一種GNSS測(cè)碼偽距絕對(duì)定位求解方法*

常占強(qiáng) ，劉家喜 ，錢淑君 ，張妍欣 ，鄭浩鑫

（1.首都師范大學(xué)資源環(huán)境與旅游學(xué)院，北京 100048；2.三維信息獲取與應(yīng)用教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100048；3.山東省第四地質(zhì)礦產(chǎn)勘查院，山東 濰坊 261021）

0 引 言

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system，GNSS）泛指中國(guó)的北斗（Beidu）、美國(guó)的GPS（globalpositioning system）、俄 羅 斯 的GLONASS（global navigation satellite system）和歐洲的伽利略（Galileo satellite navigation system）.現(xiàn)今，GNSS定位導(dǎo)航功能不僅廣泛應(yīng)用于軍事、測(cè)繪、公安交通、數(shù)字測(cè)圖、精細(xì)農(nóng)林業(yè)及土地資源調(diào)查與勘測(cè)等領(lǐng)域［1-9］，并已滲透到人類日常生活中，如旅游、野外探險(xiǎn)等.其中，GNSS測(cè)碼偽距絕對(duì)定位僅用一臺(tái)接收機(jī)不需要進(jìn)行差分處理就可實(shí)現(xiàn)全球快速定位導(dǎo)航，在軍事、公安交通、車輛艦船定位導(dǎo)航、精細(xì)農(nóng)林業(yè)、土地資源調(diào)查與勘測(cè)等領(lǐng)域中發(fā)揮著重要作用.尤其是精確單點(diǎn)定位技術(shù)（pre‐cise point positioning，PPP）定位精度可達(dá)厘米級(jí)，受到了越來(lái)越廣泛的關(guān)注［10-21］.當(dāng)前，GNSS 測(cè)碼偽距絕對(duì)定位坐標(biāo)解算方法有常規(guī)經(jīng)典算法和求差法2種［22-26］：常規(guī)經(jīng)典法同時(shí)接收處理4顆GNSS衛(wèi)星信號(hào)即可實(shí)現(xiàn)定位，但需要GNSS接收機(jī)初始概略坐標(biāo)值，再用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)將偽距觀測(cè)方程線性化；求差法不需GNSS接收機(jī)初始概略坐標(biāo)值，但需多接收處理1顆GNSS衛(wèi)星信號(hào)才能實(shí)現(xiàn)定位，在一定程度上限制了GNSS的定位區(qū)域，特別是在地形復(fù)雜的山區(qū)峽谷地帶和森林茂密地區(qū)等GNSS衛(wèi)星信號(hào)接收困難區(qū).本文將在對(duì)2種方法進(jìn)行系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)的測(cè)碼偽距絕對(duì)定位處理方法，并用實(shí)例對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證.

1 GNSS測(cè)碼偽距絕對(duì)定位算法分析

1.1 常規(guī)經(jīng)典算法

GNSS測(cè)碼偽距定位是依據(jù)GNSS衛(wèi)星坐標(biāo)和測(cè)碼偽距為已知量建立觀測(cè)方程實(shí)現(xiàn)的.其測(cè)碼偽距觀測(cè)方程可表示為

為實(shí)現(xiàn)絕對(duì)定位，GNSS接收機(jī)需同時(shí)接收處理4顆以上GNSS衛(wèi)星信號(hào)，建立4個(gè)以上觀測(cè)方程可解算出4個(gè)未知數(shù)：GNSS接收機(jī)三維坐標(biāo)（X，Y，Z）及接收機(jī)時(shí)鐘誤差δtT.但方程式（1）為非線性方程，一般用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)將其線性化.設(shè)GNSS接收機(jī)初始概略坐標(biāo)為（X0，Y0，Z0），將式（1）用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，略去2次以上項(xiàng)，則

式中：ρj是經(jīng)過(guò)電離層、對(duì)流層以及衛(wèi)星時(shí)鐘誤差改正后的距離，為已知量；ρj0=kj、mj、nj分別是星站歐氏距離在X、Y、Z向的偏導(dǎo)值.

