基于可調頻光力晶格中聲子-光子拓撲性質的模擬和探測*

劉浪 王一平

(西北農林科技大學理學院,楊凌 712100)

提出一種基于耦合光力系統的一維晶格理論方案，其中由多個腔場模和機械模式組成，通過調控系統的參數，使其獲得集體動力學演化規律，來研究其中的拓撲相變和拓撲量子通道.首先，通過分析該晶格系統的能譜和邊緣態，研究其拓撲特性和拓撲量子通道.其次，基于拓撲絕緣體的散射理論和輸入輸出關系，研究平均光子數和反射系數相的環繞數，探測系統的拓撲邊緣態和拓撲不變量.另外，考慮無序缺陷對拓撲特性的影響，發現系統受拓撲的保護，使邊緣態對其具有魯棒性；但無序和微擾大于能隙時，邊態模和不變量會發生改變.該理論研究結果可以應用于量子通信和量子信息處理中.

1 引言

腔光力學目前已經成為一個熱門的研究領域,它由一個法布里-珀羅腔構成,其中一端鏡固定而另一端鏡可以隨著輻射壓力的作用而移動[1,2].近年來,隨著微納米技術的快速發展,腔光力學系統已經得到了多種擴展,比如懸浮薄膜腔、回音壁式微腔、雜化光力系統、超導量子電路等[3?5].特別是利用電磁輻射壓與機械振子之間的相互作用,腔光力系統可以在宏觀尺度上觀察和驗證許多量子行為,成為經典力學和量子力學之間的橋梁.在腔光力學研究進展中,已經有大量的量子效應被發現與證實,如機械振子的基態冷卻[6]、量子壓縮[7,8]、光力誘導透明[9,10]、正則模劈裂[11]以及非互易光子阻塞[12]等.

目前,不同結構的腔光力學系統在各自領域已經取得優異的成績,可以應用在量子光學、量子信息處理和量子模擬等領域[13?18].尤其是,由腔光力學系統構建的一維或二維晶格系統,為研究拓撲絕緣體提供了一種新的研究思路和方案,也為構建可擴展性的量子網給出了新的藍圖.拓撲絕緣體自發現以來就受到研究人員廣泛的關注,作為一種新的物質形式[19?25],通常在其內部可以展現為絕緣體性質,但在邊界處顯示金屬特性,它與傳統絕緣體具有明顯的不同,例如,在拓撲絕緣體的邊界或表面區域,可以發現零能隙的邊緣態模式[26?29].對于不同的拓撲絕緣體,可以通過拓撲索引或非局部參數,分析系統的拓撲相變通道,也就是從一個相進入另一個相[30?33].2017年,Roque等[34]利用光力陣列系統研究無序誘導的光子-聲子拓撲特性,發現該系統可以使混合激發態產生安德森局域;Wan等[35]通過二維光力陣列系統構建Lieb 晶格,研究了能帶中的光子和聲子的局域特征;2019年,Qi等[36]利用可調頻的光力晶格系統,研究了波色基塔耶夫相(Bosonic Kitaev phase);2022年,Xu等[37]利用一維光力陣列系統,通過強驅動場增強光力作用,來研究系統的拓撲性質.因此,受上述研究的啟發[26?29,34?37],本文利用腔光力系統,根據目前的實驗可行性參數,來構建一維光力晶格系統,研究、模擬和探測其中的拓撲特性和拓撲量子通道.

本文提出了基于耦合光力系統構建的一維晶格方案,其中由多個腔場和機械模式相互作用,通過調控系統中的參數,分析其中潛在的拓撲性質.首先,分析了能譜和邊緣態,發現邊緣狀態分布發生翻轉過程,這可以應用于量子信息儲存和傳遞.此外,通過分析腔場穩態的平均光子數和入射光子反射系數相的環繞數,對系統的拓撲邊緣態和拓撲不變量進行探測.另外,當無序缺陷在系統中存在時,研究其對系統拓撲特性的影響.當無序缺陷強度較小時,發現系統受到拓撲保護,使邊緣態對其具有魯棒性.相反,無序缺陷強度較大時,能帶分布被破壞,將會變得無序和混亂.該系統的研究結果可以推廣到類似系統中,并且可以應用在量子信息處理和量子計算方面,將會對未來量子信息技術的發展提供指導性藍圖.

