復合材料板簧的模態預測與分析

劉鶴龍，史文庫，高 蕊，陳志勇，陳 晃

(1.吉林大學 汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130022；2.中國重汽集團汽車研究總院，濟南 250100)

纖維增強型復合材料由于具有比強度高、比模量大、耐腐蝕性好等優點，近年來在汽車的輕量化領域展現出了巨大的潛力[1-2]。以復合材料板簧替代鋼板彈簧，不僅減重效果明顯、降低能源消耗，而且能夠減輕整車的非簧載質量，提高乘坐的舒適性和操縱穩定性。然而，板簧作為汽車懸架系統的主要彈性元件之一，在汽車行駛過程中，承受來自路面、發動機等復雜的振動激勵。為了避免懸架系統的固有頻率與外界激勵頻率耦合發生共振，需要在設計之初考慮板簧的模態特性，這對提高板簧的使用壽命以及提升整車NVH (noise,vibration,harshness)性能均具有重要意義。

目前，國內外學者[3-5]針對復合材料板簧的結構設計、疲勞等方面的研究較多，而與模態分析相關的報道較少。文獻[6]利用錘擊法和譜分析法對碳纖維復合材料(carbon fiber reinforced plastics,CFRP)板簧的模態進行了試驗研究，發現了錘擊法能夠避免結構與激勵單元之間的耦合問題，因此可以更準確的測試復合材料板簧的模態。文獻[7-9]利用有限元軟件對復合材料板簧的模態進行了預測，闡述了復合材料板簧的模態頻率明顯高于傳統的鋼板彈簧。文獻[10]基于有限元軟件建立了形狀記憶合金(shape memory alloys,SMA)復合材料板簧的有限元模型，揭示了溫度變化對SMA板簧固有頻率的影響。文獻[11]利用有限元軟件建立了玻璃纖維復合材料(glass fiber reinforced plastic,GFRP)板簧的模態分析模型并進行了試驗驗證，同時利用該模型分析了各設計變量與復合材料板簧一階模態頻率之間的關系，得到了選用0°鋪層角度、較低密度的復合材料和較高的纖維體積含量有利于降低復合材料板簧與激勵發生共振的可能性的結論。有限元軟件法由于在建模中能夠考慮板簧的結構細節，因此計算的結果精度一般相對較高，但也存在著計算周期過長、建模以及模型的修改較為麻煩等弊端，不利于復合材料板簧的正向優化設計。因此，也有學者嘗試利用理論建模的方法預測復合材料板簧的模態特性。文獻[12]基于瑞利-里茲能量法建立了SMA復合材料板簧的模態頻率的預測模型，并得到了板簧固有頻率與溫度、鋪層角、SMA含量的關系曲線，但該模型計算相對復雜且缺乏試驗驗證，此外，一些關鍵設計參數與復合材料板簧模態之間的關系也還需要進一步的明確。文獻[13]基于模態應變能法進行了復合材料板簧的結構健康檢測，并指出所提方法能準確評價裂紋的存在、位置和嚴重程度，但所應用的模態理論模型過于簡化，且未能考慮復合材料各向異性和鋪層角度的影響。

因此，本文在前人的基礎上，結合復合材料力學，基于微元法建立了復合材料板簧的模態預測模型，并試制了玻璃纖維/環氧復合材料板簧對模型的準確性進行了驗證。最后，從復合材料的選材、鋪層設計等角度出發，研究了相關參數對復合材料板簧模態的影響，能夠為工程中的相關問題提供一定的參考。

1 復合材料板簧的結構

為了使板簧的輕量化效果最佳，同時又滿足設計的剛度和強度要求，文獻[14]經過優化指出，簧身的最優結構應從軸座到卷耳方向，寬度呈雙曲線遞增，厚度呈線性遞減。但變寬度的復合材料板簧加工困難、浪費材料，因此文獻[15]經過對各鋪層長度的優化設計，得到了等寬變截面復合材料板簧的簧身結構厚度應從卷耳沿軸座方向近似呈拋物線形狀增加的結論。相比于橫置復合材料板簧，縱置復合材料板簧由于要考慮與車架車軸的連接問題，因此結構更為復雜。同時，考慮到加工成本與工藝的復雜性，一般縱置復合材料板簧不制造成接頭-簧身一體化復合材料結構，而是由復合材料簧身、前金屬接頭、后金屬接頭、中部金屬連接結構組成。

