表貼式永磁同步電機多步預測控制簡化算法

李耀華， 蘇錦仕， 秦輝， 趙承輝， 秦玉貴， 周逸凡

(長安大學 汽車學院，陜西 西安 710064)

0 引 言

永磁同步電機(permanent magnet synchronous machine,PMSM)具有體積和質量小、機電能量轉換效率高等優點，被廣泛應用于電動汽車、軌道交通和風力發電等領域[1]。有限集模型預測轉矩控制(finite control set-model predictive torque control，FCS-MPTC)直接利用變換器離散特性和開關狀態有限的特點，將由逆變器開關狀態直接確定的基本電壓矢量作為控制量，通過枚舉所有控制量求得最優解，近年來成為永磁同步電機研究的熱點[2-7]，目前研究主要為單步預測控制[8-10]。

近年來，多步預測控制逐步受到關注[11-12]。如果仍采用單步預測使用的枚舉搜索法(exhaustive search algorithm，ESA)求多步預測控制成本函數的最優解，則計算量會隨著預測步數的增加而呈指數增長，無法在極短采樣時間內完成運算。因此要將多步預測控制應用于電機控制系統，必須研究適當的簡化方法。文獻[13]建立了一種轉矩和磁鏈解耦的簡化多步預測控制模型，使用查表法和加法運算進行多步預測，與含有平方根和三角函數的傳統預測控制模型相比，運算量較小，并利用每一步預測的成本函數限制控制量的選擇范圍，避免了對所有控制量的枚舉，在較短的采樣周期內實現多步預測控制。文獻[14-15]提出一種兩步預測的簡化算法，在單個控制周期內僅考慮最優和次優開關狀態，確保在兩個控制周期內所選開關狀態最優。文獻[16-17]將多步預測控制的優化問題轉換為整數最小二乘問題，使用球面解碼算法求得最優解。文獻[18]采用滑動時域策略，將預測時域分成兩部分，第一部分離當前時刻較近，使用較小的采樣時間Ts進行高分辨率采樣，第二部分離當前時刻較遠，以Ts的倍數作為采樣時間進行粗略采樣，實現了較多步數的預測控制，而且降低了運算量。文獻[19]采用分支定界法，當目標函數值達到預先設定的上下限，或者計算步驟數超過設定閾值，則停止多步預測控制優化過程以減少平均計算量。

本文建立兩電平三相逆變器驅動的表貼式永磁同步電機(surface PMSM, SPMSM)多步FCS-MPTC模型，分析傳統MPTC算法(traditional-MPTC, T-MPTC)的運算量，然后在文獻[21]“精簡電壓矢量集合”法(simplified set-MPTC, S-MPTC)基礎上，提出一種多步MPTC新型簡化算法—“電壓矢量保持”MPTC算法(voltage preserving-MPTC，P-MPTC)，該算法能在一定條件下避免遍歷備選電壓矢量集中的所有電壓矢量，從而進一步減少運算量。定義性能和運算量評價指標后，對所提出算法的控制性能和運算量進行評估，與T-MPTC、S-MPTC算法進行對比分析，驗證所提出算法的有效性。

1 SPMSM未簡化多步MPTC算法

1.1 表貼式永磁同步電機數學模型

忽略定子電阻壓降，表貼式永磁同步電機在定子x-y坐標系下磁鏈和轉矩方程分別為：

(1)

(2)

式中：us、is分別為定子電壓矢量、定子電流矢量；ψs、ψf、Te分別為定子磁鏈矢量、永磁體磁鏈矢量、電機轉矩矢量；Rs為定子電阻；p為電機極對數；Ld為d軸電感；δ為轉矩角。

1.2 多步MPTC模型

控制量為兩電平三相逆變器的7個基本電壓矢量，即

Vs∈{V0,V1,V2,V3,V4,V5,V6}。

(3)

零電壓矢量可以由兩個開關狀態(000和111)生成，以開關次數最小原則來選擇具體開關狀態。

由于采樣周期極短，忽略電機轉子旋轉運動和定子電阻壓降，定子磁鏈x-y坐標系下，k時刻施加電壓矢量Vs后，k+1時刻的定子磁鏈幅值為：

(4)

(5)

忽略一個采樣周期內轉子旋轉運動，近似認為定子磁鏈角位置變化量與轉矩角變量相等，則k+1時刻的定子磁鏈角位置、k+1時刻的轉矩角分別為：

(6)

(7)

式中：θs(k)為k時刻的定子磁鏈角位置；δ(k)為k時刻的轉矩角。

k+1時刻的電機轉矩值為

(8)

