基于T-S 模糊模型的采樣系統(tǒng)魯棒耗散控制

練紅海 肖伸平, 羅毅平 周筆鋒

T-S (Takagi-Sugeno)模糊模型通過簡單的IFTHEN 模糊規(guī)則,利用一系列的局部線性子系統(tǒng)結(jié)合模糊隸屬度函數(shù)可精確描述非線性系統(tǒng),廣泛用于非線性系統(tǒng)的建模與控制,受到了國內(nèi)外控制團(tuán)隊的極大關(guān)注[1-2].該模型結(jié)構(gòu)簡單,數(shù)學(xué)描述方便,有利于系統(tǒng)分析和控制器設(shè)計.因此,T-S 模糊模型系統(tǒng)的各種問題得到廣泛研究[2-9],如H∞跟蹤控制問題[6]、非脆弱濾波控制問題[7]、魯棒耗散控制問題[8]、故障檢測問題[9]等.

采樣控制系統(tǒng)具有安裝簡單、可靠性高、維護(hù)成本低、效率高等優(yōu)點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程中.采樣控制系統(tǒng)是一個包含連續(xù)時間信號x(t)和離散時間信號x(tk)的混雜系統(tǒng),它的控制信號在任意一個采樣間隔內(nèi)只刷新一次(只在數(shù)據(jù)采樣時刻刷新),與連續(xù)控制系統(tǒng)相比,這極大減少了信息的傳輸量,增加了帶寬使用效率且控制更加高效.因此,采樣控制系統(tǒng)得到眾多學(xué)者的廣泛研究,并取得了豐富的成果[10-19].文獻(xiàn)[10-11]和文獻(xiàn)[12]分別利用離散時間方法和脈沖模型方法研究了采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定和鎮(zhèn)定問題.文獻(xiàn)[13] 提出了基于L-K(Lyapunov-Krasovskii)泛函的輸入時滯方法,該方法是目前分析采樣控制系統(tǒng)綜合問題的主要方法之一,其基本思想是將采樣控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為時變時滯系統(tǒng),再利用L-K 泛函和時滯系統(tǒng)理論分析采樣控制系綜合問題.近些年,許多學(xué)者基于輸入時滯方法提出了一些新的分析方法,如時間相關(guān)L-K 泛函方法[14]、閉環(huán)L-K 泛函方法[15]、不連續(xù)L-K 泛函方法[16-17]和雙邊閉環(huán)L-K 泛函方法[18-19]等.這些方法也已用于處理其他復(fù)雜系統(tǒng)的控制問題,文獻(xiàn)[20]利用時間相關(guān)L-K 泛函方法研究了基于T-S 模糊模型的混沌采樣控制系統(tǒng)指數(shù)鎮(zhèn)定問題.文獻(xiàn)[21]使用基于Wirtinger 不等式的不連續(xù)L-K 泛函和模糊比例采樣控制分析了混沌系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制問題.文獻(xiàn)[22]利用基于自由矩陣的不連續(xù)L-K 泛函討論了T-S模糊混沌采樣控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制問題.文獻(xiàn)[23]通過雙邊閉環(huán)函數(shù)討論了時變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的采樣同步控制問題.

