一種三元線性互補對偶碼與自正交碼的構造方法

李 平 張嘉媛 孫中華

(合肥工業(yè)大學數(shù)學學院 合肥 230601)

1 引言

自正交碼包含自對偶碼，它是一類非常重要的碼。文獻[1]利用經(jīng)典的2元自正交線性碼構造了量子碼，自此自正交碼的構造成為編碼理論研究的一個熱點[2–6]。文獻[4]研究了3元域上對偶距離為3的自正交碼的構造，并得到了參數(shù)好的量子碼。文獻[5]研究了4元域上自正交碼的構造方法，得到了一些最優(yōu)的3維自正交碼。

線性互補對偶(Linear Complementary Dual,LCD)碼作為一類特殊的線性碼，在編碼理論中有著豐富的應用前景。文獻[7]證明有限域上LCD碼能夠防御信道攻擊。文獻[8]最先提出線性互補對偶(LCD)碼，同時證明存在漸進好的LCD碼。文獻[9]證明LCD碼能達到漸進(gilbert-varshamov)界，從而激發(fā)學者研究LCD碼的興趣[9–16]。文獻[10]總結有限域上LCD碼的一些主要研究成果及其進展，并提出了一些未解決的重要問題。

文獻[11]證明q>3元 LCD碼和q元線性碼等價。因此，LCD碼的研究重點聚焦于研究2元LCD碼和3元LCD碼。文獻[12]解決了5元域上3維和4維最優(yōu)LCD碼的構造問題。文獻[13]利用合適的定義集構造了2元LCD碼和2元自正交碼。文獻[14]推廣到q元域，其中q是素數(shù)。文獻[15]通過合適的定義集構造了4元厄米特LCD碼和厄米特自正交碼。受這3篇文獻啟發(fā)，本文研究了合適的定義集下的3元LCD碼和3元自正交碼的構造。利用有限域上線性碼是LCD碼或自正交碼的判定條件，構造了4類3元LCD碼和一些自正交碼。

2 基礎知識

設q是素數(shù)的冪，F(xiàn)q是q元域，是Fq上n維向量空間。對中的任意向量x=(x0,x1,...,xn?1)和y=(y0,y1,...,yn?1) ， 定義x和y的歐幾里得內(nèi)積為

設C是一個q元[n,k] 線性碼，則C⊥是一個q元[n,n ?k]線 性碼。若C?C⊥，則稱C為自正交碼。若C ∩C⊥={0}， 則稱C為LCD碼。

D={g1,g2,...,gn}?D

設集合 。由集合 構造

易證，CD是一個碼長為n的q元線性碼，并稱D是 碼CD的定義集。設G是由向量形成的m×n矩陣

且Rank(G) =k。則CD是一個[n,k]線性碼。特別地，如果k=m，則G恰 好是CD的生成矩陣。由文獻[13]，可得以下結論。

引理1[13]CD和CD ∩的維數(shù)分別等于Rank(G) , R ank(G)?Rank(GGT)。

推論1[13]CD是LCD碼當且僅當Rank(GT)=Rank(GGT)。CD是 自正交碼當且僅當GGT=0。

3 主要結果

設m和t是兩個任意正整數(shù)且1≤t ≤m ?1，設Dt表 示上重量為t且第1個非0位上的數(shù)為1 的向量集合。設D≤t是上重量小于等于t且第1個非0位上的數(shù)為1的向量集合。定義

其中，1m是上分量全為1的向量。下文通過以上4個集合，構造LCD碼和自正交碼。

3.1 定義集為D t 的3元線性碼

引理2設1≤t ≤m ?1， 則R ank(Gt)=m。

證明當t=1 時，Gt=Em，其中Em表示m階單位矩陣，顯然 R ank(Gt)=m。

當t ≥2 時，則Gt中一定包含m列線性無關的向量

因此R ank(Gt)=m。 證畢

引 理3設 1≤t ≤m ?1 ,M=(mij)m×m=Gt，則

(1) 當t=1 時，M=Em， 其中Em表 示m階單位矩陣。

證明(1) 當t=1時，結論顯然正確。

情形1第1個部分不出現(xiàn)非0元，第2個部分不出現(xiàn)非0元，則第3個部分必須出現(xiàn)t?2個非0元，因此情形1在Gt中出現(xiàn)的次數(shù)共計

情形2第1個部分出現(xiàn)s≥1個非0元且這部分第1個非0元為1，則第2個部分不出現(xiàn)非0元，則第3個部分必須出現(xiàn)t ?s ?2個非0元。因此情形2在Gt中出現(xiàn)的次數(shù)共計

