有界格上一致模的構造

蔣玉秀, 鄭 旭

(成都信息工程大學應用數學學院,四川 成都 610225)

0 引言

Yager等[1]在1996年提出了單位區間上的一致模算子。單位區間上的一致模算子作為三角模[2]與三角余模的推廣和一致化,具有很多良好的性質,被廣泛地應用于信息聚合、模糊系統模型、神經網絡等領域[3-5],具有十分重要的理論和應用價值。

由于有界格[6]比單位區間更具一般性,因此都傾向于研究有界格上的一致模[7-21]。Kara?al等[7]第一次提出有界格上的一致模,還證明了有界格上一致模的存在性。隨后,?ayl?等[12-13,15]構造了有界格上的冪等一致模。Ouyang等[16]首次引進有界格上的閉包算子(內部算子)構造一致模。?ayl?等[17-18]也給出了一些在有界格上用閉包算子(內部算子)構造一致模的方法。Ji[19]首次引進有界格上的三角次模(三角次余模)構造一致模。Hua等[20-21]也給出了一些在有界格上用三角次模(三角次余模)構造一致模的方法。一致模的構造是研究一致模需要解決的首要問題。關于一致模的構造已經有很多的結果,但是目前還沒有同時基于閉包算子(內部算子)和三角次模(三角次余模)的一致模結構。本文將利用有界格上的閉包算子(內部算子)和三角次模(三角次余模)給出一致模的兩種具體構造方法。

1 預備知識

定義1[6]設(L,≤)是偏序集,如果L中的任意一對元a和b,a∧b與a∨b恒存在,則稱(L,≤)為格。若格(L,≤)存在最大元1和最小元0,則稱(L,≤)為有界格。

文中除非特別說明,都定義L為有最大元1和最小元0的有界格。

定義2[6]設L是一個有界格,a,b∈L且a≤b。L的一個子集[a,b]被定義為

同樣可以定義[a,b)= {x∈L a≤x＜b},(a,b]={x∈L a＜x≤b} 和(a,b)= {x∈L a＜x＜b}。 如果a和b無法比較大小,記為a‖b。對e∈L{0,1},定義Ie={ x ∈L x‖e}。

定理1[7]設(L,≤,0,1)是一個有界格,U是L上的一致模,其單位元e∈L{0,1},可以得到:

(1)Te=U [0,e]2:[0,e]2→[0,e]是[0,e]的一個三角模;

(2)Se=U [e,1]2:[e,1]2→[e,1]是[e,1]的一

定義3[2]設(L,≤,0,1)是一個有界格。

(1)算子T:L2→L叫作L上的三角模,如果滿足交換性、結合性且對于每個變量是單調遞增的,并且它有單位元1,?x∈L都有T(x,1)=x。

(2)算子S:L2→L叫作L上的三角余模,如果滿足交換性、結合性且對于每個變量是單調遞增的,并且它有單位元0,?x∈L都有S(x,0)=x。

定義4[7]設(L,≤,0,1)是一個有界格。算子U:L2→L叫作L上的一致模,如果滿足交換性、結合性且對于每個變量是單調遞增的,并且它有單位元e∈L,?x∈L 都有 U(x,e)=x。個三角余模。

定義5[2]設(L,≤,0,1)是一個有界格。

(1)算子F:L2→L叫作L上的三角次模,如果滿足交換性、結合性且對于每個變量是單調遞增的,并且?x,y∈L 都有 F(x,y)≤x∧y。

(2)算子R:L2→L叫作L上的三角次余模,如果滿足交換性、結合性且對于每個變量是單調遞增的,并且?x,y∈L 都有 R(x,y)≥x∨y。

定義6[22]設(L,≤,0,1)是一個有界格。

(1)映射cl:L→L叫作閉包算子,如果?x,y∈L,都滿足以下條件:

(i)x≤cl(x);

(ii)cl(x∨y)=cl(x)∨cl(y);

(iii)cl(cl(x))=cl(x)。

(2)映射int:L→L叫作內部算子,如果?x,y∈L,都滿足以下條件:

(i)int(x)≤x;

(ii)int(x∧y)=int(x)∧int(y);

(iii)int(int(x))=int(x)。

定理2[19]設(L,≤,0,1)是一個有界格并且e∈L{0,1}。

(1)如果F是一個L上的三角次模且Se是[e,1]上的三角余模,則算子U:L×L→L是L上的一個單位元為e的一致模,其中U定義如下:

(2)如果R是一個L上的三角次余模且Te是[0,e]上的三角模,則算子U:L×L→L是L上的一個單位元為e的一致模,其中U定義如下:

2 有界格上一致模的構造

利用閉包算子(內部算子)和三角次模(三角次余模)在有界格上給出一致模的兩種具體構造方法。

定理3 設(L,≤,0,1)是一個有界格并且e∈L{0,1}。如果F是一個L上的三角次模且cl是L上的閉包算子,則算子U1:L×L→L是L上的一個單位元為e的一致模,其中U1定義如下:

單位元:?x∈[e,1],都有 Se(x,e)=x∨e=x。

單調性:設x≤y,?z∈L都有Se(x,z)≤Se(y,z)。

當x=e,y=e,z=e時,Se(x,z)=e=Se(y,z);

當x=e,y=e,z∈(e,1]時,Se(x,z)=z=Se(y,z);

當 x=e,y∈(e,1],z=e時,Se(x,z)=e＜y=Se(y,z);

當 x=e,y∈(e,1],z=e時,Se(x,z)=z≤cl(y)∨cl(z)=Se(y,z);

當 x∈(e,1],y∈(e,1],z=e時,Se(x,z)=x≤y=Se(y,z);

當 x∈(e,1],y∈(e,1],z∈(e,1]時,Se(x,z)=cl(x)∨cl(z)≤cl(y)∨cl(z)=Se(y,z)。

結合性:當x,y,z∈[e,1]三者至少有一個取e時,必有Se(x,Se(y,z))=Se(Se(x,y),z);當x,y,z∈(e,1]時,有Se(x,Se(y,z))=cl(x)∨cl(y)∨cl(z)=Se(Se(x,y),z)。

定理4 設(L,≤,0,1)是一個有界格并且e∈L{0,1}。如果R是一個L上的三角次余模且int是L上的內部算子,則算子U2:L×L→L是L上的一個單位元為e的一致模,其中U2定義如下:

證明:此證明與定理3的證明類似。

3 結束語

利用閉包算子(內部算子)和三角次模(三角次余模)在有界格上給出一致模的一個構造方法,即利用閉包算子和內部算子分別給出定理2中的三角模和三角余模的具體形式構造一致模。接下來將繼續利用閉包算子(內部算子)或者三角次模(三角次余模)在有界格上構造新的一致模,以此豐富有界格上一致模的結構。