用GeoGebra軟件探究“追逐之路”
——圖解第38屆物理競賽預賽中的多人追逐問題

鮑吳兵 謝恩東

(安慶市第一中學 安徽 安慶 246003)

1 多人追逐問題

【例1】(第38屆全國中學生物理競賽預賽第13題) 6個小朋友在操場上玩追逐游戲.開始時，6個小朋友兩兩間距離相等，構成一正六邊形.然后每個小朋友均以不變的速率v追趕前面的小朋友(即小朋友1追2，2追3，3追4，4追5，5追6，6追1)，在此過程中，每個小朋友的運動方向總是指向其前方的小朋友.已知某一時刻t0=0，相鄰兩個小朋友的距離為l，如圖1所示.試問：

圖1 例1題圖

(1)從t0時刻開始，又經過多長時間后面的小朋友可追到前面的小朋友？

(2)從t0時刻開始，直至追上前面的小朋友，每個小朋友又跑了多少路程？

(3)在t0時刻，每個小朋友的加速度大小是多少？

以上問題中物體B始終正對物體A以一定速率追逐A，由于物體B的運動取決于物體A的位置，這類問題通常比較復雜，很難用方程直接表述B的軌跡，我們可用電腦軟件輔助處理，但有些軟件專業要求較高[1]，令多數教師望而卻步.GeoGebra軟件是一款動態幾何軟件，其“向量”功能可很好地表達上述問題中的“物體B始終正對物體A”的速度方向問題，下面以任意N個質點為例，介紹GeoGebra軟件如何實現“追逐之路”.

2 用GeoGebra軟件描繪軌跡

如圖2所示，有N(N≥ 3)個人P1，P2，…，PN，分別位于邊長為L的正N邊形的各頂點上，這N個人從某時刻開始按逆時針依次追擊，即P1追P2，P2追P3，…，PN-1追PN.

圖2 人的初始位置

(1)引入變量.用滑動條N表示人的數量，滑動條v表示人的速度大小，滑動條t表示時間；

(2)描點.標出坐標原點O，描點P1表示人，指令欄輸入：P_2=旋轉(P_1, (360°)/N,O)，用正多邊形工具作出過點P1和P2各點的正N邊形，作圖過程與效果如圖3所示；

圖3 作圖過程與效果

(3)設置速度.在指令欄輸入：單位向量(向量(P_1,P_2))，得到P1追P2方向上的單位向量u，u是輔助對象可隱藏，再輸入：向量(P_1,P_1 + 0.3vu)，得到的向量w能動態顯示速度大小、方向的變化；

(4)設置運動.在滑動條t的腳本區輸入代碼：賦值(P_1,P_1+0.01vu)，如圖4所示，此代碼表示在時間t更新時P1的位置會按設定的速度變化，啟動滑動條t的動畫就可看到相互追逐的運動；

圖4 腳本代碼

(5)顯示軌跡.隱藏不必要對象，設置對象的相關屬性，并顯示點的軌跡，就可得到追逐路徑，如圖5和圖6所示.

圖5 3人追逐

圖6 6人追逐

3 拓展應用

按以上方法還可以實現多種追逐問題的軌跡，圖7是速度較小的物體B追逐速度較大的勻速圓周運動的物體A的部分軌跡.由于物體B速度較小，不可能追上物體A，經足夠長時間后物體B將做半徑較小的圓周運動，如圖8所示.圖9是模擬導彈的攔截過程，速度較小的導彈A(視為斜拋)被速度較大的導彈B擊中.

圖7 追逐圓周運動的過程

圖8 追逐圓周運動的終態

圖9 導彈的攔截過程