本文所研究的板簧為等寬變厚度的縱置復合材料板簧，具體結構如圖1所示。其中：前、后金屬接頭通過螺栓與復合材料簧身連接，并輔以高強度的環氧樹脂結構膠連接；中部金屬夾板與簧身通過中心螺栓連接，并輔以膠接；板簧的兩端金屬接頭的圓環代替鋼板彈簧的吊耳與車架的吊耳銷連接，而板簧中部通過中心螺栓實現與車軸定位并傳遞縱向力。

圖1 復合材料板簧的結構Fig.1 Structure of the composite leaf spring

2 復合材料板簧的模態預測模型

2.1 單層板的工程彈性參數

明確材料的本構關系是結構設計的前提，纖維增強型復合材料屬于正交各向異性材料，單層板的力學分析中主要包括兩個彈性主方向，即1向(纖維方向)和2向(與纖維方向垂直)，對應材料的剛度較大的主方向和剛度較小的主方向。1軸和2軸定義為材料的正軸，相應的1-2坐標系定義為材料的正軸坐標系，在1-2方向上測試得到的工程彈性參數為正軸工程彈性參數；復合材料結構的坐標系(x-y坐標系)與材料的正軸坐標系不重合時，定義x軸和y軸為單層板的偏軸，x-y坐標系為偏軸坐標系。當單層板受到正軸方向的應力時，正軸工程彈性參數可直接用于計算單層板的變形，而受到偏軸應力時，材料的偏軸工程彈性參數需要利用正軸工程彈性參數進行轉換。

單層板的偏軸工程彈性參數可以根據式(1)計算得到

m=sinα,n=cosα

(3)

式中：E1,E2分別為1軸向和2軸向的正軸彈性模量；G12為面內正軸剪切模量;ν1和ν2分別為1軸向和2軸向泊松比，且滿足ν1/E1=ν2/E2;α為鋪層方向角，即x軸與1軸的夾角。

2.2 截面彎曲中性層位置的計算

板簧在發生彎曲變形時，截面一端承受拉應力;另一端承受壓應力，中間不承受應力的位置定義為截面的彎曲中性層。相關研究表明，與各向同性材料不同，復合材料的拉伸模量與壓縮模量可能存在差異[16]；此外，根據式(2)可以看出，復合材料的偏軸彈性模量是鋪層方向角的函數，板簧的實際鋪層可能包含任意鋪層方向角的單層，因此截面的彎曲中性層可能會相對于厚度方向上的幾何中面發生偏移，這在計算板簧截面抗彎剛度及系統的剛度矩陣時不容忽視。

由于整個板簧存在復合材料簧身(只有復合材料)與金屬連接件兩部分，對于前、后接頭以及中部金屬連接區域，都可能存在金屬-復合材料-金屬的包夾段，因此選取包夾段進行中性層及截面抗彎剛度的推導。由于金屬連接件與復合材料表面均采用高強度結構膠相連，故假設金屬層與復合材料層接觸表面沒有相對滑動，且截面中復合材料部分與金屬部分的曲率半徑相同。

純彎曲截面變形前后如圖2所示。其中：p,q分別為截面中受拉、壓金屬層的厚度;j為截面中復合材料部分的厚度;aa為幾何中面;oo為中性層。

圖2 截面彎曲變形Fig.2 Section bending deformation

根據平面假設，變形前相距dx的兩個橫截面，變形后相對旋轉了一個角度dθ，并仍保持平面。距中性層距離為z的縱向纖維bb的長度變為

(4)

(5)

根據應變的定義，求得纖維bb的應變為

(6)

對復合材料板簧的任意一個截面A，沿x軸方向的力可表示為

(7)

定義中性層位移系數λ如下

(8)

式中：d為中性層與幾何中性層之間的距離；t為該截面的厚度,且滿足

t=p+j+q

(9)

則對于厚度為j的復合材料區域，第k層單層距中性層的距離zk為

(10)

式中，δ為復合材料單層厚度。

以中性層為原點位置，拉為正、壓為負，式(7)可以展開為

(11)

(12)

式中：Em為金屬材料的彈性模量；在復合材料板簧受力為純彎曲情況下，有

FN=0

(14)

故有

(15)

聯立式(10)、式(12)、式(15)，即可解得中性層位移系數λ。

2.3 截面抗彎剛度的求解

對于復合材料板簧簧身垂直于x軸的任意一個截面，其受到繞y軸的彎矩可表示為

設截面抗彎剛度為D，則

(17)

