借助弱測量和環境輔助測量的N 量子比特狀態退相干抑制*

張驕陽 叢爽 王馳 Sajede Harraz

(中國科學技術大學自動化系,合肥 230027)

退相干抑制是量子系統控制中一項重要的控制任務.受到經典控制理論中的前饋控制的啟發,本文借助弱測量和環境輔助測量提出一種新的退相干抑制方案,并將其推廣到一般的N 量子比特情形.所提方案的核心思想是:在退相干通道前,借助弱測量算符和前饋控制算符將量子比特轉移到一個對環境噪聲更魯棒的狀態上;在退相干通道中,對與被保護的量子比特耦合的環境進行測量;在退相干通道后,再借助相應的反轉算符恢復初始狀態.所提方案適用于具有至少一個可逆的Kraus 算符的任意退相干通道下的量子狀態保護.假設所考慮的振幅阻尼或相位阻尼退相干通道的特性是完全已知的,那么所提方案即便是在重阻尼情況下也能取得100%的保真度,這是所提方案的最大優勢.以2 量子比特糾纏態的并發度增強和噪聲環境下量子隱形傳態的保真度提高為例設計了兩組數值仿真實驗,推導了性能指標的解析表達式,并通過與無保護方案對比凸顯出所提方案的優越性.

1 引言

環境噪聲的存在對量子信息系統狀態造成的干擾是量子信息理論實現的最大瓶頸之一.任何實際的開放量子系統在與環境發生相互作用的過程中都難免受到環境噪聲的影響而導致退相干[1],因此研究如何借助合適的控制策略對開放量子系統進行退相干抑制具有重要的理論和應用價值.環境噪聲引起的退相干的類型有多種,其中振幅阻尼和相位阻尼是兩種典型的退相干機制,已經引起了廣泛的關注[2?10].在振幅阻尼通道(amplitude damping channel,ADC)中,退相干的具體表現是量子系統的初始狀態會逐漸衰減到一個與環境溫度相關的穩態上;在相位阻尼通道(phase damping channel,PDC)中,退相干的具體表現是量子系統在與環境相互作用的過程中產生隨機相移.目前,人們已經陸續提出了多種類型的退相干抑制方案,如借助無退相干子空間[11?14]、量子糾錯技術[15?17]或動力學解耦[18?21]等手段.然而,無退相干子空間要求相互作用哈密頓量必須具有適當的對稱性,但這種對稱性并非總是存在;量子糾錯技術需要利用冗余的抽象信息對物理系統進行編碼,這無疑需要額外的資源和成本;動力學解耦則要求控制器能夠產生任意大、無約束、超高頻的控制序列,這顯然不是一件容易實現的事情.因此,開發新的實用的退相干抑制方案成為了近年來研究的熱點和難點問題.

