點接觸曲線構型內嚙合齒輪傳動接觸特性分析

梁棟， 孟勝

(重慶交通大學機電與車輛工程學院， 重慶 400074)

內嚙合齒輪副被廣泛應用在機械傳動系統中，因為其具有結構緊湊、傳動效率高、噪聲小等特點，常用于航空航天、風力發電、電動汽車等領域[1]。近年來，中外學者對內嚙合齒輪傳動開展了一系列研究工作。

何迪等[2]提出了一種平行軸純滾動內嚙合線齒輪的設計方法，推導出齒面方程，構建了三種不同接觸形式的齒面，通過運動學仿真驗證了齒輪傳動的平穩性和連續性。王延忠等[3]和Wang等[4]提出了一種基于圓弧嚙合線的大重合度內嚙合齒輪構造方法，以圓弧為嚙合線來構建齒廓，分析了齒輪的重合度、滑動率、相對法曲率等特性，較漸開線齒輪而言，其傳動性能有著很大的提升。唐沛等[5-6]提出了一種具有大重合度特性的新型齒廓齒輪，建立了新型齒輪齒廓，推導了齒輪接觸應力表達式，并進行有限元分析，結果驗證新型齒輪具有重合度大、滑動率小、承載能力強等優點。Peng等[7-8]提出了一種基于空間嚙合理論的點接觸內嚙合斜齒輪副，它由漸開線內齒輪和具有二次曲線齒廓的小齒輪組成。尤其是齒面的接觸路徑是可選擇的，可以繼承齒面的特性。而且，這種類型的內齒輪對裝配誤差的敏感性較低，擁有較小的滑動率。段振云等[9]針對中小模數內齒輪結構所限，齒面淬硬后的齒形加工難以使用傳統磨齒工藝等問題，提出了一種電火花成型銑削加工方法，設計了加工裝置并完成相關實驗分析，結果表明新加工方法得到的工件表面質量與加工效率有顯著提高。張國政等[10]提出了采用內嚙合齒輪副傳動模擬代替內齒珩輪強力珩齒運動。根據Hertz接觸原理，引入壓比系數計算不同嚙合點位置的應力，分析驗證外圓柱斜齒輪齒面不同位置的應力分布情況，進而說明內齒珩輪強力珩齒時被珩工件齒輪的齒面應力分布。Sánchez等[11-12]針對漸開線內嚙合齒輪副嚙合受載不均問題，基于Hertz接觸理論提出了內嚙合齒輪接觸應力與彎曲應力的修正計算公式，并用有限元分析方法驗證了公式的準確性。李智等[13]利用Hertz接觸理論和粗糙表面形貌的Greenwood-Williamson理論，建立了粗糙齒面單微凸體法向正接觸模型、粗糙齒面彈塑性接觸模型和不同粗糙度的粗糙界面接觸有限元模型等，分析了微凸體對齒面接觸特性及疲勞壽命影響分析。王靖岳等[14]考慮摩擦、時變嚙合剛度、齒隙和綜合誤差等非線性因素，建立了行星齒輪系統扭轉振動模型，結合非線性分析方法分析了系統的分岔行為和齒面摩擦對系統分岔特性的影響。

因此，現基于齒輪空間嚙合理論，建立一種點接觸曲線構型內嚙合齒輪傳動基本模型，提出齒面成型原理與一般方法；進一步對該成型內嚙合齒輪副的接觸特性，如運動特點、重合度、滑動率、誘導法曲率和曲率干涉等問題進行探討和分析，揭示齒面接觸特點和嚙合規律，為后續構建高性能齒輪傳動副奠定理論基礎和技術支撐，相關研究具有重要的理論意義和工程應用價值。

1 點接觸曲線構型內嚙合齒輪傳動基本數學模型

在前期研究中以空間曲線為幾何元素，建立了適用于外嚙合齒輪傳動的共軛曲線基本理論[15-16]。在此基礎上，進一步提出了點接觸曲線構型內嚙合齒輪傳動形式，其主要過程如圖1所示，圖1中P點為曲線1和曲線2的公共接觸點。

圖1 點接觸曲線構型內嚙合齒輪傳動成型原理與方法Fig.1 Generation principle and method of point-contact internal gear drive with curve construction

圖1中步驟(1)過程中，通過建立空間共軛曲線副基本嚙合坐標系，分析空間曲線接觸狀態下相對運動速度關系和法矢量位置關系，構建沿指定公法線方向的空間曲線嚙合函數，進而得到一對空間共軛嚙合曲線副——曲線1和曲線2，曲線1和曲線2的一般方程為

(1)

(2)