2 模型和哈密頓量

如圖 1 所示,考慮一個一維腔光力耦合晶格系統,包含N+1 個腔場模式和N個機械模式,每個腔場和機械模式都可以被調制,該晶格系統的哈密頓量可以表示為

圖1 一維(1D)腔光力耦合晶格系統模型圖,an和bn 分別表示腔場和機械振子的模式,其中包含 N +1 個腔模式和 N 個機械模式Fig.1.Schematic of the 1D optomechanical coupling lattice system,an and bn represent the modes of the cavity field and the mechanical oscillator,respectively,and including N +1 cavity modes and N mechanical modes.

接下來,根據上面的公式研究該系統的拓撲特征,以及對系統的拓撲性質的探測.

3 結果與討論

3.1 能譜與邊緣態

系統的能譜和邊緣態可以反映系統的拓撲特性,這里取t=1 作為能量單位,并且選取M1和M2為常數,繪制系統能譜E與相位?的圖像如圖2 所示,其中紅線和藍線分別表示能譜的邊緣態.可以看到,當M1=M2時,系統邊緣態只在?屬于 π/2 —3π/2的范圍內出現簡并情況,這意味著在這個范圍內能隙 ?E=0,而其他地方不等于0,如圖2(a)所示.此外,在圖2(b)中,當M1M2時,能譜中存在能隙,邊緣態簡并情況消失,這意味著,導帶和價帶之間始終存在有一條有限能隙 ?E0,該系統展現拓撲平凡的絕緣體特征.

為了更好地研究拓撲絕緣體的非平凡性質,這里引入參數ψ,令M1=η1cos(? ?ψ),M2=η2cos(?+ψ),其中η1和η2是周期調制項的振幅.圖3 所示為取不同ψ情況下能譜E與?的物理圖像.從M1和M2的表達式可以推出,當ψ取0,? π和 π時,M1和M2始終相等,能譜圖如圖2(a)所示.因此,在該情況下系統應該存在兩條簡并的邊緣態.在圖3(a)和圖3(d)中,當ψ為0和 π時,系統在?屬于 π/2 到3π/2的范圍內有兩條簡并的邊緣態,并且方向相反.然而,當ψ取0.1π和 0.9π時,在?=π 處看到帶隙之間存在交叉的邊緣態,這可以連接導帶和價帶,并且具有時間反演對稱性.

圖2 系統能譜E 與參數 ?的物理圖像(a)M1=M2=0;(b)M1=0,M2=0.1.參數 ? 取值范圍為(0,2 π),N=15Fig.2.The energy spectrum E of the system vs the parameter ? :(a)M1=M2=0;(b)M1=0,M2=0.1.The range of parameter ? is(0,2 π),N=15.

此外,如圖4 所示,繪制了邊緣態概率分布與晶格數的物理圖像.圖4(a)和圖4(b)給出了圖3中紅色邊緣態模的概率分布.可以發現,當?=2π/3時,在ψ=3π/2 位置的邊緣態以最大的概率占據最左端(藍色);在ψ=π 位置的邊緣態以最大的概率占據在兩端(紅色),在ψ=π/2 位置的邊緣態以最大的概率占據最右端(黑色),如圖4(a)所示.然而,當?=π/3時,在ψ=4π/3 位置的邊緣態以最大的概率占據最左端(藍色);在ψ=π 位置的邊緣態以最大的概率占據在兩端(紅色),在ψ=2π/3位置的邊緣態以最大的概率占據最右端(黑色),如圖4(b)所示.根據上面的討論,邊緣態的分布可以實現翻轉過程,也就是說,左邊藍色邊緣態概率轉移到右邊黑色的概率,這可以應用于量子信息的儲存和傳遞.在圖4(c)和圖4(d)中繪制了圖3 中藍色邊緣態模的概率分布,發現與圖4(a)和圖4(b)的分布相反,這證明了在導帶和價帶之間有交叉的邊緣態將兩者連接,系統的兩邊緣模發生翻轉的結論是正確的.

圖3 系統能譜E 與參數 ?的物理圖像(a)ψ=0;(b)ψ=0.1π;(c)ψ=0.9π;(d)ψ=π.參數 ? 取值范圍為(0 ,2π),N=15Fig.3.The energy spectrum E of the system vs the parameter ? :(a)ψ=0;(b)ψ=0.1π;(c)ψ=0.9π;(d)ψ=π.The range of parameter ? is(0,2 π),N=15.

