從制作無蓋的長方體紙盒說起

文／趙娟

問題1：如圖1，如何用一張正方形的紙片制作一個無蓋的長方體紙盒？

圖1

對于這個問題，我們不妨反過來考慮，把無蓋長方體紙盒攤開，我們能得到什么樣的平面圖形？這時問題就迎刃而解了。我們只需要把正方形紙片的四個角剪掉，而且減掉的部分必須是4個大小相同的小正方形。那么，為什么是4個大小相同的小正方形呢？同學們可以動手操作一下，可以發現，剪掉的小正方形的邊長是折疊后長方體的高（如圖2）。

圖2

問題2：若正方形紙片的邊長為20cm，剪去的小正方形的邊長為xcm，折成的無蓋的長方體紙盒的容積如何表示？

要想表示長方體紙盒的容積，我們可以思考，長方體的容積和哪些量有關系。不難發現，容積和剪掉的四個角（小正方形）的大小有關系。如果大正方形的邊長為20cm，剪去的小正方形的邊長為xcm（如圖3），那么折成的無蓋長方體紙盒的長和寬均為（20-2x）cm，高為xcm，折成的無蓋長方體紙盒的容積V=x（20-2x）2。

圖3

問題3：當小正方形邊長x變化時，所得到的無蓋長方體盒子的容積如何變化？猜一猜，當小正方體的邊長取什么值時，所得無蓋長方體盒子的容積最大？

當小正方形邊長變化時，所得到的無蓋長方體盒子的容積如何變化呢？我們試著通過代入具體數值計算盒子的容積。當剪去的小正方形的邊長x取1、2、3、4、5、6、7、8、9（單位：cm）時，分別求出制成的無蓋長方體紙盒的容積，然后以表格的形式記錄下來（如表1），可以更為直觀地感受變化的過程。

表1

通過表1，我們發現：隨著小正方形的邊長x的值變大，紙盒的容積V先變大再變小，當x在2～4cm之間時，V的值比較大。我們不妨先在3～4cm之間，按0.1cm的間隔取值，然后代入計算（如表2），同理，在2～3cm之間，也按相同間隔取值、計算（表略）。

表2

通過計算，我們發現：在2～4cm之間，當剪去的小正方形的邊長等于3.3cm時，所得到的無蓋長方體盒子的容積最大，此時盒子的容積是592.548cm3。我們可以繼續在3.2～3.4cm之間，按0.01cm的間隔取值，然后代入計算。以此類推，可得到小正方形的邊長為3.333333333…時，無蓋長方體形盒子的容積最大。于是猜測，當時，V最大。

問題4：如圖4，如果正方形的邊長為acm，那么做成的無蓋長方體盒子的容積V如何表示？猜測當小正方形的邊長x與a有什么關系時，所得到的無蓋長方體紙盒容積最大？

圖4

有了問題2的思路，我們不難得出，V=x（a-2x）2，改變a的取值，重復問題3的探索過程，經過比較、歸納，猜測當時，盒子的容積最大。如果要確定當時，V最大的話，還需要嚴格的數學證明，證明方法我們后續會學到的。

制作無蓋的長方體紙盒系列問題，需要綜合應用字母表示數、列代數式、求代數式的值以及利用代數式的值探索代數式所反映的規律等知識。同學們可以通過研究這一現實的、有趣的、富有挑戰性的課題，體驗數學來源于生活，又服務于生活。