耗散性理論是Kalman-Yakubovich 引理,無源性理論以及圓判據(jù)的推廣,它通過能量相關(guān)的輸入輸出描述方式給出了控制系統(tǒng)設(shè)計和分析的新框架,已成為非線性系統(tǒng),魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計的重要工具.耗散性將無源性能和H∞性能進(jìn)行了統(tǒng)一,為控制系統(tǒng)設(shè)計提供了一種更靈活,保守性更小的方法.另外,在耗散性能的基礎(chǔ)上,還可引入擴(kuò)展耗散性能[24],這個性能可將H∞性能、L2～L∞性能和無源性能納入一個統(tǒng)一的框架.因此,研究各類動態(tài)系統(tǒng)的耗散控制問題具有重要意義.文獻(xiàn)[25]針對具有隨機(jī)擾動的模糊切換系統(tǒng),討論了其魯棒耗散濾波控制問題并給出了濾波控制器的設(shè)計方法.文獻(xiàn)[26]研究了時變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的耗散性問題,建立了確保系統(tǒng)嚴(yán)格耗散的充分條件.文獻(xiàn)[27]分析了一類具有執(zhí)行器故障的奇異Markovian 跳變系統(tǒng)的有限時間耗散控制問題.文獻(xiàn)[28]研究了TS 模糊Markovian 跳變系統(tǒng)的可靠耗散控制問題.文獻(xiàn)[29]研究具有執(zhí)行器故障的T-S 模糊采樣控制系統(tǒng)的可靠耗散控制問題.文獻(xiàn)[30]針對一類TS 模糊采樣控制系統(tǒng),利用時間相關(guān)L-K 泛函方法研究了系統(tǒng)的魯棒耗散控制問題,獲得了系統(tǒng)嚴(yán)格耗散的充分條件并給出了模糊采樣控制器的設(shè)計方案.由于它只考慮了采樣間隔 [tk,t)的系統(tǒng)特征信息,忽視了采樣間隔 [t,tk+1)的系統(tǒng)特征信息.因此,這種設(shè)計方法的保守性較大.考慮這種情況,文獻(xiàn)[31]利用整個采樣間隔 [tk,tk+1]的系統(tǒng)特征信息,提出一個雙邊閉環(huán)L-K 泛函,進(jìn)一步研究了T-S模糊采樣控制系統(tǒng)的耗散控制問題.雖然文獻(xiàn)[31]的設(shè)計方案比文獻(xiàn)[30]的設(shè)計方案保守性更小,但文獻(xiàn)[31]沒有考慮模糊前提變量,只是設(shè)計了一個線性的采樣控制器,同時,它構(gòu)造的雙邊閉環(huán)函數(shù)還忽視了一些有效的特征信息.因此還有很大的改進(jìn)空間.

針對文獻(xiàn)[30]和文獻(xiàn)[31]存在的問題,本文進(jìn)一步研究T-S 模糊采樣控制系統(tǒng)的魯棒耗散控制問題.主要貢獻(xiàn)有以下幾點(diǎn):1)基于2 階的B-L 不等式,提出基于B-L 不等式的雙邊時間相關(guān)不連續(xù)L-K 泛函,該泛函充分考慮了整個采樣間隔[tk,tk+1)的特征信息和系統(tǒng)的不連續(xù)特性,相對現(xiàn)有的L-K泛函方法來說,可更加有效地捕獲采樣控制系統(tǒng)的鋸齒結(jié)構(gòu)特征;2)提出了一個改進(jìn)的自由矩陣不等式,對L-K 泛函導(dǎo)數(shù)的估計更為精確;3)利用提出的L-K 泛函和自由矩陣不等式,建立了一個低保守性的魯棒耗散性條件,基于這個條件,提出了T-S模糊采樣控制器的設(shè)計方案.通過一個卡車拖車系統(tǒng)來驗(yàn)證設(shè)計方法的有效性和優(yōu)越性.

本文采用如下記號:Rn,Rn×m分別表示實(shí)數(shù)域的n維向量空間和n×m矩陣空間; N 表示自然數(shù)集; 0 和I分別代表合適維數(shù)的零矩陣和單位矩陣;R ＞0 表示矩陣R是正定矩陣;Sym{M}=M+MT代表矩陣M與矩陣M轉(zhuǎn)置之和; d iag{·}表示塊對角矩陣;“*”表示對稱矩陣的對稱項;L2[0,+∞)表示平方可積無窮序列.

1 系統(tǒng)描述

針對一類連續(xù)非線性采樣控制系統(tǒng),考慮以下IF-THEN 模糊規(guī)則描述的T-S 模糊模型.

控制信號由零階保持器(Zero-order holder,ZOH)輸出產(chǎn)生.基于并行分布補(bǔ)償控制 (Parallel distributed control,PDC)的思想,針對系統(tǒng)(1),給出下面的T-S 模糊采樣狀態(tài)反饋控制器.

