軸力作用下多點(diǎn)約束桿件的橫向振動(dòng)及穩(wěn)定簡(jiǎn)化分析方法

陳飄華，張慧健，黃仕平,2，袁兆勛

(1.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院，廣州 510640；2.中新國(guó)際聯(lián)合研究院，廣州 510700)

在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)構(gòu)件及許多機(jī)械設(shè)備都是在承受軸向荷載的情況下工作，例如受拉的纜索、桁架拱的受壓腹桿等。當(dāng)軸向壓力超過(guò)某一臨界壓力時(shí)，壓桿將喪失保持穩(wěn)定平衡構(gòu)形的能力從而發(fā)生屈曲或失穩(wěn)[1]。根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[2]可知，桿件在承受壓力時(shí)，頻率會(huì)有所降低，且壓力越大，頻率降低越多。結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率作為結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的重要指標(biāo)，是結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析及控制的重要參數(shù)，因此軸力條件下桿件的自由振動(dòng)引起了眾多學(xué)者研究。Huang等[3]提出一種動(dòng)態(tài)有限元單元法用于計(jì)算斜拉索的振動(dòng)頻率與索力。孫秀榮等[4]研究了一端固定一端滑動(dòng)下分布軸向力對(duì)桿柱失穩(wěn)和橫向振動(dòng)的影響。李夢(mèng)瑤[5]研究了簡(jiǎn)支箱梁在剪力滯效應(yīng)和附加軸力影響下的自由振動(dòng)特性。滕兆春等[6]研究了軸向力對(duì)一端固定一端滑動(dòng)梁的過(guò)屈曲前后固有頻率的影響。樓夢(mèng)麟等[7]采用模態(tài)攝動(dòng)法分析了預(yù)應(yīng)力對(duì)簡(jiǎn)支梁橫向振動(dòng)特性的影響。陳永紅等[8]研究了軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁在軸向載荷作用下的振動(dòng)特性。趙雨皓等[9]建立了軸向載荷條件下彈性邊界約束梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析模型。

上述研究大多是基于特定端部支承條件下軸力對(duì)自由振動(dòng)影響的研究，且在實(shí)際工程中，為了改善構(gòu)件的動(dòng)力性能，通常會(huì)在構(gòu)件的中間設(shè)置附加約束條件來(lái)控制其振動(dòng)頻率，例如受拉纜索為了增加剛度，在其中部設(shè)置附加約束；鋼結(jié)構(gòu)中為提高鋼梁的整體穩(wěn)定性，通常在其受壓翼緣處設(shè)置側(cè)向支承點(diǎn)。合理設(shè)置附加支承可以控制構(gòu)件的振動(dòng)頻率及歐拉臨界力，提高構(gòu)件的動(dòng)力性能及穩(wěn)定性，保證其在振動(dòng)過(guò)程中不發(fā)生破壞或者失效。對(duì)于含中間支承的研究，吳曉[10]利用Laplace變換求得了多跨連續(xù)長(zhǎng)索固有橫振振型的解析解。黃翀等[11]研究了多跨索支承在同一平面且不在同一直線上的固有振動(dòng)特性。荊洪英等[12]研究了一端固支且自由端軸向受壓具有中間支承梁的橫向振動(dòng)特性。Xiao等[13]基于Mindlin-Goodman法和模態(tài)疊加法，分析了軸力作用下均勻Euler-Bernoulli梁在隨機(jī)支承激勵(lì)下的動(dòng)響應(yīng)。

綜上所述，軸力下含附加約束桿件的振動(dòng)頻率較為復(fù)雜，一般采用有限單元法等數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算，然而有限單元法需要軟件建模且不夠直觀?；诖?，本文采用特征函數(shù)集和相應(yīng)的特征值建立基本結(jié)構(gòu)的勢(shì)能泛函方程，利用拉格朗日乘子法考慮泛函中的附加約束條件，推導(dǎo)在不同端部支承方式下軸力作用桿件在多點(diǎn)約束下的頻率計(jì)算公式，并根據(jù)頻率和軸力之間的關(guān)系得到該桿件的歐拉臨界力，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及計(jì)算提供簡(jiǎn)便的計(jì)算公式。

1 多點(diǎn)約束下梁的頻率公式推導(dǎo)

本章先建立軸向荷載下梁的總勢(shì)能泛函，然后通過(guò)拉格朗日乘子法考慮附加約束，最后通過(guò)最小勢(shì)能原理求解振動(dòng)頻率及相應(yīng)的歐拉臨界荷載。

