中國養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的預(yù)測與分析

唐鵬翔，張曉美

（吉林醫(yī)藥學(xué)院藥學(xué)院，吉林 132013）

0 引言

中國是世界上人口最多的發(fā)展中國家，隨著老齡化進程加速，養(yǎng)老服務(wù)問題日益突出，增加養(yǎng)老服務(wù)床位是一個亟待解決的現(xiàn)實問題，參考中國統(tǒng)計局官網(wǎng)［1］、中國民政部公報［2］等相關(guān)數(shù)據(jù)，利用數(shù)學(xué)模型，對未來養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)量進行合理預(yù)測，有較強的現(xiàn)實意義。通過預(yù)測結(jié)果進行綜合研判，可以對未來養(yǎng)老工作的開展提供便利，更好地服務(wù)國家戰(zhàn)略，為將來中國老齡化問題提供一條解決思路。

譚英花在《上海機構(gòu)養(yǎng)老資源配置研究》［3］中利用曲線參數(shù)估計模型和年齡模型對養(yǎng)老資源進行預(yù)測，從微觀和宏觀兩個層面構(gòu)建資源的評價體系。徐宗煌［4］在《基于多元回歸模型的養(yǎng)老床位需求預(yù)測》中利用Leslie 矩陣模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測養(yǎng)老床位數(shù)量情況。王子鑫等［5］在《養(yǎng)老服務(wù)床位需求預(yù)測與運營模式模型分析》中使用多元線性回歸模型和Dijkstra 算法解決了養(yǎng)老床位需求問題。

本文通過中國統(tǒng)計局官網(wǎng)和民政部公報提供的數(shù)據(jù)，建立養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的logistic 模型、ARMA 模型，使用MATLAB 和Eviews 兩種軟件計算得到我國未來養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)；另外建立養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例的數(shù)學(xué)模型，65 歲以上的老年人口的指數(shù)模型也可以得到未來我國養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的變化情況，并對這三種預(yù)測結(jié)果進行對比分析。

1 數(shù)據(jù)來源

本文所使用的養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)來自中華人民共和國民政部2006年后的年度統(tǒng)計公報。65歲以上老年人口數(shù)來源于中國統(tǒng)計局官網(wǎng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)。

2 模型的建立與計算

2.1 模型1：養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的logistic模型

根據(jù)民政部公布的養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)統(tǒng)計情況（見表1），使用MATLAB 對表1 數(shù)據(jù)繪制散點圖（以2006年為初始時刻0），結(jié)果如圖1所示。

表1 民政部公布的養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)統(tǒng)計情況萬張

圖1 養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)變化情況散點圖

從已有數(shù)據(jù)的散點圖分析可知，養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)在增加，但是增加幅度在逐漸減緩。從趨勢上看，符合“S”型曲線趨勢［6］。從機理上分析老年人養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)量變化，由中國民政部每年年度公報中發(fā)布的養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)可知，養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)雖然在不斷增加，但是由于建設(shè)資源、選擇意愿等因素對老年人養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)增長起到了阻滯作用，并且隨著時間的推移，阻滯作用越來越大。因此，對養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)設(shè)立阻滯增長模型（Logistic模型）。

設(shè)第t年的養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)為x(t)，年增長率為r，初始養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)為x0，則x(t)滿足的微分方程是：

其中xm為最大養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)。其解為

使用MATLAB 曲線擬合工具箱cftool 進行參數(shù)擬合［7］，計算時床位數(shù)以百萬為單位，得出圖2。

圖2 基于MATLAB養(yǎng)老服務(wù)床位擬合結(jié)果

計算得xm=9.19，r= 0.2704，擬合優(yōu)度為0.9827，殘差值為1.118，擬合效果較好，故養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)預(yù)測的logistic模型為

得到養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的預(yù)測模型后，利用模型計算相關(guān)已知年份的床位數(shù)據(jù)并與已知數(shù)據(jù)進行對比，發(fā)現(xiàn)模型計算結(jié)果與已知數(shù)據(jù)相差較小（見表2）。

表2 模型結(jié)果與實際比較萬張

最后，使用養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)模型進行計算，獲得未來30年（2020—2050）的數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 未來30年養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)據(jù)結(jié)果萬張

利用已知和計算后的數(shù)據(jù)作圖（見圖3），展示后可以看出，養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)據(jù)圖像呈“S”曲線，較符合阻滯增長模型［8］情況，具有良好的預(yù)測意義。

