具有線性記憶項(xiàng)Plate方程周期解的存在性

張鐵元, 杜先云

(成都信息工程大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 610225)

0 引言

周期現(xiàn)象在自然界中十分常見,如四季的更替,太陽的升降等,主要表現(xiàn)在某種現(xiàn)象隨著時間的推移呈規(guī)律性出現(xiàn),而這些周期現(xiàn)象反應(yīng)在描述物理現(xiàn)象的非線性偏微分方程中便是周期解的存在。1997年H Kato[1]探究了Navier-Stokes方程在有界域上周期解的存在性;2001年郭柏靈等[2]證明了弱阻尼Schr?dinger-Boussinesq方程周期解的存在性;2019年羅維[3]討論了大氣原始方程組時間周期解的存在性。

Plate方程源自Woinowsky[4]和Berger[5]建立的彈性振動方程。本文考慮一類具有線性記憶項(xiàng)的二維plate方程[6]在周期性外力項(xiàng)的作用下,在有界域Ω×R+上周期解的存在性問題。

其中:r1,r2,N1,N2,ρ,β為非負(fù)常數(shù),f為外力項(xiàng),φ(0),φ(∞)＞0,φ＇(s)＜0,?s∈R+。

1 預(yù)備知識

介紹一些周期為T的函數(shù)所構(gòu)成的函數(shù)空間。

Lp(T;X)(1≤p≤∞)是在R1中以T為周期且在X上可測的函數(shù)的集合,定義范數(shù)

Wk,p(T;X)={Q(x)|Q(x)∈Lp(T,X),Dαu∈Lp(T,X),x∈R1,α≤k},當(dāng)X是希爾伯特空間時,Hk(T;X)=Wk,2(T;X)。

對記憶核函數(shù)μ作出如下假設(shè):

(H1)μ∈C1(R+)∩ L1(R+), μ＇(s)≤0,對于任意s∈R+;

(H3)μ＇(s)+αμ＇(s)≤0,對于任意 s∈R+,α＞0

定義以下希爾伯特空間

為方便記憶項(xiàng)的處理,不失一般性,設(shè)有φ(∞)=1,讓 μ(s)=-φ＇(s),定義如下變換

引理2[8](Leray-Schauder不動點(diǎn)定理)設(shè)A:E→E 全連續(xù)。如果{x|x∈E,x=λAx,0＜λ＜1}有界,則A在E閉球T中必有不動點(diǎn),這里T={x|x∈E,‖x‖≤R},R=sup{‖x‖|x=λAx,0＜λ＜1}。

2 近似解的存在性

設(shè)ωj(j=1,2,3,…)是由A的特征向量組成的E0中的完全正交系,并且具有狄利克雷邊界條件。將式(3)～(6)近似周期解uN,vN,ηN記作以下形式:

其中ajN(t),bjN(t),cjN(t)是關(guān)于時間t∈R+的相關(guān)系數(shù)函數(shù),根據(jù)伽遼金法(Galerkin method),其滿足以下偏微分方程組

令WN為ω1,ω2,…,ωn張成的E0的子空間,易知對于C1(T,WN)中的連續(xù)緊映射:F:(pN,qN,mN)→(uN,vN,ηN)有任意(pN,qN,mN)∈C1(T,WN),存在唯一周期為T的解(uN,vN,ηN)∈C1(T,WN)滿足

要證明式(10)～(13)解的存在性,由Leray-Schauder不動點(diǎn)定理可知,用替換非線性項(xiàng)β ‖uNx‖2uNxx,后,只需證明

其中C1是與λ,N無關(guān)的正常數(shù)。

其中C1是與λ,N無關(guān)的正常數(shù),則說明式(3)～(6)在E0中存在近似周期解(uN,vN,ηN),定理1證畢。

3 先驗(yàn)估計

定理1中證明了近似周期解(uN,vN,ηN)的存在性,為說明(uN,vN,ηN)的收斂性,將進(jìn)行其高低階導(dǎo)數(shù)的一致性有界估計。在開始有關(guān)的高階估計前(其中r=),注意到基{ωi,i=1,2,3,…}既可以作為算子A的特征函數(shù)ωi,也可作為Ar的特征函數(shù)ωi,表示為其中l(wèi)i為算子A的特征值。

定理2 (uN,vN,ηN)為式(3)～(6)在E0中的近似周期解,有

由第一微分中值定理有,存在t*∈[0,T],使

4 周期解的存在唯一性

定理5 式(3)～(6)在E0中存在唯一周期解(u,v,η)

證明 定理1中,證明了式(3)～(6)存在近似周期解(uN,vN,ηN),則由定理2到定理4的成立可知,解序列(uN,vN,ηN)以下面的方式趨近于解序列(u,v,η)

由式(28)～(30)的成立就可以推出式(31),說明近似周期解(uN,vN,ηN)在E0中的收斂性。

運(yùn)用Gronwall's定理有

其中t∈(0,∞),又因?yàn)閃(t)關(guān)于t是周期函數(shù),所以對于任意t∈(-∞,∞),都存在一個正整數(shù)n0使t+n0T＞0,并且有W(t)=W(t+n0T)。從而對于任意n≥n0,有W(t)≤W(0)exp(-c2nT)。則可知W(t)≡0,周期解唯一,定理5證明完畢。