取梁上任一截面x處的微段dx為隔離體，該微段有作用在兩個(gè)截面上的彎矩M，剪力Q，軸力N及分布慣性力m(x)(?2y/?t2)，如圖1所示。

圖1 梁段隔離體Fig.1 Beam segment isolation body

由梁段隔離體的力及力矩平衡方程求得軸向力作用下歐拉梁的橫向振動(dòng)方程

(1)

式中：E為梁的彈性模量；I(x)為梁的慣性矩；y為梁的橫向位移；x為梁的坐標(biāo)；m(x)為梁的單位長(zhǎng)度質(zhì)量；N為梁受到的軸向力。

假定梁遵循簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則梁的撓度y可以分離成時(shí)間和空間變量

y=Y(x)sin(ωt+φ)

(2)

式中：ω為角速度，(rad/s)；φ為相位角。

將式(2)代入式(1)中可以得到

(3)

給定梁端的邊界條件(如簡(jiǎn)支、固支或自由)，則會(huì)有相應(yīng)的一組封閉的特征函數(shù)φr(x)和特征值λr=ω2對(duì)應(yīng)梁的第r階振型。其特征函數(shù)有如下特性

(4)

滿足邊界條件的梁振動(dòng)模態(tài)可以看作是各階特征函數(shù)φr(x)的疊加

無(wú)阻尼作用下梁振動(dòng)的總勢(shì)能在任何時(shí)刻都是相同的，因此我們考慮梁在最大撓度位置處時(shí)的勢(shì)能。梁的最大撓度可以表示為

Y(x)=a1φ1(x)+a2φ2(x)+a3φ3(x)+…

(6)

梁在最大撓度位置處的應(yīng)變能

(7)

對(duì)式(7)進(jìn)行分部積分

當(dāng)梁端為簡(jiǎn)支或自由時(shí)，梁端彎矩EI(x)(d2Y/dx2)為0；當(dāng)梁端為固支時(shí)，梁端轉(zhuǎn)角dY/dx為0，故式(8)簡(jiǎn)化成

(9)

對(duì)式(9)再次進(jìn)行分部積分

同理，當(dāng)梁端為簡(jiǎn)支或固支時(shí)，梁端撓度Y為0；梁端為自由時(shí)，梁端剪力(d/dx)[EI(x)(d2Y/dx2)]為0，故應(yīng)變能最終簡(jiǎn)化成

(11)

將式(3)代入式(11)中

(12)

同時(shí)，梁的勢(shì)能

(13)

當(dāng)梁的兩端之間x=c1,c2,c3，…處有n個(gè)附加約束，如圖2所示。

圖2 軸向荷載下多點(diǎn)約束梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)模型Fig.2 Vibration model of multi-point restrained beam structure under axial force

ci處對(duì)應(yīng)的位移Yci

Yci=a1φ1(ci)+a2φ2(ci)+a3φ3(ci)+…

(14)

同時(shí)在梁的總勢(shì)能公式中引入n個(gè)拉格朗日乘子法[14]變量μ1,μ2,μ3…，則其總勢(shì)能泛函П為[15]

(15)

式中:U為應(yīng)變能由式(12)求出;V為勢(shì)能由式(13)求出。

根據(jù)最小勢(shì)能原理，總勢(shì)能П需要滿足以下條件

(16)

和附加約束條件

將式(15)代入式(16)得到ar后，再將ar代入式(17)即可得到梁在多點(diǎn)約束下的頻率計(jì)算公式。

梁承受壓力時(shí)，其自振頻率會(huì)有所減小，相當(dāng)于降低了梁的剛度，當(dāng)梁的一階頻率降為零時(shí)，結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生失穩(wěn)，此時(shí)的壓力即為歐拉臨界力。因此，當(dāng)頻率公式中λ為0時(shí)，所得到的軸力N即為結(jié)構(gòu)的歐拉臨界力。

本方法對(duì)任意端部支承方式的桿件都適用，只要知道其特征函數(shù)即可求解相應(yīng)的頻率公式及歐拉臨界力。1.1節(jié)以端部支承為簡(jiǎn)支和固支為例，求其振動(dòng)頻率及相應(yīng)的歐拉臨界力。

1.1 等截面簡(jiǎn)支梁在多點(diǎn)約束下的頻率公式

(18)

根據(jù)式(18)，將特征函數(shù)代入式(12)和式(13)可得簡(jiǎn)支梁的應(yīng)變能和勢(shì)能

(20)

則總勢(shì)能П

當(dāng)兩端之間x=c1處只有一個(gè)附加約束時(shí)(即n=1)，根據(jù)最小勢(shì)能原理，將總勢(shì)能代入式(16)可得

(22)

