基于Woodward-Lawson法的陣列方向圖綜合研究

周治偉，李景峰

（華東電子科技研究所，安徽 合肥 230031）

0 引 言

隨著相控陣天線在雷達(dá)偵察、衛(wèi)星通信等領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，在軌動態(tài)按需覆蓋成為可能[1,2]。而根據(jù)所需方向圖求解陣列天線激勵(lì)幅度和相位值的過程稱為陣列綜合。陣列天線波束綜合是一個(gè)十分困難的非線性優(yōu)化問題，雖然有許多經(jīng)典的優(yōu)化方法可以借用，但是這些方法都是針對某一類特定問題而提出的，例如的切比雪夫、泰勒分布，而對于復(fù)雜或任意的目標(biāo)方向圖（比如國土或局部熱點(diǎn)覆蓋），經(jīng)典方法無法求解[3]。

近年來，采用進(jìn)化迭代算法（如差分算法、模擬退火、遺傳算法等）和智能群體優(yōu)化算法（如粒子群算法、布谷鳥搜索算法等）進(jìn)行陣列天線方向圖綜合成為研究熱點(diǎn)，但是這類方向圖綜合計(jì)算容易陷入局部最優(yōu)，很難找到全局最優(yōu)解，且對于星載應(yīng)用的大型相控陣列，所需的優(yōu)化迭代計(jì)算量很大，實(shí)時(shí)優(yōu)化將非常困難，很難滿足在軌波束賦形的實(shí)時(shí)性需求[4-8]。

Woodward-Lawson采樣法是用于線陣綜合賦形波束的主要方法。1948年，Woodward和Lawson引入了一系列正交波束，每個(gè)波束的加權(quán)值等于所要求的方向圖在對應(yīng)采樣點(diǎn)處的幅度[9]。由于計(jì)算簡單，完全可以滿足在軌實(shí)時(shí)更新賦形的需求。本文對Woodward-Lawson采樣法進(jìn)行了深入研究，并推廣到二維陣列進(jìn)行波束賦形。

1 一維Woodward-Lawson采樣法

1.1 基本原理

類似于信號處理理論中的抽樣定理，Woodward-Lawson采樣法綜合的基本原理是將方向圖用一組正交基函數(shù)來疊加表示，各基函數(shù)的系數(shù)等于所要求的方向圖在對應(yīng)抽樣點(diǎn)上的幅度，正交基系數(shù)的有限項(xiàng)之和為源的總激勵(lì)，基函數(shù)的有限項(xiàng)之和為綜合的方向圖函數(shù)，因此目標(biāo)方向圖可以通過優(yōu)化正交基系數(shù)得到。

為了便于理解，在線陣方向圖綜合的Woodward-Lawson采樣法中，將陣元電流分解為幅度均勻、相位線性遞變的若干組空間諧波之和。每組空間諧波產(chǎn)生一個(gè)波束指向一定方向（空間抽樣點(diǎn)）的方向圖。這個(gè)方向圖函數(shù)即為抽樣基函數(shù)。由于基函數(shù)的特殊性質(zhì)，綜合波形過程中，某基函數(shù)的頂點(diǎn)（最大值點(diǎn)）對應(yīng)于目標(biāo)方向圖抽樣點(diǎn)，而其第一零點(diǎn)對應(yīng)于相鄰基函數(shù)的頂點(diǎn)，滿足這個(gè)條件的情況下，則可認(rèn)為任意2個(gè)不同抽樣點(diǎn)的基函數(shù)是兩兩正交的。同時(shí)，基函數(shù)的零點(diǎn)位置在正弦空間是等距排列的，使每一個(gè)基函數(shù)在特定的一個(gè)采樣點(diǎn)上的值，剛好等于目標(biāo)方向圖在該點(diǎn)的值（稱之為該基函數(shù)的諧振點(diǎn)），而在其他采樣點(diǎn)上的值為零，即基函數(shù)與諧振點(diǎn)一一對應(yīng)。

這樣在每個(gè)單元位置上，重疊著的M個(gè)子陣單元合成的電流幅相即是綜合陣的饋電幅相。這樣綜合出的線陣方向圖在M個(gè)采樣點(diǎn)上的值剛好等于樣本函數(shù)在該點(diǎn)的值，這樣的點(diǎn)越多，綜合的方向圖越逼近樣本函數(shù)。