式（2）為線性化后的測(cè)碼偽距觀測(cè)方程，可直接求取三維坐標(biāo)增量（坐標(biāo)改正數(shù)）δX、δY、δZ.若GNSS接收機(jī)同時(shí)觀測(cè)處理N顆衛(wèi)星信號(hào)（N＞4），用最小二乘法解出GNSS接收機(jī)三維坐標(biāo)增量，進(jìn)而解算出GNSS接收機(jī)三維坐標(biāo)

再經(jīng)過(guò)若干次遞歸迭代，最后得到GNSS接收機(jī)精確坐標(biāo).如上所述，用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)線性化需預(yù)知GNSS 接收機(jī)的初始概略坐標(biāo)值（X0，Y0，Z0）.然而，GNSS接收機(jī)初始概略坐標(biāo)很難預(yù)知.鑒于此，通常將其設(shè)為（0，0，0）［25-26］.但若所選取接收機(jī)初始概略坐標(biāo)值與精確值偏差較大，則泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)略去的2次以上項(xiàng)將對(duì)解算結(jié)果產(chǎn)生顯著影響［25-26］，甚至級(jí)數(shù)發(fā)散導(dǎo)致迭代求解失敗.顯然，獲取接收機(jī)初始概略坐標(biāo)為此方法的關(guān)鍵所在.

1.2 求差法

為了在GNSS接收機(jī)初始概略坐標(biāo)未知情況下獲取接收機(jī)精確三維坐標(biāo)值，文獻(xiàn)［22-23］提出了求差線性化觀測(cè)方程法.其主要過(guò)程為：

先對(duì)式（1）移項(xiàng)，再兩邊平方得

若GNSS接收機(jī)同時(shí)接收5顆GNSS衛(wèi)星信號(hào)（j=1，2，3，4，5），即建立 5個(gè)測(cè)碼偽距觀測(cè)方程；再將通式（4）中式j(luò)+1兩邊與式j(luò)（j=1，2，3，4）兩邊相減得到4個(gè)線性方程

式中，aj、bj、cj、lj為方程組系數(shù)，aj=2(Xj+1-Xj)；bj=

求解式（5）線性方程組可得到GNSS接收機(jī)三維精確坐標(biāo)值（X，Y，Z）.可見(jiàn)，求差法不需預(yù)知GNSS接收機(jī)的初始概略坐標(biāo)，通過(guò)對(duì)偽距觀測(cè)方程求差處理實(shí)現(xiàn)偽距觀測(cè)方程的線性化，以解出接收機(jī)三維坐標(biāo).如上所述，此方法需額外增加1顆GNSS衛(wèi)星信號(hào)可求解出接收機(jī)的精確三維坐標(biāo).這對(duì)于在衛(wèi)星信號(hào)接收困難區(qū)域，如高樓林立大都市與地形復(fù)雜地區(qū)（山谷、盆地、樹(shù)木茂密地帶）的定位與導(dǎo)航增加一定難度.

2 對(duì)GNSS測(cè)碼偽距絕對(duì)定位求解法的改進(jìn)

GNSS接收機(jī)在衛(wèi)星信號(hào)接收不理想的區(qū)域只能接收4顆GNSS衛(wèi)星信號(hào)，且GNSS接收機(jī)初始概略坐標(biāo)未知，無(wú)論是常規(guī)經(jīng)典算法和求差法都無(wú)法求解GNSS接收機(jī)三維精確坐標(biāo).本文將提出一種GNSS測(cè)碼偽距絕對(duì)定位處理方法，在不增加GNSS衛(wèi)星接收個(gè)數(shù)的情況下，即僅接收4顆GNSS衛(wèi)星信號(hào)，也可解算出GNSS接收機(jī)三維精確坐標(biāo).

首先與求差法中式（5）類似，GNSS接收機(jī)同時(shí)接收4顆GNSS衛(wèi)星信號(hào)則可建立4個(gè)測(cè)碼偽距觀測(cè)方程（j=1，2，3，4），再通過(guò)式 j+1兩邊與式 j兩邊相減得到以下線性方程

式中：X、Y、Z為GNSS接收機(jī)的三維坐標(biāo)；δtT為接收機(jī)時(shí)鐘誤差；aj、bj、cj、lj為方程組系數(shù)，將式（6）移項(xiàng)得

由于接收機(jī)時(shí)鐘穩(wěn)定性通常為10-10～10-11量級(jí)，而時(shí)鐘誤差δtT一般為±10-7s量級(jí)，與自由項(xiàng)系數(shù)lj相比非常微小，現(xiàn)暫將其忽略，則式（7）可簡(jiǎn)化為

顯然，由式（8）可直接解出GNSS接收機(jī)的三維坐標(biāo).由于此前忽略了微小量δtT，因此如此解出的并非GNSS接收機(jī)精確坐標(biāo)值，但可作為其三維初始概略坐標(biāo)（X0，Y0，Z0），現(xiàn)將其值代入式（2），可計(jì)算出三維坐標(biāo)增量（坐標(biāo)改正數(shù)）（δX，δY，δZ）；再經(jīng)過(guò)遞歸迭代，最后獲取到GNSS接收機(jī)精確坐標(biāo)值（X，Y，Z）.

