基于拓撲優化的自由形狀波分復用超光柵*

桑迪 徐明峰 安強 付云起?

1)(國防科技大學電子科學學院,長沙 410073)

2)(中國科學院光電技術研究所,微細加工光學技術國家重點實驗室,成都 610209)

3)(中國科學院光電技術研究所,矢量光場研究中心,成都 610209)

超表面由亞波長尺度排列的人工原子陣列組成,在調控光場相位、振幅、偏振等方面具有巨大優勢.受離散采樣原理和周期性假設的限制,傳統正向設計方法不可避免地存在設計誤差,容易導致器件性能下降.本文采用基于伴隨的多目標拓撲優化方法,逆向設計了一種具有大偏折角度、偏振不敏感特性的自由形狀波分復用超光柵.仿真結果表明,相比于離散規則結構,拓撲優化的波分復用超光柵具有更優越的偏振不敏感性能.此外,該結構對510 nm 入射光的偏折角度可達70.8°,其絕對偏折效率高達48%;對于852 nm 入射光,其透射效率為98%.在此基礎上,通過使用隨機初始結構可將絕對偏折效率優化至70%以上.本文設計的自由形狀波分復用超光柵具有偏折角度大、效率高和空間串擾低等優點,在光通信、微納光場調控、基于里德堡原子的微波測量等領域具有潛在應用前景.

1 引言

相比于傳統光學器件,亞波長超表面具有電磁調控能力強、平面化、輕量化等優勢,在光學成像、顯微、全息、光通信等領域具有重要應用[1,2].例如,光學超表面具有光場振幅、相位、偏振等多維參量調控能力,已廣泛應用于光束偏折器[3]、消色差超透鏡[4,5]、全息超表面[6?8]、偏振光學[9?11]等.特別是在平面光束偏折器件中,利用不同的相位累積機制(例如諧振相位[12,13]、幾何相位[14?16]或導模相位[9,17]),周期性重復的離散單元可以實現特定的連續線性相位分布,從而將光束高效集中于特定的衍射階次.然而,傳統設計方法依賴于有限采樣單元的相位映射來獲得光束偏折功能,這導致在大偏折角度、偏振敏感性、多功能等偏折器件設計中引入不可忽略的設計誤差.特別是在大角度偏折設計中,由于光柵周期和對稱性的降低以及離散化超單元映射不足等因素,導致衍射效率急劇下降.盡管近期研究表明,通過非對稱單一結構可實現較高效率的大角度光束偏折[18,19],但它并沒有突破離散超表面的限制.與離散結構相比,連續結構可以產生空間連續的場分布模式,并避免相鄰子單元之間的局域共振影響[20?22].

逆向設計算法可以實現高效超光學器件的逆向設計[23,24],近年來引起了研究人員的廣泛關注.一般而言,復雜功能光學器件依賴于設計人員的物理直覺和經驗,而逆向設計可避免設計人員對復雜物理過程的深刻理解,可以實現復雜光場傳播和空間模式分布的調控.其中,基于伴隨模擬的拓撲優化方法具有計算效率高、設計自由度高等優點,可以設計具有非直觀、準連續的自由形狀超表面,已廣泛應用于大角度超光柵[25]、寬帶波長解復用器[26]、角度可調諧偏振轉換超表面[27]、雙波長聚焦超透鏡[28]、長焦深超透鏡[29]、和高NA 消色差超透鏡[30]等各種光學功能器件.利用格林函數的對稱性,基于伴隨模擬的拓撲優化在每次優化迭代操作中只需要計算兩次麥克斯韋方程[31,32],這可大幅提升優化效率.

本文采用基于伴隨的多目標拓撲優化方法,實現了大角度偏折、偏振不敏感的自由形狀波分復用超光柵.其可實現510 nm的入射光的大角度(+70.8°)、高效率偏折,以及852 nm 入射光的高效透射,從而實現高效波分復用功能.首先,在傳統離散周期方法的基礎上,正向設計的光束偏折超光柵作為初始結構,并采用多目標拓撲優化方法進行逆向優化.拓撲優化后,自由形狀超光柵TM(TE)偏振光的絕對偏折效率從46%(36%)優化到48%(48%),實現了偏振不敏感調控.然后,通過隨機初始結構擴大參數搜索空間,成功實現了由非直觀、準連續拓撲結構組成的自由形狀超光柵,其最大絕對效率提高到70%以上.上述偏振不敏感超光學器件可以替代傳統塊體狀二向色鏡,實現平面、緊湊的光學集成系統,在光通信、基于里德堡原子的微波測量[33,34]等實際場景中具有重要的應用價值.

