任意兩個平面多邊形螺線線圈間互感系數的解析模型

吳德會，陳紅富，王曉紅

(廈門大學航空航天學院，福建廈門361102)

平面螺線線圈已廣泛應用于傳感器領域，如渦流傳感器[1]、無源無線傳感器[2-3]、植入式生物醫學傳感器[4]、核磁共振傳感器[5]、位移傳感器[6]和陣列渦流傳感器[7]等.其中，平面螺線線圈之間的互感(mutual inductance，MI)系數是上述傳感器和執行器設計和優化的重要基本參數.

因此求解具有明確物理意義的MI系數公式始終是一個有意義的問題，它可以為設計人員提供直觀的見解.在現有的文獻中，有幾種計算各種幾何形狀線圈之間的MI系數的方法，包括麥克斯韋公式[8]、Greenhouse方法[9]、格羅弗方法[10]和諾依曼積分[11].在這些方法中，Greenhouse方法是一種較為有效的方法：一個多匝線形線圈中總的MI系數是其兩兩單匝平行線圈之間的MI系數之和(M總=M1，2+M1,3+…+M1,n).然而，Greenhouse方法通常只適用于線形線圈，并且該方法一般需要計算機的輔助和繁瑣的初始值設置，操作性極其不便.

在現如今的研究中，也有大量關于圓形和矩形線圈的MI系數計算，但是關于八角形和六邊形線圈的MI系數研究卻很少.又因為八角形和六邊形線圈在品質因數方面比矩形線圈具有更好的性能[12].因此，六邊形和八邊形線圈的MI系數計算是一項有意義的研究.

據本文作者所知，六邊形和八邊形線圈的MI系數僅Tavakkoli等[13]研究過，Tavakkoli等將次級線形線圈的面積細分為多個三角形區域和正方形區域，并分別通過積分計算這些區域的相應磁通量，然后得出總的MI系數為次級線圈上的總磁通量之和與激勵電流的比值.但該方法需要分別計算多個不同區域的磁通量，計算表達式比較復雜，并且該公式中兩線圈僅僅是同軸分布，沒有考慮線圈使用的實際情況，如線圈是存在相應橫截面以及沒有考慮初級(TX)線圈和次級(RX)線圈在實際傳感器應用中錯位分布的情況，并且Tavakkoli等[13]的方法僅適用于六邊形和八邊形線圈，不適用于其他多邊形線圈.

本文針對現有問題，將任意多邊形螺線線圈劃分為多個三角形區域，統一的區域劃分簡化了計算步驟，基于二階矢量位(SOVP)并引入頂角坐標，優化了復雜的MI系數計算公式，并且在公式中考慮了線圈橫截面這一幾何參數以及線圈之間的空間位置布局，從而更符合傳感器實際應用情況.

1 多邊形線圈的電磁場

1.1 多邊形線形線圈

根據參考文獻[13]可知，螺線線圈可以被近似為一組同心單匝線圈.所以首先考慮具有n條邊的單匝多邊形線形線圈的情況，如圖1所示.任意形狀線形線圈的電磁場問題可以使用SOVP公式解決.根據Theodolidis等[14]的標量勢計算公式可得該線形線圈初級場標勢Wε：

{?Se-i(axs+bys)dxsdys}dadb,

(1)

圖1 n邊形線形線圈Fig.1Polygonal filament coil with n-sides

與Tavakkoli等[13]的方法不同，本文將區域S細分為n個三角形子區域.由頂點(xi,yi)、(xi+1,yi+1)和原點O組成的子區域表示為Si,其中：i表示多邊形的第i個頂點，即以頂點(x0,y0)為第零個點，按逆時針數多邊形的第i個頂點.如圖2所示，子區域Si表示為：

(2)

其中，ki,ki+1,ki,i+1是三角分區中三條邊的斜率.設

(3)

(4)

對于具有n條邊的多邊形區域S,有

(5)

(6)

1.2 帶橫截面的多邊形線圈

假設TX線圈中的導體橫截面為矩形δ×w,其中，δ為線圈厚度，w為線圈寬度，而RX線圈中的導體橫截面為δ′×w′,如圖2所示.

圖2 兩個帶橫截面的錯位分布的單匝多邊形線圈Fig.2Two misaligned single-turn polygonal coils with cross-sections

可以推導出單匝TX線圈的標量勢Wsingle：

(7)

平面多匝螺線線圈如圖3所示，根據疊加原理，一個N匝螺線線圈的總標量勢可以被表示為：

(8)

為了計算方便，引入極坐標，即a=kcost,b=ksint.定義螺線線圈函數為Cspir,并將式(6)代入，可得

(9)

圖3 具有n條邊的 N 匝多邊形螺線線圈(俯視圖)Fig.3N-turns polygonal spiral coils with n-sides (top view)

從圖3中不難看出，第p匝的頂點坐標(xp,i,yp,i)可以用極坐標表示為：

(10)

其中，rc是中心線半徑，d是線間距.

將式(10)代入式(9)，可以得簡化表達式：

(11)

2 多邊形螺線線圈的互感模型

(12)

其中，S表示線形線圈所圍成的區域，s表示線圈橫截面區域.