1.2 應(yīng)用分析

Woodward-Lawson采樣法中抽樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)與位置由陣長L及波長λ決定。由于均勻直線天線陣的陣因子有較高的副瓣電平，同時(shí)又受到抽樣點(diǎn)位置與個(gè)數(shù)的嚴(yán)格限制，能調(diào)整的參數(shù)僅僅是空間諧波的相對幅度，因此使綜合得到的方向圖往往不能滿足要求。尤其在平頂方向圖綜合中，主瓣區(qū)波動幅度較大（2～3 dB），副瓣電平較高（-15～20 dB）且難以控制。

Woodward-Lawson采樣法的缺點(diǎn)實(shí)質(zhì)上是基函數(shù)的性質(zhì)決定的，基函數(shù)的副瓣電平較高（-13.3 dB），第一副瓣電平等于M個(gè)諧波的副瓣峰值的疊加，考慮到諧波的副瓣峰值疊時(shí)時(shí)交錯(cuò)反向的，因此，對于平頂波束賦形，如果目標(biāo)方向圖區(qū)域內(nèi)為采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為P，且不考慮賦形區(qū)域的邊沿，則綜合得到的第一副瓣電平為

對于任意的基函數(shù)的第一、二、三、四、五、六副瓣峰值分別為-13.3 dB、-17.8 dB、-20.8 dB、-22.99 dB、-24.7 dB、-26.2 dB。如圖1所示，對3個(gè)諧波進(jìn)行疊加，則SLLtotal=SLL1-SLL2+SLL3，所以綜合后第一副瓣為-15.49 dB（注意這里不能用dB值直接相加，要將電平值轉(zhuǎn)化為絕對幅度值，加減后再取dB值）；類似地，對4個(gè)諧波進(jìn)行疊加，綜合后第一副瓣為-19.3 dB；對5個(gè)諧波進(jìn)行疊加，綜合后第一副瓣為-15.6 dB；對6個(gè)諧波進(jìn)行疊加，綜合后第一副瓣為-18.64 dB。因此，可得出有價(jià)值的規(guī)律如下文所述。

（1）取偶數(shù)采樣點(diǎn)比奇數(shù)采樣點(diǎn)可獲得更低的副瓣（低3 dB左右）。

（2）副瓣電平僅與采樣點(diǎn)選取有關(guān)，增加陣元不能降低副瓣電平，增加采樣點(diǎn)不但不能降低副瓣電平，反而使其升高。副瓣電平的極限值為4個(gè)諧波疊加的結(jié)果，為-19.3 dB。

如果考慮賦形區(qū)域的邊沿，將處于邊沿的諧波幅度設(shè)為1/2，結(jié)果也值得討論。圖2為3個(gè)諧波疊加的情形，綜合方向圖的第一副瓣電平為SLLtotal=SLL1/2-SLL2+SLL3/2，將此式推廣可得任意P個(gè)采樣諧波疊加第一副瓣電平表達(dá)式為

需要注意的是，第1個(gè)和第P個(gè)采樣諧波相對幅度為1/2。3個(gè)諧波綜合后第一副瓣為-31.7 dB，4個(gè)諧波綜合后第一副瓣為-28.8 dB。由此可見對邊沿處理過的情況，選擇奇數(shù)采樣可以得到30 dB的副瓣電平。

綜上所述，Woodward-Lawson采樣法的旁瓣問題可通過采樣點(diǎn)的選擇和邊沿的處理得到較好的解決。但是，Woodward-Lawson采樣法一個(gè)更為明顯的缺點(diǎn)是，其綜合得到的電流分布只在陣列中部少數(shù)陣元的電流幅度較大，而陣列兩段多數(shù)單元的電流幅度很小，這使得陣列的口徑效率低，所以陣列方向性系數(shù)和增益也較低。

2 改進(jìn)的Woodward-Lawson采樣法

為了克服Woodward-Lawson采樣法的缺點(diǎn)，可采用低副瓣的口徑場（Chebyshev-Dolph分布或Taylor分布）作為子陣諧波，而抽樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)、位置及空間諧波的相對幅度均可靈活調(diào)整，使綜合的方向圖更為理想即在主瓣區(qū)內(nèi)更加平滑、副瓣區(qū)內(nèi)電平更低[10]。

如果對線陣方向圖進(jìn)行綜合，可取若干組空間諧波，它們的陣因子對應(yīng)各自的空間抽樣點(diǎn)。各次空間諧波的電流之和即為天線陣陣元的激勵(lì)電流，各子陣陣因子之和即為天線的總方向圖。如空間抽樣點(diǎn)數(shù)為M，則有M組空間電流諧波，它們構(gòu)成的總陣因子為