2 基于廣義折反射定理的離散相位梯度超光柵

光柵方程確定了周期、工作波長與衍射階及其衍射角度之間的關系:

其中nt和ni是透射側和入射側介質的折射率;θt和θi分別是透射角和入射角;m是衍射階次;λ是自由空間中的波長;P是光柵結構的周期.當周圍介質為空氣且光垂直于界面入射時,上述公式可簡化為

根據上述公式,為了實現圖1(a)所示的多功能波分復用超表面(λ1=510 nm 綠光偏折,而λ2=852 nm 紅光保持高透過率),光柵周期P應滿足在510 nm 到852 nm 范圍內.此時紅光只有0 階衍射,光束仍保持入射方向垂直透射;綠光有三個衍射階(0、±1),其高階衍射光束將被偏折至θt方向.本文的設計目標為70°大角度偏折,取光柵周期為P=540 nm.

圖1 大角度波分復用超光柵示意圖(a)器件示意圖;(b)單元示意圖Fig.1.Schematic diagram of large-angle wavelength-division multiplexing-based metagrating:(a)Overall schematic;(b)unit schematic.

然而,由于光柵方程無法決定功率分配,光柵導致的對稱散射響應將功率均勻分布到正負階,而不同衍射階次間的能量分布由組成光柵周期單元的定向散射貢獻總和決定.因此,為了抑制其余衍射階次能量、提高大角度偏折效率,需要打破光柵對稱性,構建非對稱散射圖案的周期單元結構.廣義斯涅爾定律[35]給出了異常折射(反射)的相位梯度超表面的設計方法:

其中 dΦ/dx是超表面的相位梯度.通過由梯度排列相位分布構成的非對稱梯度周期單元結構,其大部分能量集中在所需的光柵階數T+1衍射階,并抑制所有其他透射階(T0和T+1)方向的能量,從而實現光場的定向偏折控制.

如圖1(b)所示,所設計的超表面單元由亞波長方形晶格上的TiO2圓柱陣列組成,熔融石英為基板.TiO2圓柱可充當法布里-珀羅諧振器,不同直徑可支持不同的有效折射率模式.其中,TiO2柱高度H為600 nm,在510和852 nm 處的折射率分別為2.6964和2.5082[36],石英基板的折射率為1.45[36].圖2 顯示了單元結構掃描的嚴格耦合波分析(rigorous coupled-wave analysis,RCWA)[37]的計算結果.為了滿足奈奎斯特采樣標準(U <λ/2 sinθt)并構建非對稱散射結構,周期內的單元數量越多越好.然而,隨著超單元尺寸的減小,其相位調節能力也將降低,并且深寬比的增加也導致加工難度陡增.因此,每個周期中設計三個單元以滿足非對稱散射結構的最小數量,此時每個單元的大小為U=180 nm.

圖2 波長為510和852 nm時,具有不同單元尺寸和占空比的方形晶格上周期性TiO2 圓柱的(a),(d)透射率和(b),(e)相位;(c),(f)具有180 nm 單元尺寸和600 nm 高度的不同直徑的周期性TiO2 圓柱的透射率和相位Fig.2.Calculation of(a),(d)the transmission and(b),(e)the phase of the periodic TiO2 cylinders on a square lattice with different unit size and duty cycles at λ=510 nm and 852 nm;(c),(f)transmission and phase of the periodic TiO2 cylinders with 180 nm unit size and 600 nm height for different diameters.

如圖2(c)和圖2(f)所示,當單元尺寸為180 nm的圓柱陣列將圓柱直徑從0 nm 漸變為180 nm時,它可實現510 nm波長處0至2π的全相位調控,同時在510和852 nm 波長處保持90%以上的高透射率.因此,本文選取了三個具有相位增量2π/3的高性能單元作為超表面光柵的周期設計單元,其參數如表1 所列.值得注意的是,雖然單元結構在852 nm 處存在相位波動,但由于光柵方程決定的能量流動,透射光將完全保持與入射光相同的波矢量方向,并垂直透過光柵,以下全波模擬結果也將驗證這一結論.

表1 選取的不同直徑TiO2 圓柱的性能參數Table 1.Performance parameters of selected TiO2 cylinders with different diameters.

根據上述單元結構,設計的規則、離散梯度大角度偏折超光柵如圖3(a)所示.沿y方向亞衍射周期Py=180 nm,而沿x方向定義光束彎曲角的周期Px=540 nm,對應于工作波長處的70.8°偏折角.圖3(b)和圖3(c)為xoz平面電場分布的有限差分時域(finite difference time domain,FDTD)全波模擬結果.從圖3(b)和圖3(c)中可見,光波在介質柱子中激發出法布里-珀羅型共振.特別地,在510 nm 處垂直入射的TE 波與TM 波均被偏折到70.8°方向,而在852 nm 處保持完美的垂直透射.這里需要注意的是衍射角由(2)式決定,即偏折角度僅能通過調整光柵周期進行調節,而偏折效率主要依賴于光柵周期單元散射能力.因此,通過超光柵所產生電場的空間分布本質上是源于陣列衍射因子與單元干涉因子之積.