采樣周期為兩個相鄰連續(xù)采樣時刻之間的間隔時間,假設(shè)滿足

其中,h1和h2(h2≥h1≥0)分別表示采樣周期(采樣間隔)的最小值和最大值.

將式(4)代入式(2),可得下面的閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)

為了分析系統(tǒng)(6)的耗散性能,定義下面的能量供給率函數(shù)

則稱系統(tǒng)(6)是嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散的.

本文目的是為系統(tǒng)(6)設(shè)計一個T-S 模糊采樣控制器(4),且滿足指定的耗散性能(8).

為了推導(dǎo)主要結(jié)論,給出下面兩個引理.

引理 1 (2 階B-L 不等式)[33-34].對給定矩陣R∈Rn×n,對所有在 [a,b]→Rn上連續(xù)可微的函數(shù)xxx,滿足

引理 2 (改進(jìn)的自由矩陣不等式).對給定矩陣R∈Rn×n,任意向量ξ0和自由權(quán)矩陣N,對所有在[a,b]→Rn上連續(xù)可微的函數(shù)x,滿足

2 主要結(jié)果及證明

為了簡化系統(tǒng)的分析與設(shè)計以及推導(dǎo)過程,定義如下標(biāo)記符:

首先,對模糊采樣控制器增益矩陣已知的情況,給出閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)(6)滿足耗散性能(8)的充分條件如下.

其中,Σi,Ωi,i=1,2的定義見式(10)～(13).那么,系統(tǒng) (6)是嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散的.

證明.構(gòu)造基于B-L 不等式的雙邊時間相關(guān)不連續(xù)L-K 泛函為

基于定理1,對控制器增益未知的情況,定理2給出了系統(tǒng)(6)魯棒耗散控制的充分條件以及T-S模糊控制器的求解方法.

作為L-K 泛函,利用類似于定理2的證明過程,可得下面的推論

3 實(shí)例分析

本節(jié)提供一個實(shí)例來展示提出方法的可行性和有效性.考慮下面的卡車拖車模型[30,36],其卡車拖車模型示意圖如圖1 所示.

圖1 卡車拖車模型及其坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.1 Truck trailer model and its coordinate system

其動力學(xué)狀態(tài)方程可描述如下[30,36]

首先,針對變周期采樣的情況(h12),選擇ε1=0.7,ε1=0.5 和h1=0,對不同采樣周期上界h2,使用定理2 和推論1 以及文獻(xiàn)[30]所得的最優(yōu)耗散性能指標(biāo)γmax如表1 所示.由表1 可知,與文獻(xiàn)[30]相比,定理2 和推論1 能提供一個更大的耗散性能指標(biāo)γ.特別地,當(dāng)h2=0.35 時,文獻(xiàn)[30]無可行解,說明本文提出的方法更加有效.另外,從表1 還可看出,定理2 比推論1 提供的耗散性能指標(biāo)γ更大,這是由于定理2 引入了VBL(t)和V4(t).

表1 對不同 h2的γmaxTable 1 γmax for differenth2

為了展示變采樣周期下界h1與耗散性能指標(biāo)的關(guān)系,選擇h2=0.35,對不同h1,使用定理2 計算所得的最大耗散性能指標(biāo)γmax如表2 所示,從表2可以看出,當(dāng)變采樣周期下界h1逐漸增大時,耗散性能指標(biāo)γ也逐漸增加.

表2 對不同 h1的γmaxTable 2 γmax for differenth1

另外,選擇耗散性能指標(biāo)γ=0.9311 和變采樣周期下界h1=0,使用定理2 計算所得變采樣周期的最大上界h2為 0.26,與文獻(xiàn)[30]所得結(jié)果 0.15 相比,結(jié)果改善了73.33%.此時,根據(jù)式(34)得到相應(yīng)的T-S 模糊采樣狀態(tài)反饋控制器增益為

