理清數學思想方法，巧學“代數式”

文／毛倩倩

一、整體思想

整體思想指的是對于一個數學問題，著眼于問題的整體結構，從宏觀上理解和認識問題；通過全面地觀察和思考，挖掘已有元素在整體結構中的地位與作用，從而找到解決問題的辦法。

例1已知a2-2a=1，求2-3a2+6a的值。

【解析】若先求出字母a的值，再代入求值，比較復雜，我們以現有的知識也不具備應用這種解法的能力。若能從全局出發，考慮條件與結論的整體配合，不難發現，代數式a2-2a與-3a2+6a存在倍數關系。

解：由乘法分配律，

得2-3a2+6a=2-3·（a2-2a）。

將a2-2a=1代入，得

2-3a2+6a=2-3×1=-1。

例2已知a2-ab=4，ab-b2=-3，求a2-b2和a2-2ab+b2的值。

【解析】從整體結構考慮，將a2-ab、abb2相加，可以抵消ab，得到代數式a2-b2；將兩個代數式整體相減，則可得到代數式a2-2ab+b2。

解：因為a2-b2=a2-ab+ab-b2=（a2-ab）+（ab-b2），所以將a2-ab=4，ab-b2=-3代入，得a2-b2=（a2-ab）+（ab-b2）=4+（-3）=1。

因為a2-2ab+b2=a2-ab-ab+b2=（a2-ab）-（ab-b2），所以將a2-ab=4，ab-b2=-3代入，得a2-2ab+b2=（a2-ab）-（ab-b2）=4-（-3）=7。

二、數形結合

數學是一門研究數量關系和空間形式的科學，數形結合就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，將數與形兩種信息按解決策略的需要進行轉換，發揮各自的優勢。

例3有理數a、b、c在數軸上的位置如圖1所示，請化簡|a-b|+|c-a|-|b-c|。

圖1

例4如圖2，數軸上4個點表示的數分別為a、b、c、d。若 |a-c|=9，|a-d|=11，|b-d|=7，則 |b-c|的值為________。

圖2

【解析】根據a、b、c在數軸上的位置，判斷它們的大小關系，從而去絕對值化簡。

解：根據數軸可得a＜0＜b＜c，

所以a-b＜0，c-a＞0，b-c＜0。

所以|a-b|+|c-a|-|b-c|

=b-a+c-a-（c-b）

=b-a+c-a-c+b=2b-2a。

【解析】結合數軸，將條件與結論中出現的“兩個數的差的絕對值”賦予幾何意義，將其看作兩點之間的距離，即線段的長度，由線段的數量關系可解決問題。

解：由圖可知，|a -c|=9指的是表示a的點與表示c的點之間的距離是9，|a -d|=11指的是表示a的點與表示d的點之間的距離是11，所以，表示c的點與表示d的點之間的距離是 |c-d|=2。又因為 |b-d|=7指的是表示b的點與表示d的點之間的距離是7，所以，表示b的點與表示c的點之間的距離是 | b-c|=5。

三、分類討論

我們研究的問題有時包含很多種可能，不能一概而論。有的是問題的結論不是唯一確定的，有的是在解題中一些算式不能以統一的形式出現，還有的是字母的取值會影響結果等，這就需要根據問題的特點和要求，將問題分成若干類，轉化為若干個小問題來解決。

例5已知a、b是有理數，試比較代數式a+b與a-b的大小。

【解析】這里a、b的取值會影響兩個代數式的大小比較，所以需要進行分類討論。觀察兩個代數式，發現都有相同的部分“a”，比較a+b與a-b的大小，就是比較b與-b的大小。

解：根據“作差法”可得，（a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b。

當b＞0時，2b＞0，則a+b＞a-b；

當b=0時，2b=0，則a+b=a-b；

當b＜0時，2b＜0，則a+b＜a-b。

例6（1）嘗試：比較下列各式的大小關系。（用“＞”“＜”“=”“≥”或“≤”填空）。

（2）歸納：觀察上面的數量關系，可以得到：|a|+|b |________|a+b（|填“＞”“＜”“=”“≥”或“≤”）。

（3）應用：利用上面得到的結論解決問題：若|m|+|n|=10，|m+n|=4，則m=______。

（4）拓展：當|a|+|b|+|c|＞| a+b+c|成立時，a、b、c應滿足的條件是________。

①1個正數，2個負數；②2個正數，1個負數；③3個正數；④3個負數；⑤1個0，2個正數；⑥1個0，2個負數；⑦1個0，1個正數，1個負數。

【解析】問題（1）可以通過計算做出判斷，①②③④分別填＞、＞、=、=。問題（2）可依據（1）中列舉的具體例子，通過不完全歸納，發現規律|a|+|b|≥| a+b（|a、b同號或至少一個為0時取等號）。問題（3）可根據問題（2）中的結論予以解決，由|m|+|n|＞| m+n|可知m、n異號，接下來進行分類討論：當m＞0，n＜0時，m=3或7；當m＜0，n＞0時，m=-3或-7。問題（4）是問題（2）的拓展，由|a|+|b|+|c|＞| a+b+c|可知a、b、c的符號需要分為多種情況討論，①②⑦都滿足。