圖3 (a)超光柵結構的頂視圖;(b)TM和(c)TE 激勵時,xoz 平面的電場分布Fig.3.(a)Top view of the metagrating;(b)electric field distribution in the xoz plane for TM and(c)TE excitation.

為了量化器件性能,傳輸和衍射效率定義為[3,15]

其中Iinput是石英襯底的透射強度;Iout和I1rd分別是超表面透射中的總透射強度和+1 級衍射強度.因此,絕對偏折效率可表示為

傳輸效率、偏折效率與入射偏振的關系如圖4(a)所示.實際上,由于圓形介質柱的圓形對稱性,所設計的超光柵在理論上是偏振無關的.該器件在510和852 nm 處表現出偏振無關的高性能(超過84%和98%)透明狀態.然而,在510 nm處,大角度衍射導致的阻抗失配使得TM 波偏折效率(47.5%)高于TE 波偏折效率(36.5%).此外,由于離散單元對于能量定向控制的能力較差,能量無法集中到所需的T+1階上,即TM(TE)波的相對衍射效率僅為53.5%(43.5%).圖4(b)和圖4(c)展示了TM和TE 波入射時的遠場光強分布.從圖4(b)和圖4(c)可以看到,在綠光波段中存在三個衍射階可以使光束大角度偏折,而在紅光波段中只有0 階垂直衍射并保持高透射率.

圖4 (a)設計的超光柵在不同偏振方向下的傳輸效率與偏折效率;(b)TM和(c)TE 平面波垂直入射時,透射光強的遠場分布Fig.4.(a)Transmission efficiency and deflection efficiency of the designed metagrating with different polarization directions;farfield profiles of transmitted light intensity at normal incidence of(b)TM and(c)TE plane wave.

3 基于伴隨模擬的拓撲優化自由形狀超光柵

基于上述正向設計結果,本文基于伴隨算法的逆向設計方法,繼續設計了一種高效率、大偏折角度、偏振不敏感的自由形狀超光柵.本質上,基于伴隨的逆向設計是一種梯度優化算法,即每次迭代更新梯度值,使得目標函數(figure of merit,FOM)最大化.此時,單個優化目標被定義為特定波長和偏振的入射波偏折到特定衍射通道中的效率:

其中i=λ1,λ2表示設計波長;j=TM,TE表示入射偏振態;Eij表示特定波長下的所需的+1 或0 階衍射透射光的電場復振幅.因此,多目標優化的FOM可以表示為多個目標函數的權重之和:

其中wij為不同目標函數的權重.在每次拓撲優化迭代中的梯度可以表示為[31]

其中r和r′分別表示結構內的點和目標區域內的點;G(r,r′)是麥克斯韋-格林函數,表示r′點處的感應電偶極子在r點的電場.此時,優化目標對電場的偏導數即為每次迭代中伴隨模擬的激勵源:

其中*為復共軛算符.因此,僅通過計算正向和伴隨兩次模擬，并將多個優化目標的梯度加權求和，便可得到 FoM的優化梯度更新(如圖5 所示).

圖5 伴隨方法示意圖.每次迭代都需要兩次模擬(正向模擬和伴隨模擬),每個模擬激勵源都以紅色繪制Fig.5.Adjoint method schematic.Two simulations(the forward and the adjoint simulation)are needed for every iteration.Sources for each simulation are drawn in red.

波分復用超光柵的拓撲優化過程如圖6 所示,其中插圖直觀地展示了超光柵結構的演變過程.可以看到,隨著迭代次數的增加,對于510 nm 入射光,TM和TE 波的偏折效率均穩定在48%左右;對于852 nm 入射光,透過率始終維持在98%左右.此外,在拓撲優化過程中,漸變的超表面介電常數分布被實時修正,使得初始結構最終收斂到拓撲形態的TiO2或空氣介電常數分布.由于梯度算法的高效性,隨著優化迭代次數的增加,超表面的拓撲形狀迅速改變,其拓撲結構在約60 代時基本形成.因此,在優化過程的后期,相應的FOM 沒有得到顯著改善.實際上,優化過程最后階段的主要目的是在保持高FOM的同時,完全二值化超表面的介電常數分布,使得優化后的超表面滿足物理可實現性.