再將式(22)代入式(17)可得簡(jiǎn)支梁在單點(diǎn)約束下的振動(dòng)頻率公式

(23)

當(dāng)式(23)中λ=0且r=2時(shí)，可得簡(jiǎn)支梁在單點(diǎn)約束下的歐拉臨界力

(24)

當(dāng)兩端之間x=c1，c2處有兩個(gè)附加約束時(shí)(即n=2)，根據(jù)最小勢(shì)能原理，將總勢(shì)能代入式(16)可得

(25)

再將式(25)代入式(17)整理可得

(26)

式(26)有非零解的必要條件是μ1，μ2的系數(shù)行列式為零，可得簡(jiǎn)支梁在兩點(diǎn)約束下的振動(dòng)頻率公式

同理，對(duì)式(27)取λ=0且r=3時(shí)，可得簡(jiǎn)支梁在兩點(diǎn)約束下的歐拉臨界力

(28)

式中:A=[φ1(c1)φ2(c2)-φ2(c1)φ1(c2)]2；B=[φ1(c1)φ3(c2)-φ3(c1)φ1(c2)]2；C=[φ2(c1)φ3(c2)-φ3(c1)φ2(c2)]2。

1.2 等截面固支梁在多點(diǎn)約束下的頻率公式

固支梁的特征函數(shù)為

φr(x)=cosh(krx)-cos(krx)+γr[sinh(krx)-sin(krx)](29)

則固支梁特征函數(shù)有如下特性

(30)

因篇幅有限，本文僅給出固支梁在單點(diǎn)約束(即x=c1處)下的基頻計(jì)算公式，因此對(duì)固支梁特征函數(shù)僅取前兩項(xiàng)，則根據(jù)式(12)和式(13)可得固支梁的應(yīng)變能和勢(shì)能

(31)

(32)

則總勢(shì)能П

μ1[a1φ1(c1)+a2φ2(c1)]

(33)

同樣總勢(shì)能П需要滿足式(16)和式(17)

(34)

同理，對(duì)上述式(34)消除a1和a2，即可得固支梁在單點(diǎn)約束下的基頻。若要求出前r階頻率，則特征函數(shù)需要取前r+1項(xiàng)計(jì)算。

實(shí)際工程中考慮到制造、施工、造價(jià)和外觀等因素，一般約束數(shù)量有限，大多在3個(gè)以內(nèi)。對(duì)于大部分對(duì)稱結(jié)構(gòu)，當(dāng)約束較多時(shí)，可通過(guò)取半結(jié)構(gòu)的方法對(duì)約束數(shù)量進(jìn)行簡(jiǎn)化。

2 實(shí)例及驗(yàn)證

2.1 簡(jiǎn)支梁在單點(diǎn)約束下的頻率

以兩端簡(jiǎn)支且軸向受拉的拉索為例，拉索長(zhǎng)度12 m，圓形截面采用直徑7.3 cm，附加約束位于跨距比l1∶l2=5∶7處。有限元模型采用一維梁?jiǎn)卧业乳g距劃分單元，梁端邊界為鉸接，中間支承僅約束豎向位移，具體參數(shù)如圖3、表1所示。

圖3 拉索結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of cable structure

表1 拉索模型的材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of cable model

將拉索尺寸及材料參數(shù)代入式(23)，并對(duì)該式取前7項(xiàng)(即r=7)可得拉索的前6階頻率，計(jì)算結(jié)果與有限元模型對(duì)比，如表2所示。前6階頻率的最大誤差不足3%，滿足工程計(jì)算需求。

表2 前6階頻率對(duì)比Tab.2 Comparison of the first six frequencies

2.2 簡(jiǎn)支梁在兩點(diǎn)約束下的頻率

以兩端簡(jiǎn)支且軸向受壓的鋼梁為例，鋼梁長(zhǎng)度10 m，截面采用HW 200×200×8/12，附加約束位于跨距比l1∶l2∶l3=3∶4∶3處。有限元建模方式與上述拉索相同，具體參數(shù)如圖4、表3所示。

圖4 鋼梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Schematic diagram of steel beam structure

表3 鋼梁模型的材料參數(shù)Tab.3 Material parameters of steel beam model

將鋼梁尺寸及材料參數(shù)代入式(27)中，并對(duì)該式取前8項(xiàng)(即r=8)可得鋼梁的前六階頻率，計(jì)算結(jié)果與有限元模型對(duì)比，如表4所示。兩點(diǎn)約束下頻率的計(jì)算值最大誤差不足2%，滿足工程計(jì)算需求。