注 8.值得指出的是,目前大部分文獻(xiàn)[20-22,29]獲得的T-S 模糊控制器的各個局部子控制器增益是相等的(即K1=K2=···=Kr=K,r為模糊規(guī)則條數(shù)),根據(jù),若各子控制器相等,則有uuu(t)=由此可知,全局控制器(uuu(t)=Kxxx(tk))與模糊隸屬度函數(shù)無關(guān).也就是說,當(dāng)各局部子控制器相等時,得到的全局控制器(uuu(t)=Kxxx(tk))其實(shí)等價于一個線性控制器.關(guān)于局部子控制器出現(xiàn)都相等的情況,這可能與選擇的隸屬度函數(shù),構(gòu)造的L-K 泛函等多方面因素有關(guān).對于這種情況目前尚沒有統(tǒng)一的解決方法或合理的解釋,是一個極具挑戰(zhàn)性的課題,尚需進(jìn)一步深入研究.

選擇初始條件x(0)=[-0.5π,-0.75π,-10]T,外部擾動輸入w(t)=[sin(0.1t)exp(-0.1t),sin(0.1t)×exp(-0.1t)]T.在γ=0.9311,變采樣周期hk∈(0,0.26]情況下,基于獲得的控制器,得到系統(tǒng)相應(yīng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線和控制輸入曲線如圖2 和圖3 所示,從圖2 和圖3 可以看出,設(shè)計的T-S 模糊采樣控制器保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,且能有效抑制外部擾動信號w(t),具有良好的魯棒性.

圖2 變周期采樣 h k∈(0, 0.26]的系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)Fig.2 State response of system in the case of variable sampling withhk∈(0, 0.26]

圖3 變周期采樣 h k∈(0, 0.26]的系統(tǒng)控制輸入Fig.3 Control input of system (38)in the case of variable sampling withhk∈(0, 0.26]

接下來,進(jìn)一步討論定周期采樣的情況(h1=h2=h).對不同的采樣周期上界h2,使用定理2 計算所得的最大耗散性能指標(biāo)γmax見表3.由表1 和表3 可以看出,對相同的采樣周期上界h2,定周期采樣(h1=h2)的情況相比于變周期采樣(h1h2)的情況來說,能獲得更大的耗散性能指標(biāo).同時,從這兩個表中,還可得出這樣的結(jié)論:耗散性能指標(biāo)越大對應(yīng)的采樣周期上界越小.換句話講,可以通過增加采樣頻率來改善系統(tǒng)的耗散性能指標(biāo).

表3 對不同 h1=h2的γmaxTable 3 γmax for differenth1=h2

另外,選擇耗散性能指標(biāo)γ=0.9311,使用定理2 (h1=h2)計算得最大采樣周期上界為 0.32,以及相應(yīng)的T-S 模糊采樣狀態(tài)反饋控制器為

基于獲得的控制器,可得系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和控制輸入如圖4 和圖5 所示.由圖4 可以看出,設(shè)計的控制器能保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性,展示了提出方法的可行性和有效性.

圖4 定周期采樣 h2=0.32的系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)Fig.4 State response of system in the case of constant sampling withh2=0.32

圖5 定周期采樣 h2=0.32的系統(tǒng)控制輸入Fig.5 Control input of system in the case of constant sampling withh2=0.32

4 結(jié)束語

針對基于T-S 模糊模型的采樣控制系統(tǒng)魯棒耗散控制問題.提出了一個基于B-L 不等式的雙邊時間相關(guān)不連續(xù)L-K 泛函.建立了一個確保系統(tǒng)嚴(yán)格(Q,S,R)-γ-耗散的充分條件.基于這個條件,提出了T-S 模糊采樣控制器的設(shè)計方案.最后,使用一個卡車拖車系統(tǒng)說明提出方法的可行性和優(yōu)越性,仿真結(jié)果表明所提出的設(shè)計方案能夠?qū)崿F(xiàn)良好的控制效果.

本文提出的方法也很容易擴(kuò)展到其他復(fù)雜系統(tǒng)的分析與綜合,如網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)[5,37-38]、混沌系統(tǒng)[21-22]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[23]等,這將是我們進(jìn)一步研究的方向.