情形3第1個部分不出現(xiàn)非0元，第2個部分出現(xiàn)k≥1個 非0元，則第3個部分必須出現(xiàn)t?k ?2個非0元。因此情形3在Gt中出現(xiàn)的次數(shù)共計

情形4第1個部分出現(xiàn)s≥1個非0元且這部分第1個非0元為1，第2個部分出現(xiàn)k≥1個非0元，則第3個部分必須出現(xiàn)t ?s ?k ?2個非0元。因此情形5在Gt中出現(xiàn)的次數(shù)共計

情形1第1個部分不出現(xiàn)非0元，則第2個部分必須出現(xiàn)t?1個 非0元。因此情形1在Gt中出現(xiàn)的次數(shù)共計

情形2第1個部分出現(xiàn)s ≥1個非0元，則第2部分必須出現(xiàn)t ?s ?1個非0元。因此情形2在Gt中出現(xiàn)的次數(shù)共計

情形3第1個部分出現(xiàn)s≥1個非0元且這部分第1個非0元為1，則第2個部分必須出現(xiàn)t?s ?1個非0元。因此情形3在Gt中出現(xiàn)的次數(shù)共計

在Gt中( 10)出 現(xiàn)的情況有情形1、情形2。在Gt中(01)出 現(xiàn)的情況有情形1、情形3。在Gt中( 02)出現(xiàn)的 情 況 有 情 形3。則δ10=h1+h2,δ01=h1+h3,δ02=h3，又 因 為h2=2h3，所 以δ10=δ01+δ02。所以c1和cj中的非0數(shù)目都是相等

綜上所述，引理得證。

根據(jù)引理3，有如下結論。

引理4設m≥3且 2≤t ≤m ?1，則

命題1設m≥3且 2≤t ≤m ?1，則

?m。 因此，的維數(shù)達到最大值。由文獻[17]中的定義5.1.1，對于給定的碼長和最小距離的線性碼，如果其維數(shù)達到最大值，則稱該碼為最優(yōu)碼。因此，是最優(yōu)碼。

一個3元[ 6,3]線 性碼。經(jīng)MAGMA計算，CDt的最小距離為3，則碼CDt是一個3元[ 6,3,3]線性碼。由定理2，碼是一個3元[ 6,3,3]LCD最優(yōu)碼。

例2 當m=4和t=2時 ，nt=12且

由 定 理1，碼CDt是 一 個3 元[ 12,4]線 性 碼。經(jīng)MAGMA計算，CDt的最小距離為6，則碼CDt是一個3元[ 12,4,6] 線 性碼。由定理2，碼是一個3元[12,8,3]自正交最優(yōu)碼。

3.2 定義集為 Dt的 3元線性碼

引 理5設m ≥2 且1≤t ≤m ?1 ，則Rank()=m。

由引理3，可得

由引理1和引理5，得到

因此，本文得到以下結論。

(2)CDt不可能是自正交碼。

由定理2與定理3，類似可得如下結論。

3.3 定義集為D ≤t 的3元線性碼

由引理3

其中，mii=P(m ?1，t ?1),mij= 0,i?=j。 因此

因此，如下結論成立。

與定理2和定理4，類似可得如下結論。

例5若m=4和t=2，則

由定理5，碼CD≤t是一個3元[ 16,4]線 性碼。經(jīng)MAGMA計算，CD≤t的最小距離為7，則碼CD≤t是一個3元[16,4,7] 線 性碼。由定理6，碼是一個3元[ 16,12,3]LCD最優(yōu)碼。

3.4 定義集為D ≤t∪{1m}的3元線性碼

即mii=P(m ?1,t ?1) + 1。mij=1,i?=j。

由引理3因此，可以得到以下結論：

(1)CD≤t是 LCD碼當且僅當P(m ?1,t ?1)≡1(mod3) 且m ?≡2(mod3)或P(m ?1,t ?1)≡2(mod3)且m ?≡1(mod3)。

(2)CD≤t不可能是自正交碼。

與定理2和定理5類似，可得如下結論。

4 比較

5 結束語

本文研究了3元LCD碼和自正交碼的構造。根據(jù)有限域Fq上線性碼是LCD碼和自正交碼的充要條件，通過選擇了4類合適的定義集構造出3元LCD碼和自正交碼，接著研究了這4類線性碼的對偶碼，得到一些3元最優(yōu)碼。下一步研究的問題是通過選擇合適的定義集構造一般域上的自正交碼。