圖4 邊緣態分布與晶格數的物理圖像(a),(c)?=2π/3,ψ=3π/2,π/2,π;(b),(d)?=π/3,ψ=4π/3,2π/3,πFig.4.The state distribution vs the lattice number:(a),(c)?=2π/3,ψ=3π/2,π/2,π;(b),(d)?=π/3,ψ=4π/3,2π/3,π.

3.2 系統拓撲特性的探測

我們知道,對該晶格系統施加一個和系統本征能量完全相同的外部驅動場時,系統相應的本征模將會以一定的比重被占據.根據這種思路[38],當系統達到穩定時,該系統腔場的期望值為

如圖 5 所示,分析該系統沿晶格方向腔場穩態的平均光子數,驅動εna,b=(ε1a,0,...0,0)T施加在系統最左端,并對左邊邊緣態的特性進行探測.從圖5(a)和圖5(b)可以看出,無論是在不同的腔長還是在不同的驅動頻率的情況下,腔場平均光子數都局域在最左端,同時也間接說明邊緣態局域在最左端,而這源于左端腔場與驅動場共振,使邊緣態局域在左端.另一方面,系統的耗散越大腔場平均光子數在左端的值越小,并且沿著腔場方向傳遞時逐漸減少.從圖5(c)發現,參數ψ的變化可以影響晶格最左邊的平均光子數的大小,這和前面圖4(a)和圖4(c)討論的結果一致,可以說明邊緣態的翻轉過程.另外,在圖5(d)中,分別在晶格系統的最左邊、中間和最右邊驅動,結果表明光子在晶格內擴展分布時,越遠離驅動場施加端,由于共振作用越小,測得的腔場光子數平均值越小;比如在最左邊驅動,那么最右端因為存在不共振的情況,所以有平均光子數為零的結果.

圖5 沿晶格方向腔場穩態的平均光子數N 與晶格數的物理圖像(a)晶格數為10,驅動頻率為?a,n=0.25t,ψ=0.25π;(b)晶格數為4,驅動頻率是?a,n=?0.01t,ψ=0.25π,黑色虛線 κ=0.1,紅色點線 κ=0.15,藍色點虛線 κ=0.2;(c)ψ=0.2π,0.23π,0.26π;(d)在腔的最左邊(黑色線圓)、中間(紅色虛線正方形)和最右邊(藍色點虛線菱形)驅動晶格.其他參數為?1a=0.1t ,?=0.8πFig.5.The average photon number N vs the lattice number:(a)The lattice size 10,?a,n=0.25t,ψ=0.25π;(b)the lattice size 4,?a,n=?0.01t ,ψ=0.25π,black dotted line κ=0.1,the red dotted line κ=0.15,the blue dotted line κ=0.2;(c)ψ=0.2π,0.23π,0.26π;(d)lattice site driven at the far left(black circles),middle(red dashed squares)and rightmost(blue dotted diamonds).Other parameters are Ω1a= 0.1t and φ=0.8π.

在拓撲絕緣體的散射理論中,一個邊緣入射光子反射系數相的環繞數可以用來說明拓撲不變量.因此,利用輸入輸出關系[39,40],并結合(4)式,研究從最左端入射光子反射系數相,那么環繞數可以表示為[()]

圖6 給出了當參數ψ=π/2和ψ=?π/2時,反射系數相的環繞數隨參數?的變化.圖6(a1)中紅色線條為ψ=?π/2,藍色線條為ψ=π/2,可以發現它們旋轉的方向相反,紅的線條逆時針,藍的線條順時針,虛部從 0 開始再回到 0,并且極值在?1—1范圍內.圖6(a2)和圖6(a3)從不同的側面來展現,可以看到圖形具有一定的相互對稱性.在圖6(b)和圖6(c)中,繪制了不同的腔耗散對反射系數相的環繞數的影響,可以發現無論腔耗散取何值,始終能完整環繞完一周,其中箭頭表示環繞數的正負,順時針方向為負,逆時針方向為正.因此,通過研究反射系數相的環繞數,可以對拓撲不變量進行探測.同時,從最右端入射光子的情況,該結論也適用.