將式(8)和(11)代入(12)得到，

Φ=

(13)

定義螺線線圈函數的復共軛為：

(14)

此外，假設與 RX 線圈存在橫向錯位(Δx,Δy),可以進一步將螺線線圈函數的復共軛重新定義為：

(15)

式(13)中變量的積分z表達式可以由下式推導出

(16)

其中Δz是TX和RX線圈之間在Z方向上的距離.

將式(15)和(16)代入(13)，可以得到MI的計算公式：

(17)

由此可見，式 (17)是任意兩個多邊形螺線線圈之間MI通用計算公式. TX線圈是具有n條邊且橫截面為δ×w的N匝螺線線圈，RX線圈是m邊且橫截面δ′×w′的M匝螺線線圈.與現有研究相比，本文所提出的計算模型可以避免每匝線圈之間所有可能組合的互感疊加計算，大大簡化了計算流程.

3 實驗驗證

為了驗證所提出的模型的可行性，使用PCB技術分別制作了八邊形螺線線圈和六邊形螺線線圈(圖4).實驗中使用的八邊形和六邊形螺線線圈的尺寸分別列于表1中.

圖4 螺線線圈示意圖Fig.4Schematic diagram of spiral coil

表1 螺線線圈的幾何參數

為了開展實驗研究，搭建了如圖5所示的實驗平臺，以測量兩個錯位線圈之間的互感.該實驗平臺主要由HIOKI IM3523 LCR 測量儀、PCB線圈、換向開關等組成.

為了證明本文提出的互感計算模型很好地適用于兩種不同形狀的螺線線圈，因此在接下來的實驗中以八角形螺線線圈作為TX線圈和六邊形螺線線圈作為RX線圈. TX線圈和RX線圈之間的縱向間距Δz、橫向錯位(Δx,Δy)皆可調.

圖5 測量互感的實驗裝置Fig.5Experimental setup for measuring MI between two misaligned coils

(18)

如圖6所示，通過改變Z方向的間距和X與Y兩個方向的錯位距離，設置兩組驗證實驗.在實際實驗過程中，使用LCR測量儀在最大激勵頻率200 kHz下測量同相和異相兩個線圈之間的電感.

圖6 兩個多邊形線圈的位置分布Fig.6Layouts of two polygonal spiral coils

第一組實驗，兩個螺線線圈最初是同軸排列的(即Δx=Δy=0)然后X-方向橫向錯位Δx=20 mm與Y-方向橫向錯位Δy=20 mm,如圖6(a)所示.在三種位置情況下，改變兩線圈Z-方向之間的間距，從10 mm逐漸增加到100 mm，每次變化的間隔為10 mm.為了驗證模型的準確性，使用Mathematica 12.0數學軟件對式(17)進行求解，得到相應MI的理論值.計算與實測結果如圖7所示.

圖7 Z方向間距變化的線圈之間的互感Fig.7MI between two polygonal spiral coils with distance change

由圖7可知，互感的測量值與理論值吻合度很高，其中最大誤差數值為0.040 9 μH,最小誤差數值為0.004 7 μH,平均誤差數值為0.026 04 μH,相對誤差均小于2.5%.這些實驗結果表明所提出的模型可以有效地解決兩個不同形狀的多邊形螺線線圈之間的MI系數隨間距變化的計算問題.

第二組實驗進行橫向錯位實驗.將兩線圈Z方向的間距固定為10 mm，Y方向錯位分別設置為0 mm、20 mm和30 mm，如圖6(b)所示.同時，X方向錯位從0 mm逐漸變為100 mm，間隔為10 mm.使用所提出的方法計算錯位分布的兩個線圈之間的互感，并與測量值進行比較.結果如圖8所示.

圖8 橫向錯位變化的線圈之間的互感Fig.8MI between two polygonal spiral coils with lateral misalignment

從圖8中可以看出，所提出的方法也可用于有效地計算未對準的MI.理論值和測量值之間的相對誤差約為3%.這種微小的差異可能是由于測量設置中的缺陷造成的，例如縱向間距、橫向錯位、線圈的幾何參數以及連接器引起的寄生電感.

將本文算法與Tavakkoli方法的計算速度進行對比，結果如表2所示，雖然計算速度相當，但是本文提出的公式更具有通用性.

表2 本文提出的方法與Tavakkoli方法計算速度對比

4 結 論

1) 本文推導了正方形、五邊形、六邊形、八邊形等任意兩個正多邊形螺線線圈之間互感計算的一般解析公式. 兩個線圈可以是不同的線圈尺寸和幾何形狀，例如，八邊形線圈作為TX線圈和六邊形線圈作為RX線圈.

2) 使用所提出的公式解決的布局不僅包括同軸，而且包括不同方向的橫向錯位.在分析模型中同樣考慮了導體的橫截面，這更符合實際線圈的情況.

3) 在本文提出的互感計算公式中，兩平面螺線線圈之間的互感直接使用TX線圈和RX線圈的系數計算.從而有效地避免了計算每匝線圈之間所有可能組合的互感疊加，因此本文提出的新互感計算公式比之前的更簡便.