圖3 logistic模型預(yù)測結(jié)果圖

通過所建立的logistic 模型計算結(jié)果可得，我國養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)將逐年穩(wěn)定至919.0萬張。

2.2 模型2：養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的自回歸移動平均模型

2.2.1 時間序列自回歸移動平均模型

將養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)視為一個時間序列{Xt}，可以記為ARMA(p,q)。其中ARMA(p,q)模型［9］的數(shù)學(xué)表達式可表示為

其中，φ1,…,φp為自回歸系數(shù)，θ1,…,θq為移動平均系數(shù)。

2.2.2 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗

將2006—2020 年養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的數(shù)據(jù)輸入到Eviews 軟件中，對該數(shù)據(jù)進行時間序列的預(yù)處理［10］，首先得到圖4 的時序圖，該時序圖中的數(shù)據(jù)呈遞增趨勢，該圖趨勢性明顯，而對于平穩(wěn)序列的要求是時序圖應(yīng)該要在一個值附近上下波動，所以通過對該時序圖的觀察，該序列不是平穩(wěn)序列［11］。

圖4 養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的時序圖

對于不平穩(wěn)序列，可以使用差分使其平穩(wěn)化［12］，首先采用一階差分的方法，將數(shù)據(jù)在Eviews 軟件下通過一階差分得到新序列，然后對其進行平穩(wěn)性檢驗。

圖5 養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)序列的時序圖（一階差分后）

進行單位根檢驗［13］，運用Eviews 軟件得到的結(jié)果見表4。

表4 一階差分后的單位根檢驗結(jié)果

通過對表4 的結(jié)果分析，ADF 檢驗中t 統(tǒng)計量為-2.300073，與1%、5%、10%的t 統(tǒng)計量比較，其更大，則應(yīng)該接受該序列存在單位根的原假設(shè)，所以與上面時序圖檢驗結(jié)果相同，認為該序列是不平穩(wěn)的［14］，再將養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)進行二次差分處理，結(jié)果如圖6所示。

圖6 養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)序列的時序圖（二階差分后）

再次進行單位根檢驗，結(jié)果見表5。

表5 二階差分后的單位根檢驗結(jié)果

t統(tǒng)計量相應(yīng)的概率值P=0.0097，非常小，則應(yīng)該拒絕該序列存在單位根的原假設(shè)，認為該序列是平穩(wěn)的［15］。

2.2.3 ARMA模型的識別

養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的ARMA 模型識別即識別模型的階數(shù)( )p,q，通常借助序列的相關(guān)圖。

根據(jù)得出的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖（見圖7），目前預(yù)測該模型可為ARMA( 1,1) ，ARMA( 2,2 ),ARMA( 4,4 )等。但是具體選擇哪個模型，還需要綜合考慮不同模型的各項指標(biāo)，通過對比選擇最優(yōu)的一個模型來進行擬合。

圖7 二階差分后的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖

2.2.4 ARMA模型的選擇

用Eviews 軟件建立ARMA 模型后，需要對模型進行對比分析，然后選擇一個最優(yōu)模型，以下所給出的兩個模型是經(jīng)過初步對比后效果相對較好的模型，下面就對這兩個模型進行對比分析選最優(yōu)。

通過圖8 可以看到，參數(shù)的t統(tǒng)計量p值都小于0.05，說明模型中的參數(shù)估計顯著非零；決定系數(shù)和調(diào)整后的決定系數(shù)（即R- squared和AdjustedR- squared）分 別 約 為0.820 和0.803；AIC和SBC的 值（即Akaike info criterion 和Schwarz criterion）分別約為8.535和8.167；DW值（即Durbin-Watson stat）約 為1.396［16］。模 型ARMA( )

圖8 建立ARMA（1,2,1）模型結(jié)果

1,2,1 的擬合效果非常好，但是我們要看有沒有比它更好的模型。

通過圖9 可知，參數(shù)的t統(tǒng)計量p值都小于0.05，說明模型中的參數(shù)估計顯著非零；決定系數(shù)和調(diào)整后的決定系數(shù)（即R- squared 和AdjustedR- squared）分 別 約 為0.470 和0.412；AIC和SBC的值分別約為9.599，9.672；DW值（即Durbin-Watson stat）約為1.436。由此可以對比兩個模型的各項指標(biāo)，結(jié)果見表6。