從綜合的角度，令I(lǐng)m≈|Sd(m)|（這里只是近似值，精確值參見文獻(xiàn)[11]），這樣與Woodward-Lawson采樣法相比，求激勵(lì)電流只需要再加一個(gè)采樣口徑場電流in。但是，由于采用低副瓣口徑陣因子作為采樣函數(shù)，可以忽略正交條件的限制，因此改進(jìn)后采樣點(diǎn)的位置和個(gè)數(shù)以及間隔的選取可以更加靈活，綜合得到的方向圖除了與抽樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)、位置及空間諧波的相對幅度有關(guān)外，還與天線陣的電長度及子陣的加權(quán)情況有關(guān)。一般地，低副瓣陣因子可以選取Chebyshev-Dolph分布或者Taylor分布等。為了使用Chebyshev-Dolph分布陣因子作為推廣為面陣的采樣函數(shù)，首先要得到均勻柵格平面陣的Chebyshev-Dolph分布，而對于目前的嚴(yán)格分析，只有當(dāng)陣列采用不可分離型分布，且x、y方向上的陣元數(shù)量要相同[12]。

盡管改進(jìn)后的Woodward-Lawson采樣法可使綜合的方向圖得到改善（賦形區(qū)波動減小、副瓣電平降低），但是付出的代價(jià)是，增加了激勵(lì)電流的動態(tài)變化范圍（Dynamic Range Ratio，DRR），激勵(lì)電流在陣列的兩端或者外側(cè)變得很小，這大大降低了天線的口面效率，同時(shí)在工程實(shí)現(xiàn)上增加了對饋電網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)難度。

3 Woodward-Lawson采樣法的二維推廣

接下來討論對于均勻線陣如何向均勻面陣轉(zhuǎn)換的問題。如果一個(gè)矩形均勻面陣滿足可分離型分布，即如果 平面陣 的分布 按列為，按 行為，則

可以證明，矩形柵格均勻面陣陣因子為垂直方向一維線陣陣因子和水平方向一維線陣陣因子的乘積，這也印證了方向圖乘積定理。那么同樣適用于Woodward-Lawson采樣法，基函數(shù)為，采樣點(diǎn)為(u,v)二維空間的采樣。可以證明，基函數(shù)在合適的采樣點(diǎn)同樣滿足圖1所示正交關(guān)系，只是各個(gè)基函數(shù)擴(kuò)展到了在二維(u,v)空間相疊加。如圖3所示，要綜合一個(gè)圓形波束，則需要的采樣點(diǎn)可以如圖3中黑點(diǎn)所示位置確定。這樣的點(diǎn)對應(yīng)于旁瓣的零點(diǎn)位置。

二維Woodward-Lawson采樣法的基本流程如下文所述。

（1）根據(jù)均勻矩形柵格尺寸確定采樣間隔，根據(jù)陣元數(shù)目確定奇數(shù)采樣或者偶數(shù)采樣。

（2）根據(jù)目標(biāo)方向圖的形狀和大小，確定采樣點(diǎn)（圖3）。

（3）根據(jù)下式計(jì)算各陣元電流

式中：（xm,yn）是陣元位置；K、S為整數(shù)（這里取奇數(shù)采樣方式）；Aks為采樣點(diǎn)(uk,vs)的采樣幅值。

對于三角形柵格，如果排布的整個(gè)陣面為矩形，可分解2個(gè)交錯(cuò)的均勻矩形陣面，則二維Woodward-Lawson采樣法同樣適用，只是將分解的2個(gè)陣面分別進(jìn)行計(jì)算，且關(guān)于采樣點(diǎn)設(shè)置和邊緣采樣值的設(shè)置同樣服從一維線陣的情況。

4 結(jié) 論

經(jīng)典的Woodward-Lawson采樣法缺點(diǎn)是綜合方向圖副瓣較高，展寬主瓣波動較大，即對目標(biāo)方向圖逼近度不夠；改進(jìn)的Woodward-Lawson采樣法可以對目標(biāo)方向圖進(jìn)行較好逼近，但是得到的激勵(lì)DDR較大，導(dǎo)致較大的陣面增益損失。因此，要選擇合適的基函數(shù)，在方向圖逼近和陣面效率等因素下進(jìn)行權(quán)衡和折中。將Woodward-Lawson采樣法從一維線陣推廣到二維陣列進(jìn)行波束賦形，其處理流程簡單、計(jì)算量較小，適于進(jìn)行星載相控陣的在軌快速賦形應(yīng)用。