即有

值得說明的是，式(18)能夠通過對不同數量的單層的剛度特性求和來獲得對應不同厚度截面的抗彎剛度。當計算復合材料簧身部分，即不存在金屬連接件時，則p=q=0。

2.4 微元法建立復合材料板簧模態預測模型

模態的求解，即對系統的固有頻率及對應振型的求解。n自由度系統自由模態的特征方程為

(19)

式中，K，M分別為系統的剛度矩陣和質量矩陣，一般為n×n階的對稱常數矩陣。板簧在工作過程中，主要承受整車與路面之間的垂向載荷。為了減少分析的自由度，減低問題的復雜度，僅對復合材料板簧的垂向自由模態進行預測。根據微元法的思想，將板簧的整體結構沿長度方向劃分為若干個單元，每個單元的兩端各有垂向位移與旋轉兩個自由度，相鄰單元的共有端存在相同自由度的約束。

當單元的φA為常數時，單元的的質量矩陣為

(20)

式中：φ為板簧截面的材料密度;A為截面面積;le為單元長度；當單元內部的截面抗彎剛度De為常數時，單元的剛度矩陣為

(21)

將整個板簧沿長度方向劃分為i個單元，則系統的獨立坐標轉換前的剛度矩陣與質量矩陣為

(22)

由于相鄰單元存在兩個相同自由度的坐標，因此在整體坐標系下，獨立坐標數量為nd=2i+2。因此，

(23)

式中，β為獨立坐標轉換矩陣，可以根據邊界條件獲得，且滿足β∈R4i×nd。

根據式(23)確定系統的剛度矩陣和質量矩陣后，便可由式(19)，基于MATLAB軟件中矩陣特征值的求解函數得到復合材料板簧系統的固有頻率和對應的振型。

3 復合材料板簧模態預測模型的驗證

采用有限元法和試驗法驗證模態預測理論模型的正確性。GFRP板簧試驗樣件如圖3所示。板簧簧身為等寬變截面形狀，從吊耳沿中部近似呈拋物線形狀增加。鋪層角度均為0°，復合材料層合板的密度為1 990 kg/m3，金屬材料的彈性模量為206 MPa，密度為7 850 kg/m3。

圖3 復合材料板簧樣件Fig.3 Composite leaf spring samples

復合材料板簧的兩端金屬接頭與中部的連接結構包含較大比重的金屬材料，以集中質量的方式處理可能造成較大的計算誤差，因此需要對接頭部分進行較合理的等效處理。為簡化計算，對于前后金屬接頭的吊耳圓環部分，等效為長方體塊狀結構，且等效前后與原結構長度、質量、密度一致；對于中部連接結構，除了較少部分的螺栓連接結構外，結構較為均勻，為了簡化運算，等效為均勻的包夾段，且總質量、尺寸與原結構一致，等效的結構如圖4所示。

圖4 復合材料板簧等效結構示意圖Fig.4 Equivalent structure of the composite leaf spring

相關結構參數如表1所示。復合材料層合板的力學性能參數，如表2所示。理論模型中沿板簧長度方向所劃分單元的長度對模態頻率的預測結果的影響，如表3所示。從表3中可以看出，在分析范圍內所劃分單元的長度對復合材料板簧彎曲模態頻率預測結果的影響較小。由于本文的復合材料板簧的鋪層長度均為整數，因此為了保證劃分的單元能更準確的體現板簧的變截面幾何形狀，同時兼顧計算的效率，本文的后續分析將所劃分單元的長度取為1 mm。

表1 復合材料板簧的結構參數Tab.1 Structural parameters of composite leaf spring

表2 復合材料層合板的力學性能參數Tab.2 Mechanical property parameters of composite laminate

表3 單元長度對模態頻率的影響Tab.3 Influence of element length on frequency results

利用錘擊法對復合材料板簧的自由模態進行測試。試驗采用LMS TEST.LAB測試系統及B &K三向振動加速度傳感器進行測量，在復合材料板簧的簧身兩側布置傳感器，由于傳感器數量有限，采用多點分區測量。板簧的懸掛狀態如圖5所示。對剛度較大的端部和中部的金屬接頭位置分別進行錘擊，最后將錘擊點所測得的結果進行綜合分析，得到復合材料板簧的各階試驗模態頻率與振型。