圖6 反射系數相的 環繞數隨參數 ?的變化(a1),(a2),(a3)藍色線條為ψ=π/2,紅色線條為ψ=?π/2;(b)ψ=π/2,κ=0.1,0.5,1.5,2;(c)ψ=?π/2,κ=0.1,0.5,1.5,2.其他參數為?1a=0.75t,晶格數為10Fig.6.The winding number of the reflection coefficient phase varies with parameter ? :(a1),(a2),(a3)The blue line is ψ=π/2,the red line is ψ=?π/2;(b)ψ=π/2,κ=0.1,0.5,1.5,2;(c)ψ=?π/2,κ=0.1,0.5,1.5,2.Other parameters are?1a=0.75t and lattice size 10.

3.3 無序缺陷對系統能譜的影響

在實際的系統中,除了腔的耗散之外,還存在系統固有的漲落引起的無序以及操作帶來的微擾等因素影響系統的拓撲特性.接下來討論隨機缺陷強度對系統的影響,那么系統的哈密頓量表示為

其中μ表示系統中位能產生的隨機缺陷強度,υ表示近鄰相互作用之間的隨機缺陷強度,η是大小為–0.5—0.5 之間的隨機數,H.c.表示復共軛項.首先,考慮其中一個缺陷強度為零,研究另一個缺陷對系統拓撲特性的影響.圖7所示為在μ=0 情況下,缺陷υ與能譜的物理圖像.可以看出,當μ=0時,隨著υ的逐漸增加,系統的能帶受到的擾動逐漸增強,但兩個邊緣態受影響很小,甚至幾乎不受影響;但是當υ超過一定數值時,擾動變得非常強烈,甚至會湮滅邊緣態,從而不能對邊緣態特性準確地判斷.這說明當相鄰之間的缺陷強度很小時,不會影響邊緣態,也不會影響信息的傳播;但是,當隨機缺陷強度超過能隙的寬度后,邊緣態會被逐漸地融入能帶中.

圖7 最近鄰相互作 用之間的無序 與系統能譜的物理圖像(a)υ=0.1;(b)υ=0.5;(c)υ=1;(d)υ=1.5;(e)υ=2;(f)υ=3.其他參數為ψ=π/2,晶格數為10Fig.7.The effects of the disorder added into the nearest neighbor interaction on the energy spectra(a)υ=0.1;(b)υ=0.5;(c)υ=1;(d)υ=1.5;(e)υ=2;(f)υ=3.Other parameters are ψ=π/2 and lattice size 10.

此外,圖8 給出了當υ為零時缺陷μ與能譜的物理圖像.可以看出,一旦引入了在位調整項的缺陷,即便強度很小,系統的邊緣態也會受到影響,從而發生微小擾動;并且隨著缺陷強度的逐漸增加,系統能帶和邊緣態受到的影響都逐漸增強.在一定強度范圍內,系統的邊緣態布局依然可見,但是在缺陷強度超過能隙寬度時,無序缺陷就破化了系統的結構,能譜中的邊緣模將會徹底消失.這說明在位調整項的微擾帶給系統的影響是非常劇烈的,哪怕很小的缺陷強度,也會讓我們對邊緣態的特性探測產生較大的誤差,因此應當極大程度地規避由在位調整項帶來的微擾.另外,圖9 給出了左邊緣態的分布分別與缺陷強度μ,υ和晶格數的物理圖像.從圖9(a)可以看出,隨著缺陷強度υ的增加,邊緣態的布局會減小但不會消失.然而,在圖 9(b)中,隨著缺陷強度μ的增加,破壞了能帶結構,使邊緣態的分布完全消失.由此可見,在目前的實驗中,類似的系統應該減小缺陷勢能的影響,增強邊緣態的分布區域,從而應用于量子信息的傳遞.

圖8 在 位無序與系統能譜的物理圖像(a)μ=0.1;(b)μ=0.5;(c)μ=1;(d)μ=1.5;(e)μ=2;(f)μ=3.其他參數為ψ=π/2,晶格數為10Fig.8.The effects of the disorder added into the on-site potential energy on the energy spectra:(a)μ=0.1;(b)μ=0.5,(c)μ=1;(d)μ=1.5;(e)μ=2,(f)μ=3.Other parameters are ψ=π/2 and lattice size 10.