近年來,借助弱測量(weak measurement,WM)的退相干抑制方案已從理論和實驗兩個方面得到了驗證,并顯示出了良好的應用前景[10].弱測量推廣了傳統的投影測量,它可以通過弱化相互作用強度來降低對量子系統狀態的干擾,從而在獲取量子系統狀態的部分信息的同時不至于使得量子系統塌縮到某個本征態.在弱測量中,所獲取的信息和對系統造成的干擾之間存在著一種平衡機制,即弱測量的強度越小,所獲取的信息就越少,但同時對系統狀態造成的干擾也越小.借助于弱測量,人們已經開發出多種超越經典概念的退相干抑制方案,如借助弱測量的量子反饋控制方案[22,23]、弱測量及量子測量反轉方案[24,25]以及量子前饋控制方案[26,27].Branczyk等[22]于2007 年提出了基于量子反饋控制的相位退相干抑制方案,其核心思想是在量子比特通過退相干通道后先借助弱測量算符收集關于環境噪聲和量子系統狀態的信息,然后再根據測量結果施加相應的控制算符來恢復量子狀態.Gillett等[23]于2010 年對基于量子反饋控制的相位退相干抑制方案進行了實驗驗證,具體做法是先使用非確定性的線性受控Z門將量子比特糾纏到另一個光子比特上以實現對量子比特的變強度測量(包括強測量和弱測量),然后對光子比特進行投影測量,最后依據投影測量的結果對量子比特施加旋轉算符進行校正.針對初始狀態可以位于Bloch 球的任意平面上的情況,Harraz等[28]于2019 年推導出了沿Bloch 球不同基底進行測量和旋轉的最優控制參數,并指出實現性能最優的量子反饋控制需要依據初始狀態在Bloch 球上的具體位置在不同的基底下施加控制算符.上述幾種基于量子反饋控制的退相干抑制方案都要求初始狀態是已知的,且都難以獲得足夠高的保真度,這說明在經過退相干通道后再提取信息的做法有待改進.事實上,量子狀態在進入退相干通道之前的先驗信息對于開發退相干抑制方案來說同樣至關重要.Korotkov和Keane[24]于2010 年提出了基于弱測量及量子測量反轉的振幅退相干抑制方案,具體做法是先在量子比特上施加弱測量算符使其向基態移動并減小激發態的權重以使得其不易受到環境噪聲的影響,在退相干后再施加量子測量反轉算符恢復激發態的權重以使得量子比特的狀態近似恢復到初始狀態.在弱測量及量子測量反轉方案的基礎上,Wang等[26]于2014 年提出了基于量子前饋控制的振幅退相干抑制方案,其思想與弱測量及量子測量反轉方案大致相同,只是在弱測量之后添加前饋控制算符,量子比特肯定能被轉移到一個不易受到環境噪聲影響的狀態上.上述提及的3 種借助弱測量的退相干抑制方案所研究的物理模型大多是單量子比特系統.Harraz等[27]于2020 年將文獻[26]中的方案推廣到了2 量子比特狀態的振幅退相干抑制中,初步展現了基于量子前饋控制的退相干抑制方案向多量子比特系統推廣的潛力.

上述幾種借助弱測量的退相干抑制方案的做法都是直接在量子系統上施加弱測量或者控制算符,不過還有一些方案可以通過直接操縱與量子系統耦合的環境(退相干通道)來抑制量子系統發生退相干,如環境輔助糾錯(environment-assisted error correction,EAEC)方案[29]和借助環境輔助測量(environment-assisted measurement,EAM)的退相干抑制方案[30?32].Gregoratti和Werner[29]于2003 年提出了環境輔助糾錯方案,具體做法是先對與被保護的量子系統耦合的環境進行測量,然后根據測量結果對被保護的量子系統施加反轉算符,它可以以100%的成功概率完全恢復與存在噪聲的環境耦合的未知量子態.但由于在許多類型的退相干作用下,開放量子系統的狀態演化并非都存在環境輔助糾錯方案所必需的任意幺正分解,因此該方案的應用受到了極大的限制.借助環境輔助測量的退相干抑制方案是環境輔助糾錯方案的擴展,其思想與環境輔助糾錯方案類似,但能夠適用于抑制Kraus 算符不是任意幺正類型的退相干[30].

目前,絕大多數基于弱測量的退相干抑制方案都只適用于特定形式的退相干通道且沒能推廣到N量子比特情形.此外,各種退相干抑制方案普遍無法在重阻尼的情況下取得令人滿意的保真度,性能指標的解析表達式的推導也是難點問題.圍繞上述幾個亟待解決的問題,本文借助弱測量和環境輔助測量推導出了一種基于量子前饋控制的退相干抑制方案.與先前提出的同類方案相比,本文所提方案能夠適用于振幅阻尼和相位阻尼兩種退相干通道上的量子狀態保護,且被推廣到了一般的N量子比特情形.通過結合環境輔助測量,所提方案即使在重阻尼的情況下也能獲得100%的保真度.為了展現所提方案的應用前景,本文還以2 量子比特糾纏態的并發度增強和噪聲環境下量子隱形傳態的保真度提高為例設計了兩組數值仿真實驗,推導了各個性能指標的解析表達式,并通過與無保護方案對比凸顯出所提方案的優越性.