圖6 超光柵的拓撲優化過程:綠光偏折效率與紅光透過效率的演變,以及拓撲形態的演變Fig.6.Topology optimization process of metagratings:the evolution of green light deflection efficiency and red light transmission efficiency,and the evolution of topology shapes in different iterations.

圖7(a)顯示了拓撲優化的自由形狀超光柵結構分布.圖7(b)和圖7(c)給出了xoz平面中的電場分布結果,由垂直入射的TM和TE 光照射的五個周期結構組成.結果表明,大部分透射光均有效偏折至70.8°.此外,相比于正向離散超表面,偏折電場分布更加接近均勻平面波,表明優化后的超表面有效抑制了其余衍射階能量分配.

圖7 (a)拓撲優化后自由形狀超光柵的頂視圖;(b)TM和(c)TE 激勵時xoz 平面的電場分布Fig.7.(a)Top view of the topology-optimized freeform metagrating;electric field distribution in the xoz plane for(b)TM and(c)TE excitation.

如圖8 所示,相比于正向設計的離散超表面,拓撲優化后自由形狀超光柵的TM 偏折效率沒有太大變化.然而,由于優化中選取了相同的TM和TE 性能權重,TE 波的偏折效率從36.5%提升至與TM 波相近的48.1%.值得注意的是,即使510 nm的TE 偏振透過效率大幅下降,但所需要的偏折效率仍滿足優化目標的提升,這導致相對衍射效率的增加(從43.5%提升至65.5%).

圖8 (a)拓撲優化的超光柵在不同偏振方向下的傳輸效率與偏折效率;(b)TM和(c)TE 平面波垂直入射時,透射光強的遠場分布Fig.8.(a)Transmission efficiency and deflection efficiency of the topology-optimized metagrating with different polarization directions;far-field profiles of transmitted light intensity at normal incidence of(b)TM and(c)TE plane wave.

4 基于隨機初始結構的高效自由形狀超光柵

梯度算法是一種局部最優算法,初始值對優化結果具有很大的影響.將正向設計結果作為初始結構,更容易實現局部最優值,但也限制了拓撲結構的參數優化空間.因此,本文使用隨機生成的圖案作為初始結構,逆向設計了多個高效的自由形狀超光柵結構.

圖9 顯示了一個典型的優化結構.圖9(a)為不同迭代次數中的拓撲演變過程,最終由互連且復雜的線條結構組成.圖9(b)展示了自由形狀超表面的性能.從圖9(a)和圖9(b)可以看到,相比于正向設計超光柵 47%(36%)的偏折效率以及基于正向結構優化超光柵的 48%(48%)偏折效率,該完全自由形狀超光柵的綠光偏折效率顯著提升至60%以上,而紅光透射效率仍然保持在96%以上.

圖9 (a)自由形狀超光柵的優化演變過程;(b)自由形狀超光柵不同入射偏振的傳輸效率與偏折效率Fig.9.(a)Evolution of freeform metagrating;(b)transmission efficiency and deflection efficiency of the freeform metagrating with different polarization directions.

最后,本文對各種隨機初始結構的自由形狀超表面進行了優化設計.各種演變的拓撲形狀和性能結果如圖10 所示.從圖10 可以發現,由于梯度算法的局部最優特性,不同初始結構得到最終的優化結構與性能均有所不同.值得注意的是,在正向設計中,由于單元尺寸的限制,y方向需要特定的周期以滿足超單元周期的預設邊界條件.而自由形狀的拓撲優化在y方向增加了更多自由度,從而提高了性能上限.例如當Py增加至300 nm 或400 nm時,其偏折效率可大幅提升至70%.

圖10 自由形狀超表面的性能(a)—(c)Py=180 nm;(d)Py=200 nm;(e)Py=300 nm;(f)Py=400 nm,其中虛線表示正向設計的效率曲線Fig.10.Performance of freeform metasurface:(a)–(c)Py=180 nm;(d)Py=200 nm;(e)Py=300 nm;(f)Py=400 nm,where the dashed lines indicate the efficiency curves of the forward design.

5 結論

本文利用逆向拓撲優化設計方法,逆向設計了大角度偏折、偏振不敏感的波分復用自由形狀超表面.相比于正向設計的離散超表面,拓撲優化后的超光柵偏振不敏感性大大提升,且絕對偏折效率保持在48%左右.此外,本文還證明了基于隨機初始結構,可以優化搜索出新的高性能器件.這種完全自由形狀超光柵具有復雜、非直觀的空間拓撲結構,并具有偏振無關、效率高、偏折角度大等優點.本文提出的多目標拓撲優化設計方法可以應用于非周期性、多波長、多功能超表面設計中,為新型復雜光場調控的平面光學器件提供了一種高效的設計思路.