大，火炮擊打能力降低。因此為了提高火炮的精準打擊能力，在不確定性條件下，對火炮外彈道彈丸落點散布進行優化，研究結論如下：

1) 在理想彈道條件下，應用外彈道理論建立了考慮不確定性影響的火炮外彈道仿真模型，發展了一種基于AHDMR的代理模型構建方法，并通過數值算例驗證了其準確性與適用性。

2) 以彈丸落點在x、z方向上的公算偏差Ex,Ez為優化目標，以彈丸落點的散布中心xa,xz為約束條件，開展考慮不確定性影響的火炮外彈道區間多目標優化設計，結合非支配序列優化算法(NSGA-Ⅱ)求解優化結果，結果表明彈丸落點散布的評價指標Ex降低了11.4%，Ez降低了1.13%，即通過本文的優化，火炮的精準打擊目標能力有明顯提高。

本文研究結果對提高彈丸精準打擊能力和優化火炮綜合性能具有重要的指導意義和應用價值。