2 單量子比特情形

本節以單量子比特系統為例,研究借助弱測量和環境輔助測量的退相干抑制方案.所提方案的核心思想是:在退相干通道前,借助弱測量算符和前饋控制算符將量子比特轉移到一個對環境噪聲更魯棒的狀態上;在退相干通道中,借助環境輔助測量對與被保護的量子比特耦合的環境進行測量;在退相干通道后,再借助相應的反轉算符恢復初始狀態.其思想與經典控制理論中的前饋控制十分類似.所提退相干抑制方案的詳細步驟如下.

步驟1在退相干通道前,首先施加完備的前-弱測量(pre-weak measurement)算符m0和m1來獲取關于系統狀態的一些信息.前-弱測量算符選取為

其中ρin為初始狀態.

步驟2為了將量子狀態轉移到一個對環境噪聲更魯棒的狀態上,依據步驟1的測量結果施加前饋控制算符f0或f1.前饋控制算符選取為

假設獲取的是對應于m0的測量結果,那么說明系統狀態已經處于能夠不受環境噪聲影響的基態附近,因此此時前饋控制算符即選取為單位矩陣.否則,需要通過施加前饋控制算符來將系統狀態轉移到一個對環境噪聲更魯棒的狀態上.施加前饋控制算符后,單量子比特系統的狀態將變為

步驟3目前,系統狀態即將通過退相干通道.假設退相干通道的特性是完全已知的.需要說明的是,所提退相干抑制方案適用于具有至少一個可逆的Kraus 算符的任意退相干通道下的量子狀態保護,但為了簡便,本文只考慮兩種最為典型的退相干通道,即振幅阻尼通道和相位阻尼通道.在Born-Markov 近似下,振幅阻尼通道的Kraus 算符為

相位阻尼通道的Kraus 算符為

其中,r=1?e?κt∈[0,1](κ >0)為退相干通道的衰減率.不過,本文所涉及的弱測量算符、控制算符與Kraus 算符的作用都是瞬時性的.因此,在量子比特通過退相干通道的時刻,應當將r設置為一個與時間無關的常數.

容易驗證,對于所考慮的兩種類型的退相干,均不存在幺正矩陣U0和U1,使得其Kraus 算符e0和e1同時滿足e0=c0U0和e1=c1U1(其中c0和c1為常數),即所考慮的退相干的Kraus 算符都不是任意幺正類型的.此時,環境輔助糾錯方案不適用,但仍可以借助環境輔助測量來開發退相干抑制方案.施加環境輔助測量的方法為:先對環境(退相干通道)施加一個測量算符,環境會塌縮到可觀測的本征態上,這使得量子系統被投影到一個與環境相關的狀態上.具體來說,假設退相干通道塌縮到了第k個本征態上,那么單量子比特系統的狀態將會處于(其中,ρ(0)為量子系統的初始狀態,Ek是一個可逆的Kraus 算符).顯然,對于振幅阻尼通道和相位阻尼通道而言只有e0是可逆的.因此這里僅考慮對應于e0的測量結果,并丟棄對應于e1的測量結果,這使得該退相干抑制方案成為了一個概率性的方案.施加環境輔助測量后,單量子比特系統的狀態將以的概率變為

步驟4在退相干通道后,需要施加逆前饋控制算符(對應于m0)或(對應于m1).由于(2)式所示的前饋控制算符是幺正的,因此逆前饋控制算符與前饋控制算符的表達式相同,即施加逆前饋控制算符后,單量子比特系統的狀態將會變為

步驟5最后,施加非完備的后-弱測量(postweak measurement)算符n0(對應于m0)或n1(對應于m1)來使得終態與其初始狀態ρin盡可能地接近.后-弱測量算符的設計原則是使得mini近似與單位矩陣成比例.非完備的后-弱測量算符從兩個完備的測量集合中選取:

整個退相干抑制方案的流程圖如圖1 所示.