表4 前6階頻率對(duì)比Tab.4 Comparison of the first six frequencies

當(dāng)結(jié)構(gòu)的頻率為0(即λ=0)時(shí)，式(28)所求的N=-8.508×103kN即為鋼梁的歐拉臨界力。此外，本文方法可服務(wù)于優(yōu)化布設(shè)結(jié)構(gòu)的約束位置和數(shù)量。當(dāng)約束個(gè)數(shù)確定時(shí)，為了使壓桿有最佳的穩(wěn)定性，可根據(jù)歐拉臨界力公式求出以c1,c2,c3，…為自變量下的最值N，保證壓桿擁有最大的歐拉臨界力(以鋼梁為例，兩點(diǎn)約束位于跨距比l1∶l2∶l3=1∶1∶1處時(shí)，為最大歐拉臨界力Nmax=-9.158×103kN)；當(dāng)歐拉臨界力確定時(shí)，可根據(jù)不同約束個(gè)數(shù)下歐拉臨界力公式的最值N，選出所需的最少附加約束，保證最佳的經(jīng)濟(jì)效益。

2.3 固支梁在單點(diǎn)約束下的頻率

以兩端固支且軸向受壓的混凝土柱為例，混凝土柱長(zhǎng)度8 m，圓形截面采用直徑0.2 m，附加約束位于跨距比l1∶l2=3∶5處。有限元模型同樣采用一維梁?jiǎn)卧业乳g距劃分單元，梁端邊界采用固結(jié) ，中間支承僅約束豎向位移，具體參數(shù)如圖5、表5所示。

圖5 混凝土柱結(jié)構(gòu)示意圖Fig.5 Schematic diagram of concrete column structure

表5 混凝土柱模型的材料參數(shù)Tab.5 Material parameters of concrete column model

將混凝土柱尺寸及材料參數(shù)代入式(34)，對(duì)該方程組進(jìn)行求解可得混凝土柱的基頻，并將計(jì)算結(jié)果與有限元模型對(duì)比。如表6所示，固支梁在單點(diǎn)約束下基頻的計(jì)算值誤差僅1.39%。

表6 基頻對(duì)比Tab.6 Fundamental frequency comparison

3 結(jié) 論

本文采用特征函數(shù)集和相應(yīng)的特征值建立基本結(jié)構(gòu)的勢(shì)能泛函方程，利用拉格朗日乘子法考慮泛函中的附加約束條件，推導(dǎo)了軸向力作用下多點(diǎn)約束桿件橫向振動(dòng)的頻率方程，同時(shí)獲得了振動(dòng)頻率及歐拉臨界力的解析解。主要結(jié)論如下：

(1)該方法同時(shí)獲得了振動(dòng)頻率和歐拉臨界力，理論上解釋了歐拉臨界力和振動(dòng)頻率的關(guān)系。

(2)桿件隨著軸向壓力的增大，固有頻率逐漸減??；當(dāng)頻率降低至零時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生失穩(wěn)，因此對(duì)本方法所求的頻率公式中λ=0時(shí)，即可得到桿件在多點(diǎn)約束下的臨界歐拉力。

(3)簡(jiǎn)化了多點(diǎn)約束桿件固有振動(dòng)頻率的問(wèn)題，該方法不受中間約束數(shù)量影響，可通過(guò)少量特征函數(shù)項(xiàng)求解結(jié)構(gòu)頻率，且特征函數(shù)項(xiàng)數(shù)越高，計(jì)算的頻率精度越高。

(4)由式(24)、式(28)可知，歐拉臨界力的大小不僅與梁長(zhǎng)、端部支承方式、彈性模量和慣性矩有關(guān)，還與中間支承的個(gè)數(shù)和位置有關(guān)，因此合理布置附加支承可提高構(gòu)件的穩(wěn)定性。

(5)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中可根據(jù)本方法所求的歐拉臨界力公式反算得到構(gòu)件需要附加支承的個(gè)數(shù)及位置的最優(yōu)解。

(6)利用本文方法僅保留少數(shù)項(xiàng)特征函數(shù)即可求得低階振動(dòng)頻率及相應(yīng)臨界歐拉荷載，適合快速手算。

通過(guò)實(shí)例分析可知，對(duì)于兩端簡(jiǎn)支和兩端固支的均勻連續(xù)梁，本文的計(jì)算結(jié)果與有限元分析的計(jì)算結(jié)果基本一致，該方法也適用于其他端點(diǎn)約束情況。