式(4)～式(8)稱為SPMSM預測轉矩控制基本模型，多步MPTC每一步預測計算都要使用這個基本模型，下文簡稱為“基本模型”。模型預測轉矩控制“基本模型”計算流程如圖1所示。

圖1 MPTC“基本模型”

1.3 成本函數計算和參考值確定

N(N為正整數)步預測中第i步預測的成本函數為

(9)

將每一步的成本函數gi累加起來，得到一個總的成本函數，即

(10)

當采樣頻率較高時，可近似以k時刻的參考值作為k+i時刻的參考值，即

(11)

多步模型預測控制通常采用滾動時域控制策略(receding horizon control，RHC)確定逆變器的開關狀態。在k時刻選出使得總成本函數g最小的控制變量序列作為k時刻最優控制變量序列，在k+1時刻僅將最優控制變量序列的第一個分量作用于電機控制系統，并在k+1時刻根據最新的電機狀態觀測值重新預測，得到對應于k+2時刻的最優控制變量序列，即在每一個采樣周期都重復進行開關狀態的優化過程，在下一個周期僅施加最優序列的第一個控制量，不斷向控制回路提供反饋。

1.4 傳統多步MPTC算法流程與運算量

在k時刻基于枚舉算法的傳統N步(N為正整數)MPTC(T-MPTC)的步驟為：

3)以此類推，將(k+i-1)步的預測值和7個備選電壓矢量帶入至“基本模型”，可到k+i步的預測值。遍歷結束后，最終得到7N個控制序列。

4)依次將每一個控制序列對應的轉矩、定子磁鏈幅值預測值帶入成本函數式(10)，選出使成本函數值最小的控制序列作為最優控制序列。至此完成k時刻的N步預測運算。

5)根據滾動時域控制策略，僅將步驟4)中得到的最優控制序列的第一個控制量作用于k+1時刻，并在k+1時刻根據電機最新的狀態，開始k+1時刻的N步預測運算，重復步驟1)～5)。

由此可得，N步MPTC控制系統的結構如圖2所示。

圖2 N步MPTC系統的結構圖

對于M個備選控制量的N步T-MPTC而言，在一個采樣周期內需要調用“基本模型”的次數為

(12)

得到7N個電壓控制序列。

隨著備選控制量個數M、預測步數N的增大，運算量會急劇增加。T-MPTC算法中，備選控制量個數M= 7，隨著預測步數N的增加，運算量呈指數形式上升，電機控制系統難以在極短采樣時間內完成運算，因此需要研究簡化算法。

2 SPMSM多步MPC簡化算法

文獻[21]對7個備選電壓矢量的利用率進行統計，剔除利用率較低的電壓矢量，得到精簡電壓矢量集合，減小了MPTC計算量。為方便表述，將文獻[21]中的簡化方法稱為“精簡電壓矢量集合”法。文獻[21]中的一個精簡電壓矢量集合如表1所示，其中：φ、τ分別為磁鏈和轉矩滯環控制信號；w為定子磁鏈所在扇區。函數f(x)表示電壓矢量序號，mod表示取余運算，則有

表1 精簡電壓矢量集合

f(x)=mod(x-1,6)+1,x=1,2,3,4,5,6。

(13)

由表1可知，精簡電壓矢量集合中的元素隨著定子磁鏈扇區、轉矩和磁鏈控制信號φ、τ變化，備選電壓矢量個數從7個精簡到3個。使用精簡電壓矢量集合可以縮小電壓矢量的選擇范圍，但每一步預測中仍然需要遍歷每一個備選電壓矢量，運算量仍然較大。

在文獻[21]的基礎上，本文提出一種采用“電壓矢量保持”策略的多步MPTC簡化算法，在滿足一定規則時，k+p步預測可以直接采用(k+p-1)步選擇的電壓矢量，而無需遍歷所有備選電壓矢量，進一步簡化運算。P-MPTC控制策略如下：

1)k+1步：使用精簡集合中備選的3個電壓矢量進行預測。

2)k+p步：p為整數且2≤p≤N，設k+p步可選擇的電壓矢量集合為Φ，(k+p-1)步選擇的電壓矢量為Vj。若Vj∈Φ，則(k+p)步直接選擇電壓矢量Vj，不再需要遍歷集合Φ中的其他電壓矢量；否則將遍歷集合Φ中所有3個電壓矢量，并選出使(k+p)步的成本函數最小的電壓矢量作為(k+p)步最終選擇的電壓矢量。