圖1 整個退相干抑制方案的流程圖Fig.1.Schematic diagram of the whole decoherence suppression scheme.

初始狀態與終態的關系可以由一個完全正保跡(completely-positive and trace-preserving,CPTP)映射來描述.經歷全部的退相干抑制流程后,單量子比特系統對應于m0和m1的非歸一化的終態為

采用保真度作為性能指標來度量所提退相干抑制方案的有效性.對應于前-弱測量算符m0和m1的保真度分別定義為

如果初始狀態為純態,可以用態矢|ψin〉來描述,那么(8)式的等價表達式為

另外,總體成功概率和總體保真度可以分別表示為

令ρin=[a,b;b?,1?a]為任意未知的單量子比特系統的初始密度矩陣,其中a∈R和b∈C 需要使得ρin滿足量子狀態約束.不失一般性,假設在步驟1 中獲得了對應于m1的測量結果.因此,經歷全部的退相干抑制方案之后,非歸一化的終態為

(13)式被稱為所提退相干抑制方案的完全恢復條件.

下面依據(13)式討論完全恢復條件所要求的前-弱測量強度p的取值范圍.顯然qopt≤1 恒成立.因此,只需通過選取適當的p使得qopt≥0 成立.qopt≥0 等價于r≥1?(p/1?p),即rmin=0 ≥1?(p/1?p).因此,必須確保p在[0.5,1]之間變化才能完全恢復初始狀態.通過(13)式的考慮完全恢復條件,總體成功概率和總體保真度的解析表達式可以表示為

圖2 后-弱測量的強度最優時 與p和r的關系Fig.2. is a function of p and r with the optimum postweak measurement strength.

在推導退相干抑制方案的過程中,量子態是利用密度算子而非態矢算子表示,因此所提方案既適用于純態的保護,也適用于混合態的保護.為了展示所提方案中每一步的作用,針對初始狀態為純態和混合態的情況分別設計仿真實驗,結果如圖6 所示,其中,紅色矢量為初始狀態,黑色矢量為施加前-弱測量算符之后的狀態,藍色矢量為施加前饋控制算符之后的狀態,青色矢量為通過退相干通道之后的狀態,黃色矢量為施加逆前饋控制算符之后的狀態,綠色矢量為施加后-弱測量算符之后的狀態.在圖6(a)中,初始狀態選取為疊加態|ψin〉=0.4500|0〉+0.8930|1〉,p設置為0.65,r設置為0.3;在圖6(b)中,初始狀態選取為混合態p設置為0.8,r設置為0.7.假定步驟1 中獲取的是對應于m1的測量結果,步驟5 中的后-弱測量的強度是最優的.

圖3 固定α和r=0.5的情況下與p和q的關系(a)|α|=0.2;(b)|α|=0.8Fig.3. is a function of p and q with fixed α and r=0.5 :(a)|α|=0.2;(b)|α|=0.8.

圖4 固定r的情況下與p和q的關系(a)r=0.3;(b)r=0.9Fig.4. is a function of p and q with fixed r:(a)r=0.3;(b)r=0.9.

圖5 固定r的情況下 與p和q的關系(a)r=0.3;(b)r=0.9Fig.5.is a function of p and q with fixed r:(a)r=0.3;(b)r=0.9.

圖6(a)中的6 個矢量均位于Bloch 球的球面上,模長均為1;圖6(b)中的6 個矢量均位于Bloch 球的內部,其中紅色矢量、黑色矢量、藍色矢量、青色矢量、黃色矢量和綠色矢量的模長分別為0.9521,0.9731,0.9731,0.9897,0.9897和0.9521.正是由于本文借助環境輔助測量來避免不可逆的Kraus 算符e1引起的量子比特軌跡跳變,因此圖6(a)中的量子比特通過退相干通道之后仍為純態,而不是演化到一個混合態上.作為對比,本文還研究了在相同的初始狀態和相同的退相干通道時無保護情形下系統狀態的演化.對于所選取的純態,通過振幅阻尼通道后的保真度為80.49%,通過相位阻尼通道后的保真度為94.72%.對于所選取的混合態,通過振幅阻尼通道后的保真度為79.25%,通過相位阻尼通道后的保真度為88.04%.為了量化施加退相干抑制方案后保真度的提升,可以將其具體地定義為

圖6 Bloch 球上單量子比特狀態保護的詳細過程(a)純態的保護;(b)混合態的保護Fig.6.Detailed procedure of the single-qubit state protection process on the Bloch sphere:(a)pure state protection;(b)mixed state protection.