圖5 復合材料板簧的懸掛狀態Fig.5 Suspension state of composite leaf spring

利用ABAQUS軟件對復合材料板簧總成進行模態分析。三種方法所得的前三階彎曲模態振型如圖6所示，各階模態振型對應頻率對比如表4所示。

圖6 三種方法得到的模態振型對比Fig.6 Comparison of modal shape between three methods

表4 三種方法得到的模態頻率結果對比Tab.4 Comparison of the frequency results obtained by three methods

由圖6可知，模態試驗、理論預測與有限元分析的模態振型基本一致；由表4可以看出，復合材料板簧第3階彎曲模態頻率接近200 Hz，遠大于路面激勵頻率和發動機怠速激勵，因此本文取前三階模態進行分析能夠滿足工程實際需要，理論預測的復合材料板簧的前三階彎曲頻率均與試驗結果、有限元分析接近，其中理論預測的前三階頻率與試驗結果的誤差分別為2.46%，3.27%和6.84%，誤差較小，因此可以認為該數值模型能夠實現對復合材料板簧的模態預測，有助于縮短復合材料板簧正向開發的周期。

4 復合材料板簧模態影響因素分析

在復合材料板簧各階彎曲模態中，與發動機怠速激勵、路面激勵頻率最為接近的為一階彎曲振動，因此本文以復合材料板簧的一階彎曲振動模態頻率為研究對象，從選材、鋪層等設計角度出發，分析復合材料板簧各關鍵參數對其模態特性的影響。本文主要研究鋪層角度α、復合材料的彈性模量E、復合材料的密度φc、板簧簧身寬度B對復合材料板簧模態頻率的影響。

采用控制變量法進行分析，即在分析某個參數對板簧的一階彎曲模態頻率的影響規律時，其他設計參數與算例中的參數一致。分析鋪層角度α對板簧模態頻率的影響時，假設各單層方向角的絕對值相等，且均為α，以[+α/-α]的形式循環鋪層，影響趨勢如圖7所示。從圖7中可以看出，鋪層角度對板簧的一階彎曲固有頻率的影響較大，在0°鋪層時，固有頻率最高，在0°～55°左右時，頻率下降較快，而55°～85°時，板簧頻率整體略有增加，但幅度較小，而85°～90°趨于平緩。由此可見，選用0°鋪層能有效提高板簧的固有頻率。

圖7 鋪層角度對板簧一階彎曲模態頻率的影響Fig.7 Influence of ply orientation on bending frequency

復合材料層合板的彈性模量E對板簧模態頻率的影響，如圖8所示。圖8中，E0為材料的初始模量。從圖8可以看出，復合材料層合板的彈性模量對板簧固有頻率的影響較大，彈性模量越大，板簧的固有頻率越高。因此，選用彈性模量大的復合材料有利于提高板簧的固有頻率。

圖8 復合材料彈性模量對板簧一階彎曲模態頻率的影響Fig.8 Influence of elastic modulus on bending frequency

復合材料層合板的密度φc對板簧模態頻率的影響，如圖9所示。圖9中，Δφc為材料的密度相對初始密度的變化量。從圖9可以看出，板簧的固有頻率與復合材料層合板的密度呈負相關趨勢。因此，選用密度較小的復合材料有利于提高板簧的固有頻率。

圖9 復合材料層合板密度對板簧一階彎曲模態頻率的影響Fig.9 Influence of composite density on bending frequency

簧身寬度B對板簧模態頻率的影響,如圖10所示。圖10中，ΔB為簧身的寬度相對初始寬度的變化量。從圖10可以看出，增加簧身寬度有利于提高板簧的固有頻率。

圖10 簧身寬度對板簧一階彎曲模態頻率的影響Fig.10 Influence of body width on bending frequency

5 結 論

(1)本文基于微元法和復合材料力學，建立了復合材料板簧的模態預測理論模型，該理論模型能夠避免常規有限元軟件分析過程中繁瑣的建模、網格劃分等過程，有利于提高計算效率，同時也便于結合復合材料板簧的其他性能實現對板簧的參數化優化設計、縮短復合材料板簧的正向開發周期。

(2)鋪層角度對板簧模態影響較大，0°鋪層時板簧垂向彎曲固有頻率最大，在滿足其他要求的前提下，選用密度較低、彈性模量較大的復合材料，并盡可能增加簧身寬度，有利于提高彎曲模態頻率、降低板簧與外界激勵耦合共振的可能性。