傳統T-MPTC每一步預測都需要枚舉7個控制量，S-MPTC算法中，每一步預測都需要枚舉3個控制量，P-MPTC算法每一步預測最多需要枚舉3個控制量，特定情況下，每一步只需要進行一次預測計算，從而進一步簡化預測計算量。

3 仿真驗證

仿真對比T-MPTC、S-MPTC、P-MPTC 3種控制策略下N步MPTC的實際控制效果和運算量，預測步數N分別取1～6。

3.1 仿真條件和評價指標

仿真時長為2 s，采樣周期Ts為50 μs。直流母線電壓Udc為312 V。參考轉速初始值為500 r/min，0.5 s時階躍至750 r/min，1.5 s時階躍至500 r/min。負載轉矩初始為10 N·m，1 s時階躍至20 N·m。參考定子磁鏈幅值為0.3 Wb。轉矩環PI參數Kp=10，KI=5×10-5，轉矩滯環寬度為0.02 N·m。定子磁鏈幅值滯環寬度為0.002 Wb。仿真用SPMSM參數如下：定子電阻為0.2 Ω；d軸和q軸電感均為0.008 5 H；轉子磁鏈0.175 Wb；電機極對數為4；轉動慣量0.089 kg·m2；粘滯阻尼0.005 N·m·s。

定義電機控制效果評價指標為轉矩脈動均方根誤差TRMSE、轉速均方根誤差ωRMSE和定子磁鏈幅值均方根誤差ψRMSE分別如下：

(14)

(15)

(16)

定義運算量的評價指標為絕對運算次數Tcal_all、相對運算量λ、運算量增長率η。

絕對運算次數Ttotal表示整個仿真時長內“基本模型”被調用的次數，對于T-MPTC和S-MPTC，可以直接用下式計算運算次數：

Ttotal=nTone_step。

(17)

式中Tone_step為一個采樣周期內的“基本模型”被調用的次數，可由式(12)計算，n為采樣周期個數。由于P-MPTC的每一步運算次數并不固定，Ttotal不能直接用公式計算，需要預測過程中實時統計。

由于各個策略的實際運算次數可能相差較大，不便于直接觀察比較，進一步采用相對運算量和運算量增長率評價指標。

相對運算量λ：在特定預測步數N時，一個控制策略的絕對運算次數與T-MPTC的絕對運算次數之比，可以反映同一預測步數時，不同控制策略間的運算量差異。

運算量增長率η：同一種控制策略N步MPTC與N-1步MPTC的絕對運算次數之比，可以反映同一種控制策略的運算量與預測步數N的關系。

3.2 控制性能對比

圖3～圖5給出了T-MPTC、S-MPTC、P-MPTC 3種控制策略在不同預測步數N時的性能評價指標變化情況。由圖可知：與T-MPTC算法相比，S-MPTC算法和P-MPTC算法的轉速均方根誤差ωRMSE、轉矩均方根誤差TRMSE、定子磁鏈幅值均方根誤差ψRMSE都有小幅上升，表明兩種簡化策略均犧牲了部分磁鏈和轉矩控制性能。

圖3 電機轉速均方根誤差

圖4 電機轉矩均方根誤差

圖5 定子磁鏈幅值均方根誤差

圖6為預測步數N=5時，3種控制策略對應的電機轉矩、定子磁鏈幅值、轉速、A相定子電流的波形圖。圖6表明：3種控制策略下，電機系統運行良好，控制性能基本相當。與其他兩種算法相比，P-MPTC算法的定子磁鏈幅值脈動略大，但是電機轉速值、轉矩值仍能較快跟蹤相應參考值的變化，動態響應性能基本不變。

圖6 N=5時，3種控制策略的控制性能

3.3 運算量對比

圖7、圖8分別表示不同控制策略的運算量增長率、相對運算量與預測步數N的關系。可見，S-MPTC和P-MPTC算法均能明顯減小運算量，且P-MPTC算法的運算量更小，表明在精簡集合的基礎上施加“電壓矢量保持”策略，可以進一步減少運算量。例如，當N=6，S-MPTC算法相對運算量λ約為0.8%，而P-MPTC算法的相對運算量λ約為0.02%，即僅相當于T-MPTC算法運算量的0.02%，從而極大簡化了多步MPTC運算。

圖7 相對運算量變化曲線

圖8 不同控制策略的運算量增長率

隨著預測步數N的增加，S-MPTC、P-MPTC算法的運算量增長率η、相對運算量λ都在減小，表明預測步數N越大，簡化效果越明顯。在預測步數N較小時(N=1, 2, 3)，η、λ變化較為迅速，而預測步數較大時(N=4,5,6)，運算量增長率η曲線、相對運算量λ曲線都在逐漸變得平緩，表明簡化效果逐漸趨于平穩。