圖9 建立ARMA（2，2，2）模型結(jié)果

表6 模型指標(biāo)對比結(jié)果

由以上五個指標(biāo)的對比可以看出，相比之下，ARMA（1，2，1）模型的決定系數(shù)較大，AIC值、SBC值兩模型差別不大［17］。因此，按照簡單性原則，選擇ARMA（1，2，1）模型，對擬合模型的殘差序列做純隨機檢驗，對ARMA（1，2，1）模型進行殘差序列相關(guān)性檢驗結(jié)果如圖10 所示。

通過圖10，可以得到殘差為純隨機序列，殘差值較小，選用模型較為恰當(dāng)。因此，可以得到預(yù)測模型公式（數(shù)據(jù)經(jīng)過二階微分處理）：

圖10 ARIMA（1，2，1）模型相關(guān)性檢驗

繪制預(yù)測圖，結(jié)果如圖11和圖12所示。

圖11 模型擬合效果圖

圖12 模型預(yù)測圖

從圖11 和圖12 可以看出，模型預(yù)測效果較好［18］。于是計算模型預(yù)測結(jié)果，見表7。

表7 ARIMA（1，2，1）模型預(yù)測結(jié)果萬張

2.3 模型3：養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)與65歲以上老年人口數(shù)比例的logistic模型

利用已知的中國民政部官網(wǎng)每年公布的養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)和中國統(tǒng)計局65 歲以上老年人口數(shù)據(jù)，計算床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例，結(jié)果見表8。

表8 養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例%

以時間為橫坐標(biāo)，床位數(shù)與老齡人口的比值為縱坐標(biāo)，繪制散點圖，如圖13所示。

圖13 養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例散點圖

圖13 中散點隨著時間的推移，增長趨勢受到阻滯且最終較平穩(wěn)，與logistics 模型曲線較為相似。利用MATLAB 對時間和每年床位數(shù)與老齡人口的比值進行曲線擬合［19］。利用已知的人口阻滯增長模型（logistics 模型）來預(yù)測養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例，結(jié)果如圖14所示。

圖14 床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例擬合結(jié)果

通過曲線擬合得到：

模型顯示殘差值SSE=1.055，擬合優(yōu)度R=0.939，擬合結(jié)果較好。

模型計算結(jié)果數(shù)據(jù)，見表9。

表9 未來養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例%

通過擬合結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，未來隨著時間推移，床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例逐漸趨于4.78%附近，但是65 歲以上老年人口數(shù)還在增長，說明65 歲以上老年人對于養(yǎng)老機構(gòu)養(yǎng)老的選擇只有微小增長，比例較穩(wěn)定。

通過模型結(jié)果發(fā)現(xiàn)，我國65 歲以上老年人對選擇養(yǎng)老服務(wù)床位的意愿還處于較低水平。造成這一現(xiàn)象可能有多種原因，如家庭狀況等［20］。在我國65 歲以上老年人口持續(xù)增長的背景下，我國應(yīng)加快養(yǎng)老機構(gòu)的建設(shè)、完善相關(guān)政策等［21］，養(yǎng)老機構(gòu)應(yīng)當(dāng)加強對于養(yǎng)老的研究與探索，找到符合我國或某地區(qū)的合理養(yǎng)老規(guī)劃方案，使更多65 歲以上老年人到養(yǎng)老機構(gòu)養(yǎng)老，減緩社會相關(guān)養(yǎng)老壓力［22］。

2.4 模型4：65歲以上老年人口的人口指數(shù)模型

二百多年前，英國人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus，1766—1834）調(diào)查了英國一百多年的人口統(tǒng)計資料，得出了人口增長率不變的假設(shè)，并據(jù)此建立了著名的人口指數(shù)增長模型［23］，本文利用此模型進行未來65歲老年人口數(shù)的短期預(yù)測。

設(shè)t年后65歲以上人口數(shù)為x(t)，年增長率為r，初始人口數(shù)為x0，則x(t)滿足的微分方程是：

其解為：

根據(jù)中國統(tǒng)計局官網(wǎng)數(shù)據(jù)，得到我國65 歲以上人口數(shù)據(jù)，見表10。

年份65歲以上人口數(shù)年份65歲以上人口數(shù)1990 6368 2006 10384 1991 6938 2007 10702 1992 7218 2008 11023 1993 7289 2009 11343 1994 7622 2010 11934 1995 7510 2011 12277 1996 7845 2012 12777 1997 8085 2013 13262 1998 8359 2014 13902 1999 8679 2015 14476 2000 8821 2016 15037 2001 9062 2017 15961 2002 9377 2018 16724 2003 9692 2019 17725 2004 9879 2020 19059 2005 10068