以純態的保護為例進行分析.當退相干通道為振幅阻尼通道時,(19)式可以寫為

當退相干通道為相位阻尼通道時,(19)式可以寫為

3 N 量子比特情形

目前,絕大多數借助弱測量的退相干抑制方案都只適用于單量子比特情形.本節將把適用于單量子比特狀態的退相干抑制方案推廣到一般的N量子比特情形.通常,保護N量子比特狀態免受退相干的影響意味著每一步都需要 2N個算符.與文獻[27]一致,我們假設退相干過程在N量子比特系統中的每一個量子比特上局部且獨立地發生,并且具有相同的衰減率.前/后-弱測量算符、前饋控制算符及其逆算符以及量子噪聲算符都可以由Kronecker 積構造,其表達式如下所示.

前-弱測量算符為

圖7 與初始純態和r的關系 Fig.7. are a function of the initial pure state and r:

前饋控制算符及其逆算符為

振幅/相位阻尼通道的Kraus 算符為

其中只有E0可逆.

后-弱測量算符為

因此,對應于每一個前-弱測量算符的非歸一化的終態為

歸一化的終態為

總體成功概率和總體保真度為

為了更好地理解N量子比特情形下的所提退相干抑制方案,以2 量子比特糾纏態為例闡述詳細的狀態保護流程.根據對應于不同的前-弱測量算符的結果,可以將所提退相干抑制方案分為4 種情況.不失一般性,假設獲取了對應于M2的測量結果,即將通過兩個獨立的振幅阻尼通道或者相位阻尼通道的初始的2 量子比特糾纏態表示為|ψin〉=α|00〉+β|11〉,其中α,β∈C 并滿足|α|2+|β|2=1.

步驟1 過后,2量子比特系統的 狀態|ψin〉以gM2=p(1?p)的概率變為

實際上,從(35)式可以看出,在獲取了對應于M2的測量結果的情況下,后-弱測量算符不是必須的,因為經過歸一化后已經等于其初始狀態|ψin〉.而且,步驟5 中所施加的非完備的后-弱測量算符還會使得總體成功概率進一步降低,這對于退相干抑制來說是不利的.然而,假設步驟1 中獲取的是對應于M1或M3的測量結果,那么則必須通過施加對應的后-弱測量算符N0或N3來完全恢復初始狀態.

為了簡便,不再具體地展示其他三種情況,但不難理解四種情況下經歷退相干抑制方案后的終態是相同的.因此,經歷步驟1—5后,2 量子比特系統的歸一化終態為

圖8 與p和r的關系 Fig.8. are a function of p and r:

通常,人們習慣以并發度(concurrence)作為性能指標來度量任意2 量子比特狀態的糾纏度[33].并發度的取值區間為[0,1],其取值越接近1,一般認為糾纏度就越大;其取值為0時,就意味著發生了糾纏猝死(entanglement sudden death).在本文所提退相干抑制方案中,對應于步驟1 中的每一個測量算符的并發度被定義為

其中符號“*”代表復共軛.

經計算,所提退相干抑制方案的總體并發度為

作為對比,同樣研究了無保護的情形以凸顯所提方案對并發度的提升.為了量化施加退相干抑制方案后并發度的增強,定義

通過兩個獨立的振幅阻尼通道后,(41)式可以表示為

通過兩個獨立的相位阻尼通道后,(41)式可以表示為

進一步地,所提退相干抑制方案在量子隱形傳態中具有廣闊的應用前景.眾所周知,理想的隱形傳態協議需要一個純的最大糾纏態(例如Bell態作為量子信道.然而在實際實現中,共享糾纏態常常由于環境噪聲的影響而顯著退化,這會導致量子隱形傳態的保真度大幅下滑.因此,保護量子隱形傳態免受退相干的影響顯得尤為重要.