式中：xE1、yE1、zE1為曲線1在嚙合坐標系中沿各坐標軸x、y、z方向的表達式；xE2、yE2、zE2為曲線2在嚙合坐標系中沿各坐標軸x、y、z方向的表達式；t為空間曲線參數；i21為內齒輪嚙合副傳動比；φ1為小齒輪1的旋轉角度；a為齒輪嚙合副的中心距；βx1、βy1為在曲線接觸點處主法矢方向的分量；γx1、γy1為在曲線接觸點處副法矢方向的分量；u、v為接觸角位置分量。

分別以該空間共軛嚙合曲線副為齒面接觸軌跡線，采用等距包絡方法得到一對嚙合的包絡曲面，而空間共軛曲線副也分別是各自成型曲面上的唯一接觸跡線，曲面方程分別為

(4)

圖1中步驟(2)過程中，進一步將得到的包絡曲面通過齒頂、齒根區域設定等形成理想齒廓。對比分析過程中發現，改變兩成型曲面的相對位置及半徑，可以不同的接觸方式。當空間共軛曲線1和2等距方向相同，等距距離l1和l2取值滿足l2=(1.1～1.2)l1時，可構造出具有理想接觸特征的凸-凹齒廓形式。對于點接觸曲線構型內嚙合齒輪傳動來說，可實現少齒數、大模數特性設計。

2 齒面接觸特性分析

2.1 運動特性

基于MATLAB軟件建立如圖2所示點接觸曲線構型內嚙合齒輪副運動模型。假定齒輪以恒定的角速度轉動，圖2(a)為該內嚙合齒輪副初始嚙合的位置，空間原始曲線與共軛曲線沿軸向嚙合線呈點接觸；圖2(b)～圖2(d)分別為該內嚙合齒輪副旋轉20°、40°和60°時的接觸狀態?？梢钥吹?，嚙合線是沿著齒寬方向分布的一條直線，隨著該內嚙合齒輪副的旋轉運動，接觸點沿嚙合線軸向移動。

圖2 點接觸曲線構型內嚙合齒輪副運動模型Fig.2 Motion model of point-contact internal gear drive with curve construction

2.2 重合度

合理的重合度有利于提高齒輪傳動的平穩性和提高承載能力。如圖3所示，B1B1段和B2B2段分別表示在嚙合平面內，同一對輪齒從開始嚙合到退出嚙合時的位置。B1B1段和B2B2段直線之間區域是齒輪的嚙合區。

圖3 重合度分析Fig.3 Coincidence analysis

對于點接觸曲線構型內嚙合斜齒輪副來說，由于不是沿整個齒寬同時進入嚙合，而是先從輪齒一端進入嚙合，隨著齒輪旋轉運動而逐漸地沿整個齒寬接觸。退出嚙合時也是由輪齒一端先行退出嚙合，直到該輪齒轉到圖中虛線位置時，整個輪齒才全部退出嚙合。因此，相較于內嚙合直齒輪副來說，該齒輪副嚙合區要大Δl的距離。

特別地，由于該齒輪副的接觸運動形式為沿軸向點接觸形態，故其端面重合度為零，僅有軸向重合度，重合度εβ的計算公式為

(5)

式(5)中：b為齒寬；mn為齒輪法面模數；β為齒面螺旋角。

2.3 滑動率

2.3.1 計算方法

滑動率是一對嚙合齒輪間的磨損和潤滑的評判準則，較低的滑動率的齒輪副有著更好的潤滑條件以及更低的摩擦，從而使得其傳動性能更好[17]。

(7)

圖4 滑動率分析Fig.4 Sliding ratio analysis

進一步，以空間圓柱螺旋線為例，對該內嚙合齒輪副進行計算分析，假定小齒輪1上的空間圓柱螺旋線方程為

(8)

式(8)中：x1、y1、z1為空間圓柱螺旋線1在嚙合坐標系中沿各坐標軸方向的表達式；r為基圓圓柱半徑；θ為圓柱螺旋線參數；p為螺旋參數。

根據式(1)和式(2)中計算結論，內齒輪2上與之共軛的曲線方程為

(9)

將式(8)和式(9)分別代入式(6)和式(7)中計算可得

(11)

將表1中的齒輪副設計參數代入式(10)和式(11)中計算，可得如圖5所示的齒面滑動率結果。

由圖5可知，該點接觸曲線構型內嚙合齒輪副的齒面滑動率結果為常數且接近于零，其不隨曲線參數θ改變而發生變化，由此該嚙合副接觸過程為近似純滾動狀態，無較大摩擦磨損發生，易提高傳動效率。