3 實(shí)驗(yàn)分析與驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所提出方法的可靠性與精確性，作者用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)在GNSS接收機(jī)的初始概略坐標(biāo)值未知的情況下，用4顆GPS衛(wèi)星信號(hào)數(shù)據(jù)，求取GPS接收機(jī)精確三維坐標(biāo).

現(xiàn)以三維信息獲取與應(yīng)用教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室1臺(tái)GPS接收機(jī)2021年10月20日在GPS歷元TOW（time of week）：268008接收的 GPS導(dǎo)航電文數(shù)據(jù)為例，對(duì)本方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析驗(yàn)證.從衛(wèi)星星歷中獲取的4顆GPS衛(wèi)星坐標(biāo)和各顆衛(wèi)星與接收機(jī)間觀測(cè)偽距以及電離層和對(duì)流層延遲差見(jiàn)表1；用本算法求取的GPS接收機(jī)概略坐標(biāo)以及由此迭代計(jì)算出的精確坐標(biāo)如表2所示.由此可見(jiàn)，在無(wú)GPS接收機(jī)初始概略坐標(biāo)情況下，本處理方法僅用4顆GPS衛(wèi)星信號(hào)數(shù)據(jù)，計(jì)算出了GPS接收機(jī)精確三維坐標(biāo).

表1 4顆衛(wèi)星的GPS衛(wèi)星坐標(biāo)和主要參數(shù) 單位：m

表2 用實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算出的GPS接收機(jī)概略坐標(biāo)與精確坐標(biāo) 單位：m

在計(jì)算環(huán)境為Intel（R）Core?i7-2600，CPU為3.4G下，對(duì)本方法與常規(guī)經(jīng)典法的工作性能進(jìn)行了對(duì)比，二者都是用4顆衛(wèi)星信號(hào)數(shù)據(jù)，在用常規(guī)經(jīng)典算法計(jì)算中，按照通常做法將初始概略坐標(biāo)設(shè)為（0，0，0）［24-25］，本文所提出的處理方法計(jì)算迭代次數(shù)為4，明顯少于常規(guī)經(jīng)典方法的6次，且消耗時(shí)間也較短僅為81 ms，而常規(guī)經(jīng)典方法的消耗時(shí)間為124 ms.這說(shuō)明由于求取了GPS接收機(jī)概略坐標(biāo)值而加速了級(jí)數(shù)收斂，對(duì)于減少迭代次數(shù)發(fā)揮了關(guān)鍵作用，并使得實(shí)際計(jì)算消耗時(shí)間較經(jīng)典方法顯著縮短.此外，需要指出的是，若所選取的初始概略坐標(biāo)值偏差較大，即三維坐標(biāo)改正數(shù) δX，δY，δZ 較 大 .此時(shí)常規(guī)經(jīng)典方法用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)線性化測(cè)碼偽距觀測(cè)方程時(shí)，其2次以上級(jí)數(shù)余項(xiàng)不再是“微小項(xiàng)”，很可能因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散而導(dǎo)致迭代求解失敗；而對(duì)于本文所提出的方法，則不存在此問(wèn)題，因此具有較高的魯棒性.

4 結(jié) 論

現(xiàn)有GNSS測(cè)碼偽距絕對(duì)定位的2種解算方法各具特色：常規(guī)經(jīng)典算法需預(yù)知GNSS接收機(jī)的初始概略坐標(biāo)；求差法不需預(yù)知GNSS接收機(jī)初始概略坐標(biāo)但需GNSS接收機(jī)多接收處理1顆GNSS衛(wèi)星信號(hào)才能實(shí)現(xiàn)定位.本文提出了一種改進(jìn)的GNSS絕對(duì)定位處理方法，此方法兼具經(jīng)典常規(guī)法和求差法的優(yōu)勢(shì).即使在未知GNSS接收機(jī)初始概略坐標(biāo)的情況下，僅接收4顆GNSS衛(wèi)星信號(hào)即可精確求取GNSS接收機(jī)的三維坐標(biāo)值.這對(duì)于GNSS衛(wèi)星信號(hào)接收困難區(qū)域，如在地形復(fù)雜的山區(qū)峽谷地帶、森林茂密地區(qū)以及高樓林立的大都市，實(shí)現(xiàn)GNSS絕對(duì)定位具有較高的理論意義與應(yīng)用價(jià)值.