假設發送方(Alice)制備了一個Bell態,并通過退相干通道(振幅阻尼通道或相位阻尼通道)將糾纏對中的一個量子比特傳送給接收方(Bob).由于只有屬于Bob的那個量子比特通過了退相干通道,因此整個退相干抑制方案只需要在糾纏對中的第二個量子比特上實施.因此,退相干抑制方案中涉及的2 量子比特算符可以構造為

通過施加所提的退相干抑制方案并考慮標準的量子隱形傳態協議[34],受保護的量子隱形傳態的原理圖如圖10 所示.

圖10 受保護的量子隱形傳態的原理圖Fig.10.Schematic diagram of the protected quantum teleportation.

通過施加最優的后-弱測量算符,不難發現歸一化的受保護的共享糾纏態的概率等于Bell態|Φ〉〈Φ|.由于經過整個退相干抑制方案之后的量子信道是一個最大糾纏態,因此通過執行文獻[34]中標準的量子隱形傳態協議總能獲得100%的平均保真度,其中隱形傳態的平均保真度定義為

圖9 與初始糾纏態和r的關系(a)Fig.9. are afunction of the initial entangled state and r:

其中,|ψin〉是被傳輸的未知狀態,ρout是Bob 接收到的狀態.結合所提退相干抑制方案,只需要關注量子信道的保護而無需修改隱形傳態協議,即可以以的總體成功概率和100%的平均保真度實現量子隱形傳態.

4 結論

本文借助弱測量和環境輔助測量提出了一種量子前饋控制方案,解決了任意未知的N量子比特狀態退相干抑制的問題,并給出了總體保真度、總體成功概率等指標的解析表達式.環境輔助測量的引入推廣了量子前饋控制方案的適用范圍,使得所提方案適用于振幅阻尼和相位阻尼兩種退相干通道上的量子狀態保護.與先前提出的多種基于弱測量的退相干抑制方案相比,所提方案的優勢在于即便是在重阻尼的情況下也能取得100%的保真度.仿真實驗結果表明,所提方案對于任意初始狀態都能夠增強2 量子比特糾纏態的并發度,且能夠有效地提高噪聲環境下量子隱形傳態的保真度.需要說明的是,由于環境輔助測量和后-弱測量均丟棄了部分測量結果,因此所提方案是一個概率性的方案.下一步的研究中,我們計劃采用旋轉算符取代非完備的后-弱測量算符,以開發出成功概率更高的退相干抑制方案.

假設待傳輸的未知量子比特為|ψin〉=α|0〉+β|1〉,其中α,β∈C 并滿足|α|2+|β|2=1.在無保護方案的情況下,假定Alice 通過一個振幅阻尼通道向Bob 發送糾纏對中的一個量子比特,則輸入線路的狀態為

執行文獻[34]中標準的隱形傳態協議后,ρ0變為

進一步地,Alice 對她所屬的那個量子比特與待傳輸的未知量子比特構成的復合系統在一組正交基底{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}下進行投影測量.不妨假設她得到了結果|00〉,則ρ2將變為

對Alice 所屬的那個量子比特與待傳輸的未知量子比特構成的復合系統求偏跡,可得Bob 所屬的量子比特的非歸一化狀態為

如果Alice 得到的測量結果為|01〉,則Bob 需要借助X門來恢復狀態;如果Alice 得到的測量結果為|10〉,則Bob 需要借助Z門來恢復狀態;如果Alice 得到的測量結果為|11〉,則Bob 需要先借助X門再借助Z門來恢復狀態.通過類似的運算可得:

因此,無保護情形下,Alice 先通過振幅阻尼通道將糾纏對中的一個量子比特發送給Bob 再執行標準的隱形傳態協議后的平均保真度為