表2 仿真過程的絕對計算次數與平均計算次數

由表可知，S-MPTC和P-MPTC算法極大降低了平均計算次數。以六步預測為例，T-MPTC平均計算次數為137 256次，S-MPTC平均計算次數為1 092次，而P-MPTC平均計算次數僅為25.74次。

綜合可知，在精簡集合的基礎上施加“電壓矢量保持”策略的簡化算法，可在保證電機轉矩、磁鏈、轉速控制性能基本不變的情況下，顯著減少多步MPTC的運算量。

4 硬件平臺驗證

基于STM32H743單片機平臺對以上3種控制策略進行單步測試，測試不同算法的執行時間。

單步測試電機控制系統參數與上文仿真系統相同。單步測試初始值如下：定子磁鏈幅值為0.313 5 Wb；定子磁鏈角位置為 36.027 9°；參考轉矩值為10.730 6 N·m；轉矩值為9.151 2 N·m；轉矩角為14.116 0°；定子磁鏈參考值為0.3 Wb；電機轉速為498.927 3 r/min。

為了分析不同算法的運行時間，將算法程序運行時間分為以下3部分：

1)預測計算時間(t1)，用于計算k+i步的預測值；

2)判斷過程時間(t2)，簡化策略額外增加的時間，用于確定轉矩、磁鏈滯環控制信號，確定備選電壓矢量等；

3)評價過程時間(t3)，用于計算成本函數，選出最優電壓矢量序列。

預測步數N取1～6。對每種控制策略的不同預測步數N，在單片機重復執行10次，并取執行時間的平均值作為算法執行時間。3種MPTC算法的硬件執行時間和結果如表3所示，表中的總時間為預測計算時間、評價過程時間、判斷過程時間之和，執行次數為本次單步測試中“基本模型”被調用的次數。

表3 3種MPTC算法的硬件執行時間和計算結果

表3同樣表明S-MPTC和P-MPTC兩種簡化算法均能較大幅度降低預測計算和評價過程所需時間。雖然簡化算法需要額外增加判斷過程時間，但其遠小于預測計算和評價過程時間的減少量。因此，簡化算法總執行時間遠小于T-MPTC執行時間。

以六步預測為例，與T-MPTC相比，S-MPTC和P-MPTC雖然增加一個判斷過程，增加0.243 8和0.016 4 ms計算耗時，但減小“基本模型”調用次數，將執行次數從137 256次分別減少到1 092次和28次，從而減小預測計算和評價過程時間。與T-MPTC相比，預測計算用時由497.642 ms減小到4.049 2和0.123 8 ms，評價過程用時由109.782 2 ms減小到0.860 6和0.013 0 ms，執行總時間由607.424 2 ms減小到5.153 6和0.156 2 ms。由此可見，S-MPTC和P-MPTC極大減小計算運算量，提高系統實時性能。

對于單步測驗驗證，將相對運算量λ定義為對于每一個預測步數N，各控制策略執行總時間與T-MPTC算法執行總時間之比。將運算量增長率η定義為同一種控制策略的N步預測與N-1步預測的執行總時間之比。仿真和硬件執行過程的相對運算量λ、運算量增長率η的數據如表4所示。

表4 仿真過程和硬件執行運算量指標對比

表4表明，仿真和硬件執行過程的相對運算量和運算量增長率結果基本吻合，進一步驗證了S-MPTC、P-MPTC算法均能明顯減小運算量，且P-MPTC算法簡化效果更顯著的結論。

5 結 論

本文建立了表貼式永磁同步電機的多步FCS-MPTC模型，并在“精簡電壓矢量集合”法的基礎上，提出一種新型簡化算法，定義了“相對運算量”、“運算量增長率”兩個運算量評價指標。所提出的算法采用“電壓矢量保持”策略，一方面，將備選控制量數量從7個減少到3個，縮小每一步預測中控制量選擇范圍；另一方面，在滿足特定規則時，某一步預測可以直接采用上一步預測選擇的電壓矢量，避免遍歷備選電壓矢量集中的所有電壓矢量，與“精簡電壓矢量集合”法相比，進一步降低了多步預測的運算量和復雜度。仿真結果和單片機平臺執行結果驗證了該算法的有效性，所提出的算法能保證電機轉矩、轉速、磁鏈控制性能、動態響應性能基本不變的前提下，極大減少多步模型預測運算量。