羅爾定理中輔助函數的構造法

郭元春 陳思源 馬曉燕

1.西安思源學院基礎部 陜西西安 710038；2.西安思源學院高等教育營銷研究中心 陜西西安 710038

微分中值定理在微積分學中占有十分重要的地位，是用函數局部性質推斷整體性質的有力工具。羅爾定理是微分中值定理中最為基礎的一個，定理內容：若函數f(x)滿足在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且f(a)=f(b)，則存在某個中值ξ∈(a，b)，使得等式f′(ξ)=0。利用羅爾定理證明中值等式問題的難點就是輔助函數的構造。劉文武、張軍、肖俊等人[1-3]采用逆向思維法對該類問題做了相應的研究。逆向思維法是從結果出發分析中值等式的特點，選擇適當的方法構造輔助函數。

微分中值等式問題常見的形式是：已知函數f(x)滿足在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且f(x)滿足某些附加條件，求證存在某個中值ξ∈(a，b)，使得等式F(ξ，f(ξ)，f′(ξ))=0。該等式左邊看作是某個函數g(x)在點ξ處的導數，即g′(ξ)=0。由拉格朗日中值定理可知，g(x)=C是滿足該等式的最簡單的函數。顯然這個隱函數是原微分方程的通解，因此，在微分中值問題中，一般把通解中的積分常數令為輔助函數。本文采用逆向思維法，對微分中值問題中構造輔助函數的常見題型作歸納和總結。

一、利用分離變量法構造輔助函數

(一)證明的等式是關于ξ，f(ξ)，f′(ξ)的微分方程

例1[4]:設函數f(x)在閉區間[0，π]上連續，在開區間(0，π)內可導，證明：在開區間(0，π)內至少存在一點ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

證明：令F(x)=f(x)sinx，顯然，F(x)在閉區間[0，π]上連續，在開區間(0，π)內可導，且F(0)=F(π)，故由羅爾定理知，在開區間(0，π)內至少存在一點ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=f′(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ，也就是說，在開區間(0，π)內至少存在一點ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

顯然，F(x)在閉區間[η，1]?[0，1]上連續，在開區間(η，1)?(0，1)內可導，且F(η)=e-η2f(η)，F(1)=e-1f(1)，即F(η)=F(1)，由羅爾定理知，在開區間(η，1)?(0，1)內至少存在一點ξ，使得F′(ξ)=0。

又F′(ξ)=-2ξe-ξ2f(ξ)+e-ξ2f′(ξ)=e-ξ2[f′(ξ)-2ξf(ξ)]，且e-ξ2≠0，故f′(ξ)-2ξf(ξ)=0。也就是說，在開區間(0，π)內至少存在一點ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

(二)證明的等式是關于f(ξ)，f′(ξ)，g(ξ)，g′(ξ)的微分方程

例2[5]:設f(x)和g(x)在上[a,b]連續，在(a,b)內可導，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0證明在(a,b)內至少存在一點ξ使得f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)=0。

證明:令F(x)=f(x)g2(x)，顯然，F(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且F(a)=F(b)，故由羅爾定理知，在開區間(a,b)內至少存在一點ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=g(ξ)[f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)]，又g(x)≠0，故在開區間(0，π)內至少存在一點ξ，使得f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)=0。

應用實例：若函數f(x)在閉區間[0，1]上連續，在開區間(0，1)內可導，并且f(0)=0，如果x∈(0，1)，f(x)≠0，證明在(0，1)內至少存在一點ξ使得f′(ξ)f(1-ξ)=f(ξ)f′(1-ξ)。

二、利用一階線性方程的通解構造輔助函數

應用實例：設f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，且f(a)=f(b)=0，則在(a，b)內至少存在一點ξ，使得2f(ξ)=f′(ξ)。

證明：令F(x)=e-2xf(x)，顯然，F(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且F(a)=F(b)=0，故由羅爾定理知，在開區間(a，b)內至少存在一點ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=-2e-2ξf(ξ)+e-2ξf′(ξ)=e-2ξ[-2f(ξ)+f′(ξ)]，又e-2ξ≠0，故在(a，b)內至少存在一點ξ，使得2f(ξ)=f′(ξ)。

例5：若函數f(x)在閉區間[0，1]上連續，在開區間(0，1)內可導，且f(0)=f(1)=2，證明在(0，1)內至少存在一點ξ使得f′(ξ)+f(ξ)=2。

證明：令F(x)=ex[f(x)-2]，F(x)在閉區間[0，1]上連續，在開區間(0，1)內可導，且F(0)=F(1)=0，故由羅爾定理知，在開區間(0，1)內至少存在一點ξ，使得F′(ξ)=0。而F′(ξ)=eξ[f(ξ)-2]+eξf′(ξ)=eξ[f(ξ)+f′(ξ)-2]，又eξ≠0，故在(0，1)內至少存在一點ξ，使得f′(ξ)+f(ξ)=2。

在利用一階線性方程的通解公式構造輔助函數時，一定要仔細觀察中值等式的特點，找到P(x)，Q(x)，求出通解。

三、利用降階的思想構造輔助函數

(一)利用可降階方程降階一次后得到的解構造輔助函數

形如y″=f(x，y′)的方程稱為不顯含y的可降階微分方程[6]，該方程的特點是方程中同時含有y′，y″，且不顯含y。在計算時可令y′=p(x)，則y″=p′(x)，原方程可化為一階方程p′=f(x，p)，利用分離變量法或一階線性齊次方程的通解公式可得φ(x，p)=C，從而可構造出輔助函數。

例6：設函數f(x)在[0，1]上二階連續可導，且f(0)=f(1)=2，證明：至少有一點ξ∈(0，1)，使得2f′(ξ)+ξf″(ξ)=0。

證明：由于函數f(x)在[0，1]上二階連續可導，故f(x)在閉區間[0，1]上連續，在開區間(0，1)內可導，并且f(0)=f(1)=2，故由羅爾定理知，至少存在一點η∈(0，1)，使得f′(η)=0。對F(x)=x2f′(x)，在[0，η]上連續，在(0，η)內可導，且F(0)=F(η)=0，再次利用羅爾定理，可證至少有一點ξ∈(0，η)?(0，1)，使得2f′(ξ)+ξf″(ξ)=0。

(二)利用分部積分法構造輔助函數

例7 設f(x)和g(x)在上[a,b]連續，在(a,b)內可導，在(a,b)內g(x)≠0，g″(x)≠0，且f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，證明在(a,b)內至少存在一點ξ使得f″(ξ)g(ξ)-f(ξ)g″(ξ)=0。

分析：該微分中值等式屬于二階微分方程，但只含有兩個函數的二階導數f″(x)，g″(x)，不含f′(x)，g′(x)，為了使用降階的思想

f″(x)g(x)=f(x)g″(x)

兩邊同時對x積分，得：

證明 令F(x)=f′(x)g(x)-f(x)g′(x)，顯然，F(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且F(a)=F(b)=0，故由羅爾定理知，在開區間(a，b)內至少存在一點ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=f″(ξ)g(ξ)-f(ξ)g″(ξ)，故在(a，b)內至少存在一點ξ，使得f″(ξ)g(ξ)-f(ξ)g″(ξ)=0。

以上分析了羅爾定理證明微分中值等式問題的幾個典型例題，都是從導數和積分的互逆性出發，通過微分方程求解的方法或不定積分法等逆向思維法構造輔助函數。在平常的教學過程中，可以借助此類題型提高學生的邏輯思維能力和逆向思維能力，逐步培養學生綜合應用微積分知識解決實際問題的能力。