圖9 左邊緣態的分布與缺陷強度 μ,υ和晶格數的物理圖像,其他參數為ψ=π/2,晶格數為10Fig.9.The distribution of the left edge state is plotted with the defect i ntensity μ,υ,and lattice number,respectively,other parameters are ψ=π/2 and lattice size 10.

3.4 無序缺陷對系統拓撲特性的影響

下面繼續討論缺陷對系統拓撲性質的影響,從3.3 節可以知道,不同的缺陷對系統的特性影響是不一樣的.因此,本節還是將兩類缺陷分開討論.圖10 給出了缺陷與反射系數相的環繞數的關系.在圖10(a)和圖10(b)中,當μ=0時,可以看出υ逐漸增強時,反射系數相仍然能構成閉合的回路,當υ增加到一定程度時,雖能看到閉合的回路,但是不再構成規范的環繞.這說明最近鄰相互作用的缺陷強度沒有影響系統的拓撲不變量,但是當υ超過能隙的寬度時,會引起體能態的較大擾動而覆蓋邊緣態的特性.圖10(c)和圖10(d)給出了當υ=0時,μ變化情況下對環繞數的影響.可以看到,只有當μ很小時,才能大概保持系統不變量仍然為1,而μ較大時,反射系數相不能再構成閉合的回路了.這說明μ值較大時,破壞了系統的拓撲結構,該結論與上文的結論一致.

圖10 反射系數相的環繞數與無序缺陷的物理圖像(a)υ=0,0.3,0.6;(b)υ=1,1.2,1.4;(c)μ=0,0.04,0.08;(d)μ=0.1,0.2,0.3.其他參數為ψ=π/2,κ=0.1,晶格數為10Fig.10.The winding number of the reflection coefficient phase varies with the disorder:(a)υ=0,0.3,0.6;(b)υ=1,1.2,1.4;(c)μ=0,0.04,0.08;(d)μ=0.1,0.2,0.3.Other parameters are ψ=π/2,κ=0.1 and lattice size 10.

圖11 所示為無序缺陷對腔場穩態平均光子數的物理圖像.從圖11(a)可以知道,隨著υ的逐漸增大,平均光子數在減小,但始終局域在最左邊的區域.當υ較小時,對平均光子數分布影響很小,當υ較大時,平均光子數將減小,這說明引入的缺陷υ影響了晶格的共振作用,但沒影響平均光子數的分布結構.在圖11(b)中,當μ逐漸增加時,平均光子數的值也在逐漸減小;當μ較大時,平均光子數變化很大,數值變得非常小,并且也局域在最左邊的區域.這說明無論哪種缺陷的引入,都會影響到聲子-光子在晶格內的拓撲特性,并且在位調整項的缺陷會破壞拓撲結構,這與上文結論一致.

圖11 沿晶格方向腔場穩態的平均光子數與缺陷強度 μ,υ和晶格數的物理圖像(a)υ=0,1,2,3;(b)μ=0,1,2,3.其他參數為?1a=0.1t ,?=0.8π,?a,n=?0.5t,κ=0.1,晶格數為10Fig.11.The average photon number N varies with the defect i ntensity μ,υ and lattice number,respectively:(a)υ=0,1,2,3;(b)μ=0,1,2,3.Other parameters are ?1a=0.1t ,?=0.8π,?a,n=?0.5t,κ=0.1 and lattice size 10.

4 結論

本文研究了基于耦合光力系統的一維晶格系統,通過調控系統的參數,研究其中的拓撲相變和拓撲量子通道.首先,通過分析系統的能譜和邊緣態分布特征,研究能帶的拓撲結構和邊緣態的拓撲量子通道.其次,研究穩態腔場的平均光子數和入射反射系數相的環繞數、探測系統的拓撲邊緣態和拓撲不變量.同時,考慮無序缺陷對系統拓撲特性的影響,發現系統受拓撲的保護,使邊緣態對其具有魯棒性;然而,當無序和微擾大于能隙時,邊態模和不變量會發生改變.在小微擾的情況下,拓撲絕緣體可以較好地應用于量子信息的存儲和傳遞,因此,該研究結果在未來量子信息處理中具有廣泛前景.