表1 內嚙合齒輪副設計參數

圖5 滑動率計算結果Fig.5 Calculation results of sliding ratios

2.3.2 滑動率影響因素分析

(1)模數。為了研究模數對該齒輪副齒面滑動率的影響，設置了三組對比參數，分別將模數設置為2、4和6，其余參數保持一致即傳動比i=0.2，螺旋參數p=120/2π。借助MATLAB軟件編寫計算程序，得到如圖6所示結果。可見，該齒輪副的齒面滑動率結果會隨著設計模數的增加而逐漸減小。

(2)傳動比。探討傳動比對齒輪副滑動率的影響，仍設置三組對比參數，將傳動比分別設置為6/30、6/45和6/60，其余參數保持一致即模數m=6，螺旋參數p=120/2π。通過計算分析得到如圖7所示結果，該齒輪副的齒面滑動率結果隨著傳動比的減小而逐漸減小。

(3) 螺旋參數。參照前面的做法，研究螺旋參數對齒輪副滑動率的影響，設置三組對比參數，將螺旋參數分別設置為120/2π、150/2π和180/2π，其余參數保持一致即模數m=6，傳動比i=0.2。通過計算分析得到如圖8所示結果，該齒輪副的齒面滑動率結果隨著螺旋參數的增大而逐漸減小。

圖6 模數影響Fig.6 Influence of modulus

圖7 傳動比影響Fig.7 Influence of transmission ratio

圖8 螺旋參數影響Fig.8 Influence of spiral parameters

對滑動率影響因素的分析可以對后續的齒輪設計提供參考，選擇合理的設計參數提高齒輪的傳動效率。

2.4 齒面法曲率分析

根據微分幾何理論，結合式(3)和式(4)結果，將該內嚙合齒輪副齒面方程列為r=r(t,φi)，其中i=1,2，其單位法矢量n進一步表示為

(12)

由于dn=ntdt+nφidφi，dr=rtdt+rφidφi，那么法曲率Kn為

(13)

而nrt=0,nrφi=0。分別對t、φi取偏導數，即

(14)

所以有

ntrφi=nφirt

(15)

因此齒面法曲率Kn又可以表示為

(16)

2.5 齒面干涉分析

點接觸曲線構型內嚙合齒輪齒面的嚙合實質是齒面上一對空間共軛曲線的點接觸嚙合運動，該配對空間共軛曲線的選取是根據設計需求，在一定取值范圍內的特定曲線。

當配對的內嚙合齒輪副在某一點處接觸時，如果小齒輪和內齒輪的齒面曲率半徑差太小，或者某一齒輪齒頂伸入到過渡曲線內，或由于制造裝配等原因會導致在接觸點處存在嚙合干涉。

圖9 齒面嚙合干涉Fig.9 Meshing interference of tooth surfaces

如圖9所示，當一對成型齒面在K點處正常嚙合時，凸、凹圓弧齒廓在該點處呈點接觸且滿足一定條件的曲率及嚙合關系。當存在嚙合干涉時，齒面不是處于正常點接觸狀態，而是一個齒面嵌入另一個齒面，導致成型齒廓之間相交于M1、M2點。圖9中K′為齒面實際嵌入點，KK′為理論接觸點和實際嵌入點之間的最大距離，用Δk表示，則齒面嚙合干涉量為

(17)

3 結論

(1) 提出了點接觸曲線構型內嚙合齒輪傳動形式，依據空間共軛曲線副建立了點接觸曲線構型內嚙合齒輪傳動的基本數學模型，構建了具有理想接觸特點的齒廓接觸類型，給出了該內嚙合齒輪副的齒面方程。

(2)開展了點接觸曲線構型內嚙合齒輪傳動接觸特性分析，基于MATLAB軟件建立了該內嚙合齒輪副運動模型，討論了齒輪不同旋轉運動角度下齒面實際接觸狀態即配對齒面在軸向上沿空間共軛曲線副點接觸運動。

(3)提出了該內嚙合齒輪副齒面重合度計算分析方法，依據齒面接觸實質建立了齒面滑動率計算方法，進一步以空間圓柱螺旋線為例驗證相關結論，結果表明：該嚙合副接觸過程為近似純滾動狀態，無較大摩擦磨損發生，易提高傳動效率；分別以模數、傳動比和螺旋參數為變量，分析了不同參數對齒面滑動率影響變化規律。

(4)提出了該內嚙合齒輪副齒面法曲率一般計算公式和齒面干涉分析依據等。后續將進一步對點接觸曲線構型內嚙合齒輪傳動齒面接觸力學特性開展研究。