相關(guān)數(shù)據(jù)繪制成散點圖（圖15），發(fā)現(xiàn)我國65 歲以上老年人口從1990 年—2020 年大概呈指數(shù)函數(shù)型增長。

圖15 我國65歲以上老年人口散點圖

使用MATLAB 曲線擬合工具箱cftool，進行參數(shù)x0,r的計算，以1990 年為初始年份，其對應(yīng)的t值為0，擬合結(jié)果如圖16所示。

圖16 65歲以上老年人口指數(shù)模型擬合圖

計算得x0= 61.61,r= 0.03499，擬合優(yōu)度為0.9805，擬合效果較好，故65 歲以上人口的預(yù)測模型為

根據(jù)模型4，繪制出擬合效果圖和至2030年65歲以上人口數(shù)的預(yù)測曲線，結(jié)果如圖17所示。

圖17 65歲以上人口擬合圖預(yù)測圖

從預(yù)測值看，到2050 年我國老年人口將達到7億，這與實際情況有一定差距，主要是各種因素影響使人口增長率為常數(shù)的假設(shè)不成立［24］。但是我國老年人口數(shù)實際上還在增加，此人口指數(shù)模型進行短期預(yù)測能起到一定參考作用。

3 模型比較與分析

根據(jù)上海養(yǎng)老網(wǎng)站整理得到民政部2021 年公布養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)，用于不同模型間比較，結(jié)果見表11。

表11 模型預(yù)測比較萬張

通過表11可知，三個模型預(yù)測結(jié)果中l(wèi)ogistic模型與ARIMR（1，2，1）模型預(yù)測效果相似且較好，指數(shù)模型預(yù)測得到65 歲以上老年人口數(shù)，再乘以床位數(shù)與養(yǎng)老人口數(shù)比例得到養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)預(yù)測誤差稍大。但是隨著未來各種未知因素影響（如：生育政策等），利用該方法進行預(yù)測能及時調(diào)整，更加動態(tài)靈活，也具備一定的預(yù)測價值。

4 結(jié)語

本文使用兩種軟件建立四種數(shù)學(xué)模型預(yù)測養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)、床位數(shù)與65 歲以上老年人口比例、65 歲以上老年人口數(shù)。目前2021 年養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)僅為821 萬張。模型1 計算結(jié)果顯示2030 年我國養(yǎng)老服務(wù)床位為911.8 萬張；模型2計算結(jié)果顯示為1121.682 萬張，還有較大的提升空間；模型3預(yù)測結(jié)果顯示，未來養(yǎng)老服務(wù)床位與65歲以上老年人口數(shù)比例繼續(xù)呈上升趨勢，但上升空間較小，在2026 年將逐年穩(wěn)定至4.78%；模型4預(yù)測結(jié)果顯示未來65歲以上老年人口數(shù)還會繼續(xù)增加。

從模型比較和應(yīng)用來看，根據(jù)歷史養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)建立模型1 和模型2，基于當(dāng)前影響因素條件下進行的預(yù)測。如果未來出現(xiàn)新的影響因素（如新生育政策等），則需要重新計算模型系數(shù)，從而保持模型預(yù)測的準(zhǔn)確性。模型3計算比例顯示，我國65 歲以上老年選擇養(yǎng)老服務(wù)床位的意愿處于較低水平，面對日益增加的老齡人口，可以改善養(yǎng)老服務(wù)模式，提升養(yǎng)老服務(wù)機構(gòu)建設(shè)等，從而增加老年人選擇養(yǎng)老服務(wù)床位的比例［25］。而模型3 和模型4 可以結(jié)合使用，當(dāng)未來65 歲以上老年人口數(shù)或者65 歲以上老年人選擇養(yǎng)老方式的意愿發(fā)生較大變化時，調(diào)整其中一個模型進行計算就能得到預(yù)測結(jié)果。更加簡便快捷，能更加適應(yīng)短期內(nèi)的動態(tài)變化調(diào)整，短期內(nèi)時效性更強。總的來說，本文核心研究內(nèi)容是養(yǎng)老服務(wù)床位的需求預(yù)測，四個模型各有特點，能適應(yīng)長期和短期養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)預(yù)測的需要，也提供了未來具有不確定性因素影響下的調(diào)整思路。為相關(guān)養(yǎng)老服務(wù)床位數(shù)的研究提供研究思路，為未來我國養(yǎng)老事業(yè)政策的制定和抉擇提供理論依據(jù)。